張 桓，張子新

（1.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海200092）

盾構(gòu)隧道的施工將不可避免地對(duì)鄰近地下管線產(chǎn)生影響.在分析盾構(gòu)隧道開挖引起的鄰近管線的變形和內(nèi)力時(shí)，理論解析方法概念明確，可方便快捷地為工程實(shí)際提供一定的指導(dǎo)性建議.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在采用理論解析方法分析隧道開挖對(duì)鄰近既有管線的影響時(shí)，通常采用的是兩階段分析方法，即在第一階段分析隧道開挖引起的既有管線軸線位置處的土體自由位移場(chǎng)，第二階段則將第一階段求得的土體位移施加于管線，并基于彈性理論方法或者Winkler地基模型來求解管線的變形和內(nèi)力.基于Winkler地基模型的方法由于使用簡(jiǎn)單而被廣泛采納，如Attwell等［1］、Vorster等［2］以 及Klar等［3］眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究.但基于Winkler地基模型的兩階段解析方法仍有一些問題值得探討：

（1）第一階段中通常采用Peck經(jīng)驗(yàn)公式預(yù)測(cè)隧道開挖引起的管線軸線處的土體位移，這并不可靠［4］.（2）Winkler地基模型把地基模擬為剛性底座上一系列獨(dú)立的彈簧（圖1a），圖中，q（x）為作用在管線上的附加應(yīng)力，EI為管線剛度，kw和k為彈簧剛度系數(shù)，G為剪切剛度，由彈簧剛度kw來控制地基變形［5］.由于沒有考慮地基連續(xù)性，Winkler地基模型往往不能全面地反映地基的實(shí)際情況，特別對(duì)于密實(shí)厚土層地基和整體巖石地基，將會(huì)引起較大的誤差［6］.（3）盾構(gòu)隧道開挖對(duì)管線的影響是一個(gè)典型的三維問題，而已有的解析公式在推導(dǎo)時(shí)從平面應(yīng)變問題出發(fā)，忽略了管線側(cè)向土體對(duì)管線的作用，這必然影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度.

圖1 兩種典型地基模型示意圖Fig.1 Two typical foundation model schemes

針對(duì)問題（1），王濤等［4］以及張治國(guó)等［7］均認(rèn)為采用Loganathan等［8］提出的解析解計(jì)算第一階段隧道開挖引起的土體自由位移更加可靠.

針對(duì)問題（2），為了克服Winkler地基模型的固有缺陷，人們對(duì)Winkler地基模型進(jìn)行了發(fā)展，開發(fā)了雙參數(shù)地基模型.雙參數(shù)地基模型的發(fā)展沿著兩個(gè)不同方向進(jìn)行，第一種是通過在Winkler地基模型的各個(gè)彈簧之間提供力學(xué)的相互作用以消除其不連續(xù)性，如Pasternak模型［9］（圖1b）；第二種則是以彈性連續(xù)介質(zhì)模型為基礎(chǔ)并引入約束或簡(jiǎn)化位移分布與應(yīng)力的假設(shè)，如Reissner 模型及Vlasov 模型［6］.Kerr［10］在 對(duì) 比 了 多 種 地 基 模 型 后 指 出，Pasternak地基模型是對(duì)Winkler地基模型最合理的拓展且具有比Winkler模型更高的精度.

針對(duì)問題（3）的討論目前很少.盾構(gòu)隧道開挖對(duì)管線的影響實(shí)質(zhì)是一個(gè)三維的空間問題，由于地下管線埋深一般較淺，且隧道開挖方向與管線走向垂直時(shí)，管線的受力情況最為不利［6］，這里僅對(duì)此情形進(jìn)行分析（圖2）.一般而言，在沒有管線的情況下，盾構(gòu)隧道推進(jìn)引起的垂直于隧道軸線的土體位移當(dāng)如曲面A′B′CD的形狀所示，可以視作平面應(yīng)變問題進(jìn)行求解.當(dāng)有管線存在時(shí)，管線會(huì)限制周圍土體的變形，因而土體變形會(huì)較無管線時(shí)小.傳統(tǒng)基于Winkler地基模型的彈性地基梁法均將此問題簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題進(jìn)行處理，相當(dāng)于認(rèn)為在有管線存在的情況下，管線側(cè)向土體發(fā)生與管線底部土體相同的位移，整個(gè)管線層面處的土體變形如曲面ABCD的形狀所示，這種簡(jiǎn)化顯然并不符合實(shí)際.實(shí)際情況是，管線的存在不僅會(huì)約束其底部土體，也會(huì)對(duì)其側(cè)向一定范圍內(nèi)的側(cè)向土體產(chǎn)生約束作用，導(dǎo)致這部分側(cè)向土體產(chǎn)生比無管線存在時(shí)更小的位移；而離開管線更遠(yuǎn)處的側(cè)向土體則由于離開了管線的影響范圍，其豎向位移的大小應(yīng)和無管線存在時(shí)的情況一樣，整個(gè)管線層面處的實(shí)際土體變形應(yīng)如曲面AB′CD的形狀所示.反過來，因?yàn)楣芫€的約束作用，管線側(cè)向土體會(huì)對(duì)管線產(chǎn)生反作用力，這種影響不可忽略.

圖2 盾構(gòu)隧道開挖對(duì)既有管線影響的三維空間示意圖Fig.2 3Dschematic diagram for effects of shield tunneling on the existing pipeline

綜上所述，本文采用兩階段分析法，第一階段采用Loganathan公式計(jì)算盾構(gòu)隧道開挖引起的土體自由位移，第二階段將管線視作Pasternak雙參數(shù)地基上的無限長(zhǎng)梁，將求得的土體自由位移施加于管線，建立并求解管線的豎向受荷變形平衡微分方程，從而得到管線豎向變形和內(nèi)力的計(jì)算表達(dá)式.進(jìn)一步考慮盾構(gòu)隧道開挖時(shí)管線側(cè)向土體對(duì)管線的約束作用，得到了更符合實(shí)際的解.基于簡(jiǎn)化彈性空間法獲得的地基參數(shù)，將Pasternak地基和Winkler地基的解析計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果以及工程實(shí)例監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，證明了Pasternak地基模型的優(yōu)越性和本文計(jì)算方法的有效性.

1 隧道開挖引起的土體自由位移

1.1 管線受力模型的假定與簡(jiǎn)化

首先按照傳統(tǒng)的思路，從平面應(yīng)變問題出發(fā)探討不考慮側(cè)向土體作用時(shí)隧道開挖對(duì)既有管線的影響，在xoz平面內(nèi)進(jìn)行討論（圖2）.本文的研究基于Attewell［1］推導(dǎo)傳統(tǒng)Winkler模型方法時(shí)所提出的基本假設(shè)：①管線與土體為連續(xù)均質(zhì)彈性體；②管線與周圍土體始終保持接觸；③管線的存在不影響隧道的開挖；④隧道的存在不影響管線軸線處土體的受力響應(yīng).簡(jiǎn)化計(jì)算模型如圖3所示.圖中R為隧道半徑，z0為既有管線軸線深度，h為隧道軸線深度，D為管線直徑.

圖3 隧道開挖對(duì)既有管線影響的簡(jiǎn)化計(jì)算模型Fig.3 Simplified model for effects of shield tunnelling on the existing pipeline

1.2 隧道開挖引起的土體自由位移

Loganathan等［8］提出了自由場(chǎng)地時(shí)隧道開挖引起的既有管線軸線位置處土體沉降u（x）為

式中：ν為土體泊松比；ε0為平均地層損失比；x為距隧道中心線的水平距離.

1.3 作用于管線軸線上的附加應(yīng)力

Pasternak地基模型（圖1b）包含了一個(gè)彈簧層以及一個(gè)剪切層，則作用在管線上的附加應(yīng)力為

2 Pasternak地基上管線變形解析解

2.1 不考慮側(cè)向土體作用的管線平衡微分方程

假設(shè)因隧道開挖作用導(dǎo)致的管線撓度為w（x），管線應(yīng)力為p（x），k為地層系數(shù)，則有：

假設(shè)管線的直徑為D，則管線受荷的平衡微分方程為

將式（3）代入式（4）并整理得：

2.2 微分方程的通解

為求解方程（5），先求其通解.令q（x）＝0，得：

式（6）的特征方程為

式（7）的解與Δ的符號(hào)相關(guān)，其中：

（1）當(dāng)Δ＞0，即：G2D＞4kEI時(shí)，有：

因此，管線變形w（x）可表示如下：

式中：A1，A2，B1，B2為待定系數(shù).

（2）當(dāng)Δ＝0，即：G2D＝4kEI時(shí)，有：

因此，管線變形w（x）可表示如下：

（3）當(dāng)Δ＜0，即：G2D＜4kEI時(shí)，有：

因此，管線變形w（x）可表示如下：

2.3 集中荷載作用下微分方程的解

為了求解隧道開挖對(duì)上部管線的影響，先求解Pasternak 地基上管線受集中荷載作用時(shí)的解（圖4）.圖中，P為集中荷載.

利用該問題的對(duì)稱性，針對(duì)x≥0的部分進(jìn)行研究.當(dāng)x趨近于＋∞時(shí)，w＝0，故w（x）可化簡(jiǎn)為此時(shí)，方程（5）的特解為w＊＝0.同時(shí)，有邊界條件如下：通過邊界條件（17）即可解出w（x）的表達(dá)式如下：

式中：

于是，管線縱向彎矩的表達(dá)式為

2.4 隧道開挖引起管線的豎向變形

假定在隧道開挖的影響下，管線軸線（x軸）上任意一點(diǎn)ξ上作用的附加荷載為q（ξ）dξ，則根據(jù)式（18），該荷載引起管線軸線上任意點(diǎn)x的位移dw（x）為

對(duì)式（22）在管線附加荷載分布范圍內(nèi)積分，即可得到由于隧道開挖而引起的管線的豎向變形：

3 考慮側(cè)向土體作用時(shí)的管線變形

3.1 管線受荷變形平衡微分方程

以上討論僅考慮了管線下部土體對(duì)管線的作用，為了得到更為符合實(shí)際情況的結(jié)果，此處進(jìn)一步考察管線側(cè)向土體對(duì)管線的作用.同樣，基于Pasternak地基模型，首先推導(dǎo)管線與側(cè)向土體共同受集中荷載P－作用時(shí)的管線變形與內(nèi)力（如圖5a，P為僅作用于管線的集中荷載）.為簡(jiǎn)化起見，對(duì)模型做如下假定：①管線側(cè)向土體與底部土體參數(shù)相同；②側(cè)向土體對(duì)管線的作用力作用于管線兩側(cè)，并沿x方向分布（如圖5b）.圖中F（x）即為側(cè)向土體對(duì)管線的作用力.

考慮任意與yoz平面平行的x＝X平面，對(duì)于y≥D／2部分的側(cè)向土體，假設(shè)土體位移為w－（y），則其平衡方程為

方程（24）的通解為

假設(shè)距離管線足夠遠(yuǎn)處y＝Y(jié)平面的土體變形，則為方程（24）的特解.那么方程（24）的解為

根據(jù)邊界條件：在x＝X平面內(nèi)，y＝D／2處，側(cè)向土體與管線下方土體變形相等，即：

將式（26）代入式（27）可得：

因此：

則在x＝X平面內(nèi)，側(cè)向土體對(duì)管線的作用力為

在y＝Y(jié)平面內(nèi)求解．對(duì)于x≥0的土體，其平衡方程為

方程（31）的解為

利用邊界條件：當(dāng)x＝0時(shí)，有：

解得：

因此：

結(jié)合式（30）與式（36）可知，側(cè)向土體對(duì)管線的作用力為

在集中荷載作用下，并考慮側(cè)向土體對(duì)管線的作用時(shí)，管線的平衡微分方程為

將式（3）與式（37）代入式（38），得：

3．2 微分方程的解

式（39）式具有形式如下的特解：

代入方程（39）可解得：

根據(jù)式（5）的通解求解過程，同理可解得式（39）的通解．按照式（23）積分即可得到最終考慮側(cè)向土體作用時(shí)由盾構(gòu)隧道開挖引起的管線豎向變形．

4 算例驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)本文方法是否能夠更好地反映管線的受力變形情況，將基于Pasternak 地基模型和Winkler地基模型得到的管線變形與彎矩分別與更為精確的數(shù)值計(jì)算結(jié)果以及工程實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證．

Winkler地基上管線受荷的平衡微分方程為

集中荷載作用下Winkler地基的解為

其中：

按照式（23）積分即可得到由盾構(gòu)隧道開挖引起的管線豎向變形．

在采用彈性地基模型時(shí)，模型參數(shù)的取值是個(gè)很重要的問題.地基模型參數(shù)的獲取方法有多種，目前，通過引入簡(jiǎn)化條件直接從彈性連續(xù)體方程推導(dǎo)出地基參數(shù)的簡(jiǎn)化彈性空間法由于概念清晰，操作簡(jiǎn)便，得到了越來越多的應(yīng)用.根據(jù)簡(jiǎn)化彈性空間法，Pasternak地基的參數(shù)k、G以及Winkler地基的參數(shù)kw的值分別為［11］：k＝E0／H，G＝G0H／2；kw＝E0／H.其中：G0＝E0／2（1＋ν），H為管線下方地基厚度.H是一個(gè)比較難確定的參數(shù)，根據(jù)徐凌［12］對(duì)基礎(chǔ)底部附加應(yīng)力隨地基深寬比變化的研究，對(duì)于長(zhǎng)寬比很大的基礎(chǔ)（對(duì)應(yīng)管線這種長(zhǎng)度與直徑比很大的類型），當(dāng)?shù)鼗顚挶却笥?時(shí)，其基底附加應(yīng)力已衰減至非常小.因此，本文計(jì)算中取管線下方地基厚度為6D.

4.1 與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

以上海地鐵11號(hào)線盾構(gòu)施工中所穿越的一條直徑D＝1m，壁厚t＝0.12m 的混凝土水管為計(jì)算對(duì)象進(jìn)行分析，所采用的參數(shù)見表1.表中，R、h、z0、ε0、D和EI根據(jù)工程實(shí)際參數(shù)取值，土體彈性模量E0和泊松比ν根據(jù)各土層厚度加權(quán)平均后得到，管線下方地基厚度H取6D.數(shù)值分析采用ABAQUS程序?qū)ο嗤r進(jìn)行有限元模擬，并將Pasternak方法和Winkler方法的解析結(jié)果與更為精確的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

表1 水管計(jì)算參數(shù)表Tab.1 Calculation parameters of a water pipeline

圖6 管線變形Fig.6 Pipeline deformation

圖7 管線彎矩Fig.7 Pipeline moment

兩種地基模型下的管線變形以及彎矩分布與有限元模擬結(jié)果的對(duì)比見圖6—7.顯而易見，相對(duì)于Winkler地基而言，Pasternak地基上的管線變形和彎矩分布均更貼近于數(shù)值計(jì)算的結(jié)果.如果定義：偏差＝（解析解－數(shù)值解）／數(shù)值解，則Pasternak地基上管線的最大變形和最大彎矩與有限元結(jié)果的偏差分別為－5.5%與－12.7%，而Winkler地基上管線的最大變形和最大彎矩與有限元結(jié)果的偏差則分別為110.7%和95.7%.因此，Pasternak地基模型能更準(zhǔn)確地反映管線的實(shí)際受力和變形情況，而Winkler地基由于無法考慮地基彈簧之間的聯(lián)系，所得結(jié)果與實(shí)際相差較大.

4.2 工程實(shí)例驗(yàn)證

深圳地鐵一期工程益田站至香蜜湖站區(qū)間隧道全長(zhǎng)約1 540m，采用兩臺(tái)土壓平衡盾構(gòu)機(jī)分別進(jìn)行左右線隧道的施工.隧道軸線埋深為12.0～15.0 m.盾構(gòu)機(jī)刀盤外徑為6 190mm，盾殼外徑為6 140 mm.隧道外徑為6 000mm，隧道內(nèi)徑為5 500mm.盾構(gòu)在里程RK8＋750處近距離垂直下穿一條大管徑電纜管線，管線材質(zhì)為混凝土.管線外徑為3.0 m，壁厚0.12m，埋深7.2m［13］.

根據(jù)表2 所示的計(jì)算參數(shù)，采用本文方法、Winkler地基模型方法以及未考慮側(cè)向土體作用時(shí)的Pasternak地基模型方法計(jì)算得到了隧道開挖引起的管線變形，并將其與文獻(xiàn)［13］中的實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示.可以看到，相對(duì)于Winkler地基模型以及未考慮側(cè)向土體作用時(shí)的Pasternak地基模型方法而言，采用本文方法預(yù)測(cè)的管線最大沉降和隧道開挖對(duì)管線的影響范圍均更加準(zhǔn)確，再次驗(yàn)證了本文方法的有效性.

表2 工程實(shí)例計(jì)算參數(shù)表Tab.2 Case study calculation parameters

圖8 盾構(gòu)隧道開挖作用下的管線變形Fig.8 Pipeline deformation due to shield tunnelling

5 結(jié)語

（1）采用兩階段法計(jì)算盾構(gòu)隧道開挖對(duì)管線的影響是一種意義明確的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，只要選擇合適的土體自由位移計(jì)算公式和地基模型就能較好地反映工程實(shí)際情況.

（2）由于Pasternak雙參數(shù)地基模型考慮了彈簧之間的相互作用，采用Pasternak地基模型計(jì)算隧道開挖對(duì)于地下管線的影響較傳統(tǒng)的Winkler地基模型更為準(zhǔn)確.

（3）使用簡(jiǎn)化彈性空間法獲得地基參數(shù)較為簡(jiǎn)便，本文方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)地基厚度H和管土彈性模量比E／E0的變化均較為敏感，而泊松比ν的變化對(duì)結(jié)果影響較小.

（4）管線側(cè)向土體對(duì)管線的約束作用比較顯著，在計(jì)算管線變形時(shí)應(yīng)該加以考慮，能夠使計(jì)算結(jié)果更貼近真實(shí)情況.

（5）本文方法是對(duì)傳統(tǒng)的基于Winkler地基模型方法的改進(jìn)和補(bǔ)充，同樣只是針對(duì)隧道開挖對(duì)管線影響問題的一種近似解.這種近似對(duì)于盾構(gòu)隧道正常施工，管線周圍土體絕大部分土體處于彈性狀態(tài)的實(shí)際工況而言是合理和可接受的.但對(duì)于盾構(gòu)施工造成的土體損失過大，隧道周圍的土體大量進(jìn)入塑性狀態(tài)且塑性區(qū)發(fā)展至管線周圍土體，則不推薦使用本文方法.

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