黃志遠(yuǎn)，黃聲享

（武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢 430072）

隨著組合導(dǎo)航技術(shù)的發(fā)展，基于慣性導(dǎo)航和天文導(dǎo)航的組合導(dǎo)航系統(tǒng)成為導(dǎo)航等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。慣性導(dǎo)航和天文導(dǎo)航都是自主式導(dǎo)航系統(tǒng)，前者不依賴于外部信息，可提供包括速度、位置、姿態(tài)在內(nèi)的全導(dǎo)航參數(shù)，相對精度較高，但由于定位誤差隨時間積累，難以作為獨(dú)立的高精度導(dǎo)航系統(tǒng)使用［1］；后者的誤差不隨時間增加而累積，并能夠提供最高精度的姿態(tài)參數(shù)，但是卻受到外界條件的限制。因此，兩個系統(tǒng)的相互組合，可以達(dá)到提高導(dǎo)航性能的目的。

本文以彈道導(dǎo)彈為設(shè)計(jì)對象，首先通過軌跡發(fā)生器模擬導(dǎo)彈飛行姿態(tài)，然后在慣性系下建立天文導(dǎo)航和捷聯(lián)慣性導(dǎo)航（CNS/SINS）組合導(dǎo)航的數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了離散型卡爾曼濾波功能，最后通過對SINS和CNS/SINS的仿真比較，驗(yàn)證CNS/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性。

1 CNS/SINS組合導(dǎo)航數(shù)學(xué)模型

CNS/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要包括狀態(tài)方程和量測方程兩個方面。

1.1 狀態(tài)方程

對彈道導(dǎo)彈而言，在綜合考慮加速度誤差、速度誤差、位置誤差和數(shù)學(xué)平臺角誤差之后，取15維狀態(tài)變量的狀態(tài)方程為［2－4］

其系統(tǒng)變量X（t）為

式中：φx、φy、φz是3個數(shù)學(xué)平臺失準(zhǔn)角；Δvx、Δvy、Δvz是起點(diǎn)在慣性系3個坐標(biāo)軸上的3個速度誤差；Δx、Δy、Δz是3個位置誤差；εx、εy、εz是3個陀螺儀常值漂移；▽x、▽y、▽z是3個加速度計(jì)常值漂移。

而系統(tǒng)噪聲Ω（t）的表達(dá)形式為

其中前3項(xiàng)是陀螺儀高斯白噪聲；后3項(xiàng)是加速度計(jì)高斯白噪聲。而系統(tǒng)的噪聲方差陣為［4］

在狀態(tài)方程中的系數(shù)陣A（t）和F（t）的表達(dá)形式為

式中：Fa是由引力加速度對位置坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)；Fb是由視加速度構(gòu)成的反對稱陣；Cfb是載體系到起點(diǎn)慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換陣。

1.2 量測方程

利用導(dǎo)航坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)平臺誤差角方程形成的CNS/SINS組合系統(tǒng)的量測方程為［2，4］

式中：H＝［I3×303×12］；V（t）是CNS零均值測量白噪聲。

CNS/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)只能獲得姿態(tài)誤差角的觀測量，而導(dǎo)航狀態(tài)方程中包含的卻是數(shù)學(xué)平臺失準(zhǔn)角，為此需要知道姿態(tài)誤差角到數(shù)學(xué)平臺失準(zhǔn)角的變換矩陣，才能將姿態(tài)誤差角作為觀測值用于導(dǎo)航濾波。

定義四元數(shù)誤差Δq＝qi－（i＝0，1，2，3）。其中，qi是由CNS輸出的四元數(shù)理想值，是SINS輸出的姿態(tài)四元數(shù)實(shí)際估計(jì)值。那么采用四元數(shù)形式的姿態(tài)誤差角與數(shù)學(xué)平臺失準(zhǔn)角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下［5］：

2 離散型卡爾曼濾波

根據(jù)實(shí)際需要，可以將組合導(dǎo)航狀態(tài)方程離散化為［3］

式中：Φk，k－1為k－1時刻到k時刻的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。對Xk的量測滿足量測方程Zk＝HkXk＋Vk。由此離散型卡爾曼濾波的基本方程可以表示為公式（9）～（13）的形式［4］。

狀態(tài)一步預(yù)測

狀態(tài)估計(jì)

濾波增益

一步預(yù)測均方誤差

估計(jì)均方誤差

3 系統(tǒng)仿真及結(jié)果分析

在組合導(dǎo)航研究方面，更多的都是基于組合導(dǎo)航算法的研究［6］。為此，本文采用MATLAB進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，模擬彈道導(dǎo)彈的發(fā)射過程，對SINS和CNS/SINS仿真比較，驗(yàn)證CNS/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性。

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

假設(shè)彈道導(dǎo)彈發(fā)射方位角為90°，初始姿態(tài)的俯仰角為90°，推力加速度為30m/s2，航向角和滾動角均為0°，導(dǎo)彈垂直發(fā)射上升時間為20s，主動段轉(zhuǎn)彎結(jié)束時刻為50s，發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時間為150s。仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真參數(shù)

3.2 仿真分析

彈道導(dǎo)彈遠(yuǎn)距離、彈道高、時速快的飛行特點(diǎn)對導(dǎo)航系統(tǒng)提出很高的技術(shù)要求［6］。圖1顯示了在慣性系下的彈道導(dǎo)彈理論彈道、單純采用SINS解算的彈道以及CNS/SINS組合導(dǎo)航解算的彈道的三維軌跡。從圖中看出：SINS條件下導(dǎo)彈三軸位置誤差隨時間不斷增加。采用CNS/SINS組合導(dǎo)航解算的導(dǎo)彈彈道更接近理論彈道值。

圖1 導(dǎo)彈理論彈道與導(dǎo)航解算彈道

3.2.1 位置誤差

圖2顯示了分別采用SINS和SINS/CNS組合導(dǎo)航解算的導(dǎo)彈三軸位置誤差。由于陀螺漂移、加速度計(jì)漂移的誤差、初始失準(zhǔn)角的影響，仿真結(jié)束時，SINS解算的結(jié)果表明X軸向位置誤差為－309.1m，Y軸向位置誤差為2 070m，Z軸向位置誤差為－3 826m，且誤差隨著飛行時間的增加而有增加的趨勢。然而，CNS/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)可以提高對位置的解算精度。在采用組合導(dǎo)航系統(tǒng)后，導(dǎo)彈的X軸向位置誤差為－171.2m，Y軸向位置誤差為242.4m，Z軸向誤差為－278.8m，且誤差隨著時間的增加變化較為平穩(wěn)。

圖2 SINS和CNS/SINS解算的導(dǎo)彈三軸位置誤差

3.2.2 速度誤差

圖3顯示了分別采用SINS和SINS/CNS組合導(dǎo)航解算的導(dǎo)彈三軸速度誤差，結(jié)果表明：SINS解算的導(dǎo)彈X，Y，Z3個方向速度存在著較大的誤差，到仿真結(jié)束時，X軸向速度誤差為1.694m/s且最大；Y軸向速度誤差為3.277m/s且最大；Z軸向位置誤差為1.582m/s，而最大值是發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)時刻150s時的－6.583m/s，在整個仿真過程中，由于前150s存在發(fā)動機(jī)的推動作用，速度誤差隨著飛行時間的增加而不斷增加，150s時速度誤差出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。CNS/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)可以提高對速度的解算精度。在采用組合導(dǎo)航系統(tǒng)后，導(dǎo)彈的X軸向位置 誤 差 為－0.198 4m/s，Y軸 向 位 置 誤 差 為0.613 8m/s，Z軸向誤差為－0.414m/s，且誤差隨著時間的增加變化較為平穩(wěn)。

圖3 SINS和CNS/SINS解算的導(dǎo)彈三軸速度誤差

3.2.3 姿態(tài)角誤差

由圖4可見，采用SINS解算的姿態(tài)角誤差隨時間的增加呈現(xiàn)增加的趨勢，即SINS解算姿態(tài)角的精度較低。而CNS/SINS解算的姿態(tài)角誤差維持在零的水平，說明組合導(dǎo)航對提高姿態(tài)角解算精度有很大的幫助。

圖4 SINS和CNS/SINS解算的導(dǎo)彈姿態(tài)角誤差

4 結(jié)束語

天文導(dǎo)航和捷聯(lián)慣性導(dǎo)航（CNS/SINS）是優(yōu)勢互補(bǔ)的組合導(dǎo)航系統(tǒng)，通過對速度誤差、位置誤差、姿態(tài)角的高精度解算，再結(jié)合適當(dāng)?shù)男拚桨缚蓪?shí)現(xiàn)高精度導(dǎo)航。利用MATLAB軟件對組合導(dǎo)航的仿真結(jié)果說明CNS/SINS綜合利用了兩個系統(tǒng)的測量信息，能夠?qū)ξ恢谜`差、速度誤差進(jìn)行有效估計(jì)，提高導(dǎo)航精度，而且還能對姿態(tài)角進(jìn)行有效估計(jì)，為導(dǎo)彈的制導(dǎo)提供依據(jù)。

［1］王安國.現(xiàn)代天文導(dǎo)航及其關(guān)鍵技術(shù)［J］.電子學(xué)報，2007，35（12）：2347－2353.

［2］鄧紅，劉光斌，陳昊明，等.彈道導(dǎo)彈捷聯(lián)慣導(dǎo)/衛(wèi)星系統(tǒng)/天文系統(tǒng)組合導(dǎo)航研究［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2004（2）：24－28.

［3］崔希璋，於宗儔，陶本藻，等.廣義測量平差［M］.2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009：220.

［4］房建成，寧曉琳.天文導(dǎo)航原理及應(yīng)用［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2006：151－278.

［5］鄧紅，劉光斌，陳昊明，等.發(fā)射慣性坐標(biāo)系下誤差角與數(shù)學(xué)平臺失準(zhǔn)角的推導(dǎo)與仿真［J］.宇航學(xué)報，2011，32（4）：781－786.

［6］張通，張駿.彈道導(dǎo)彈慣性/雙星/天文組合導(dǎo)航系統(tǒng)研究［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2009，26（3）：40－42.

［7］吳太旗，孫付平，易維勇，等.GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的MATLAB/Simulink仿真［J］.測繪學(xué)院學(xué)報，2004，21（3）：172－174.