哈爾濱電氣集團(tuán)阿城繼電器有限責(zé)任公司 孫成發(fā)

1.引言

IIR數(shù)字濾波器是一類重要的濾波器，具有較高的計(jì)算精度，且能夠用較低的階數(shù)獲得很好的頻率選擇特性，已在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)是信號處理中的一個(gè)重要課題。許多學(xué)者在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方面作了大量的工作[1-4]，主要分為兩類：一類是先設(shè)計(jì)模擬濾波器，然后利用雙線性變換轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器，方法簡單易行，但設(shè)計(jì)結(jié)果有時(shí)不是十分理想[1]；另一類是基于某一優(yōu)化準(zhǔn)則，將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題的求解，以使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器性能達(dá)到最優(yōu)，但由于相應(yīng)的優(yōu)化問題均是復(fù)雜的多參數(shù)非線性函數(shù)優(yōu)化問題，在求解過程中極易陷入局部極值，難以得到全局最優(yōu)解或滿意解。近年來，隨著智能優(yōu)化算法的發(fā)展，已有學(xué)者將遺傳算法（GA）[2]和粒子群算法（PSO）[3，4]應(yīng)用到IIR是字濾波器設(shè)計(jì)中，但GA算法存在著難以克服的“早熟”和“停滯”問題；PSO雖然運(yùn)行速度快，簡單，但仍有很大可能陷入局部極值。

實(shí)數(shù)編碼量子進(jìn)化算法（Read-coded quantum evolutionary algorithms，RQEA）是基于量子計(jì)算的相關(guān)概念和原理形成的一種概率性搜索算法，具有收斂速度快，全局搜索能力強(qiáng)的特點(diǎn)[5，6]。RQEA為數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)提供了一種新的工具，文中將RQEA用于IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，給出了IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型，介紹了RQEA的基本原理和應(yīng)用RQEA設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的具體實(shí)現(xiàn)過程，最后，通過仿真試驗(yàn)表明應(yīng)用RQEA設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器不僅可行，而且有效。

2.IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 IIR濾波器的優(yōu)化模型

設(shè)N階IIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)描述為：

如采用(1)式進(jìn)行IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，則待優(yōu)化參數(shù)共有M +N+2個(gè)，且各參數(shù)的取值范圍難以確定。為了便于采用優(yōu)化算法進(jìn)行IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)，通常采用二階節(jié)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)形式對(1)式進(jìn)行變形，即：

式中A是增益，是一個(gè)常數(shù)，N為二階節(jié)的個(gè)數(shù)，ak、bk、ck和dk是待優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。當(dāng)IIR濾波器采用(2)式結(jié)構(gòu)時(shí)，頻率響應(yīng)對系數(shù)變化的敏感度低，便于調(diào)整頻率響應(yīng)。(2)式對應(yīng)的IIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為：

式中：

2.2 參數(shù)取值范圍的確定

將(3)式代入(5)式得：

可見，E是增益A和濾波器系數(shù)ak、bk、ck和dk(N k=1,…,)的非線性函數(shù)，而增益A不是獨(dú)立參數(shù)，可由其它參數(shù)參數(shù)確定，則優(yōu)化問題（5）式含有4k個(gè)參數(shù)。

將(6)式對A求微分并令其為0，可推導(dǎo)出最佳增益A的解析表達(dá)式，即：

可得：

表1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果Table1 Results of IIR digital filter design

圖1 不同算法進(jìn)化過程Fig.1 Evolutionary procures of different algorithms

由于只考慮幅度響應(yīng)誤差，A的正負(fù)值對結(jié)果沒有影響。但是，為了保證設(shè)計(jì)濾波器的穩(wěn)定性，需要對優(yōu)化參數(shù)范圍進(jìn)行限制。由(2)式可知，只要使每個(gè)二階節(jié)的極點(diǎn)都在Z平面的單位園內(nèi)，即：的零點(diǎn)zk都滿足由此可以確定ck和dk的取值范圍為：-2＜ck＜2，-1＜dk＜1，(k=1,…,N )。若參數(shù)在此范圍內(nèi)取值，優(yōu)化結(jié)果仍然出現(xiàn)不穩(wěn)定極點(diǎn)，可以用該極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的映像代替該極點(diǎn)(相當(dāng)于級聯(lián)了一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò))，可以在不改變?yōu)V波器幅頻響應(yīng)的基礎(chǔ)上，保證得到穩(wěn)定的濾波器。如果要求設(shè)計(jì)的濾波器同時(shí)具有最小相移特性，對ak和bk的取值范圍作同樣的限制。

3.實(shí)數(shù)編碼量子進(jìn)化算法(RQEA)

RQEA基本思想[5]：(1)構(gòu)造實(shí)數(shù)編碼三倍體染色體；(2)利用量子旋轉(zhuǎn)門和基于高斯變異的互補(bǔ)雙變異算子一起進(jìn)化染色體；(3)通過離散交叉實(shí)現(xiàn)染色體之間的信息交流，擴(kuò)大算法搜索范圍；(4)采用“爬山”選擇，加快算法收斂速度。

實(shí)數(shù)編碼三倍體染色體的等位基因由復(fù)雜函數(shù)自變量向量x的一個(gè)分量xi和量子比特的一對概率幅組成，即：，則實(shí)數(shù)編碼三倍體染色體可描述為：

式中，αi和βi滿足歸一化條件，i=1,…,n。n為染色體長度，由復(fù)雜函數(shù)的維數(shù)決定。

RQEA對每一個(gè)染色體實(shí)施單基因變異[7]。設(shè)第t代時(shí)群體為N為群體規(guī)模。對于，隨機(jī)選擇第i基因位對變量進(jìn)行高斯變異，可得：

圖2 不同算法設(shè)計(jì)濾波器幅頻特性Fig.2 Magnitude of filter designed by different algorithms

若由(10)式生成的新染色體優(yōu)于原染色體，則為有效進(jìn)化，可令否則為無效進(jìn)化，并由量子旋轉(zhuǎn)門更新和，即：

式中，θ0為初始旋轉(zhuǎn)角，γ為進(jìn)化尺度，θ0和γ控制旋轉(zhuǎn)角大小；符號函數(shù)sgn（·）控制旋轉(zhuǎn)角方向，以確保算法收斂。

4.算例分析

為了驗(yàn)證文中提出方法的有效性和優(yōu)越性，采用RQEA設(shè)計(jì)低通濾波器（例1）和高通濾波器（例2），同時(shí)，出于比較的目的，采用GA求解相同的問題。

例1：設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：

例2：設(shè)計(jì)一個(gè)高通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：

在例1和例2中，數(shù)字濾波器均選用3個(gè)二階節(jié)，即N=3，則濾波器參數(shù)共有個(gè)，頻域采樣點(diǎn)數(shù)均取為21。RQEA相關(guān)參數(shù)為：群體規(guī)模、初始旋轉(zhuǎn)角θ0=0.3π、進(jìn)化尺度、實(shí)數(shù)編碼三倍體染色體基因位中的概率幅均取為連續(xù)“求精”和“求泛”次數(shù)分別為mf=6，mc=2；GA相關(guān)參數(shù)為：群體規(guī)模，是RQEA群體規(guī)模的2倍，最優(yōu)個(gè)體保留，蒙特卡羅選擇，交叉概率pc=0.7，變異概率pm=0.1。兩種算法均以運(yùn)算代數(shù)作為終止條件，且運(yùn)算代數(shù)取為500，為消除單次運(yùn)算存在的偶然性，各種算法均在給定參數(shù)下獨(dú)立運(yùn)算10次，取其中最好的一次作為最終優(yōu)化結(jié)果。圖1描述了設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的優(yōu)化過程。圖2描述了設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的幅頻特性。

由圖1可以看出，RQEA無論是收斂速度，還是優(yōu)化結(jié)果均優(yōu)于GA。由圖2不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用RQEA設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的通帶波動、過度帶斜率以及阻帶衰減均要優(yōu)于GA設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器，應(yīng)用RQEA設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器具有更好的綜合性能。表1列出了數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果，濾波器各個(gè)參數(shù)均保留6位小數(shù)，能夠發(fā)現(xiàn)RQEA設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器與理想濾波器的均方誤差更小，性能更優(yōu)。

5.結(jié)論

鑒于IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)本質(zhì)上是一個(gè)多維非線性函數(shù)優(yōu)化問題，文中將具有全局收斂性好，收斂速度快特點(diǎn)的RQEA引入IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中。仿真實(shí)驗(yàn)表明，應(yīng)用RQEA優(yōu)化設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器較GA具有更優(yōu)良的性能，具有實(shí)際意義。

[1]Deckey A G.Synthesis of Recursive Digital Filters Using the minimum P-error Criterion[J].IEEE Trans.Audio Electroacoust,1972,20:257-263.

[2]李建華,殷福亮.設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的遺傳優(yōu)化算法[J].通信學(xué)報(bào),1999,17(3):1-7.

[3]侯志榮,呂振肅.IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的例子群優(yōu)化算法[J].電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào),2003,8(4):16-19.

[4]張松華,陸秀令.IIR數(shù)字濾波器的粒子群優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].信息與電子工程,2007,5(4):271-274.

[5]高輝,徐光輝,張銳,等.實(shí)數(shù)編碼量子進(jìn)化算法[J].控制與決策,2008,23(1):87-90.

[6]Gao H,Zhang R.Real-coded quantum evolutionary algorithm for global namerical optimization with continuous variables.Chinese Journal of Electronics(CJE),2011,20(3):499-503.

[7]王湘中,喻壽益.適用于高維優(yōu)化問題的改進(jìn)進(jìn)化策略[J].控制理論與應(yīng)用,2006,23(1):148-151.