付貞文， 向會立

(1.咸豐縣黃金洞民族中小學(xué)，湖北 咸豐 445614；2.湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

一類非自治差分競爭系統(tǒng)的持久性及正周期解的全局漸近穩(wěn)定性

付貞文1， 向會立2*

(1.咸豐縣黃金洞民族中小學(xué)，湖北 咸豐 445614；2.湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

建立了一類非自治差分競爭系統(tǒng), 通過運用差分方程理論、Brouwer定理和Lyapunov 函數(shù)方法, 分別獲得了系統(tǒng)的持久性、正周期解的存在性和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件.

非自治差分競爭系統(tǒng)；持久性；正周期解；全局漸近穩(wěn)定性

文獻[1]介紹了如下連續(xù)自治系統(tǒng):

(1)

在本文中,將研究系統(tǒng)(1)的離散形式:

(2)

其中n∈N,N是自然數(shù)集.在這個問題的研究上，主要受到了文獻[2-6]啟發(fā).

在本文中,令:fU=supn∈N{f(n)},fL=infn∈N{f(n)},其中f(n)是非負(fù)的有界函數(shù).在系統(tǒng)(2)中,r1(n),r2(n)為凈增長率,a1(n),a2(n)為種內(nèi)競爭率,b1(n),b2(n)為種間競爭率,c1(n),c2(n)為擾動系數(shù).同時,因為生物意義的原因,只考慮x1(0)>0,x2(0)>0,bi(n)≥0,ci(n)≥0(i=1,2)時解的情況.

1 持久性

在本節(jié),將研究系統(tǒng)(2)的持久性.

引理1 如果存在n0∈N使得xi(n0+1)≥xi(n0),那么對所有的n>n0，就有:

(i=1,2).

(3)

證明因為存在n0∈N,使得xi(n0+1)≥xi(n0),由系統(tǒng)(2)可得:

由上面的式子可得ri(n0)-ai(n0)xi(n0)≥0,經(jīng)變形可得到下面的式子：

(4)

引理2 如果對任意的n∈N，都有xi(n+1)

(i=1,2).

(5)

利用minn∈R+{exp(x-1)/x}=1,R+是正實數(shù)集,可以得到:

(6)

通過引理1和引理2,得到了下面的定理.

定理1 對任意的正解xi(n)(i=1,2),系統(tǒng)(2)滿足：

(i=1,2).

(7)

引理3 對任意的ε>0,存在n*∈N,對所有的n≥n*,xi(n)≤Mi+ε成立.

引理4 假設(shè)存在n0≥n*,使得xi(n0+1)≤xi(n0),同時，假定系統(tǒng)(2)滿足如下條件:

(8)

證明當(dāng)存在n0≥n*,使得xi(n0+1)≤xi(n0)時,由系統(tǒng)(2)可以得到:

因此,

(10)

通過式(9)和式(10)就有:

“中央空調(diào)主機智能節(jié)電管理系統(tǒng)”是通過采集末端和室外的溫、濕度變化信號，經(jīng)過服務(wù)器AS4N分析和運算，給出控制信號到控制器GCRE，控制器控制主機按原廠自有的邏輯調(diào)節(jié)空調(diào)負(fù)載。把空調(diào)主機和末端直接、統(tǒng)一管理，實現(xiàn)了中央空調(diào)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)、即時運行和綜合性能優(yōu)化。智能節(jié)電管理系統(tǒng)的核心就是數(shù)據(jù)庫和策略庫。如圖3所示。

引理5 如果對所有的n≥n*,有xi(n+1)>xi(n)成立,那么有:

定理2 如果式(8)成立,那么對任意的正數(shù)解xi(n),系統(tǒng)(2)滿足:

由定理1和定理2,得到如下定理.

定理3 如果式(8)成立,那么系統(tǒng)(2)具有持久性.

2 正周期解的存在性和全局漸近穩(wěn)定性

在這部分假設(shè)系統(tǒng)(2)是周期性系統(tǒng),同時,將進一步研究這個系統(tǒng)的正周期解具有全局漸近穩(wěn)定性.因此,假設(shè)系統(tǒng)(2)的所有系數(shù)是ω-周期的.

證明令J=[m1,M1]×[m2,M2],由定理1和定理2知J是系統(tǒng)(2)的不變集.定義J到F的連續(xù)映射:

定理5 若條件(8)成立，且有:

(12)

則系統(tǒng)(2)的正周期解是全局漸近穩(wěn)定的.

(13)

那么系統(tǒng)(2)將改寫如下:

由微分中值定理可以得到:

(14)

其中θi∈(0,1)(i=1,2,3,4,5,6).由式(12),當(dāng)選取ε充分小時就有:

由定理1和定理2.存在n0∈N,當(dāng)n≥n0時有：

由于θi∈(0,1)(i=1,2,3,4,5,6),以及式(13),由系統(tǒng)(14)的第一個式子可得:

max{|u(n+1)|,|v(n+1)|}≤λεmax{|u(n)|,|v(n)|}≤(λε)n-n0max{|u(n0)|,|v(n0)|}.

[1] Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics[M].Boston：Kluwer Academic,1992.

[2] Xiang,H L. Permanence and positive periodic solutions of a difference competitive system with non-linear disturbance[C]//Proceedings of the 7th conference on biological dynamic system and stability of differential equation, Chongqing,May,2010:17-20.

[3] Qin, W J.Permanence and global stability of positive periodic solutions of discrete competitive system[J].Discrete Dyn Nat Soc，2009,Art.ID 830537,13.

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PermanenceandGlobalAsymptoticStabilityofPositivePeriodicSolutionsofaNonautonomousDifferenceCompetitiveSystem

FU Zhen-wen1,XIANG Hui-li2*

(1.Xianfeng Huangjindong Junior High and Primary School for Nationalities,Xianfeng 445614,China;2.School of Science, Hubei University for Nationalities, Enshi 445000,China)

In this paper,a nonautonomous difference competitive system is established. By using the difference equation theory,Brouwer fixed point theorem and Lyapunov function, sufficient conditions are obtained for the permanence of system, the existence and global asymptotic stability of positive periodic solutions of system.

nonautonomous difference competitive system,permanence; positive periodic solution; global asymptotic stability

2013-08-16.

教育部重點項目(212111).

付貞文(1984-)，男(土家族)，主要從事常微分方程研究;*

:向會立(1979-)，男(土家族)，博士生，講師，主要從事隨機偏微分方程、最優(yōu)控制方面的研究.

0175.2

A

1008-8423(2013)03-0267-04