梁美麗

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631)

1 引言及主要定理

W(z)是由方程

所定義的v 值代數(shù)體函數(shù)，其中Aj(z)(j =0，1，…，v)為|z| ＜∞內(nèi)的整函數(shù)，它們沒(méi)有公共零點(diǎn). 當(dāng)v=1 時(shí)，W(z)就是亞純函數(shù);當(dāng)Av(z)≡1 時(shí)，稱(chēng)W(z)為整代數(shù)體函數(shù);當(dāng)Aj(z)(j=0，1，…，v)中至少有一個(gè)為超越整函數(shù)時(shí)，稱(chēng)W(z)為超越代數(shù)體函數(shù);當(dāng)Aj(z)(j =0，1，…，v)均為多項(xiàng)式時(shí)，稱(chēng)W(z)為代數(shù)函數(shù). 關(guān)于代數(shù)體函數(shù)的虧值，目前雖然已經(jīng)進(jìn)行了不少研究［1－5］. 但對(duì)于公共值的相對(duì)虧值鮮有結(jié)果，本文對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了探討，推廣了SINGH［6－7］關(guān)于亞純函數(shù)的結(jié)果.

下文將直接引用文獻(xiàn)［8］中的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)，如T(r，W)，N(r，W)，ˉN(r，W)等. 文中S(r，W)=o(T(r，W))(r→∞)，表示至多除去線性測(cè)度有限的集合.

設(shè)W(z)為由方程(1)定義的v 值代數(shù)體函數(shù)，稱(chēng)

為a 關(guān)于導(dǎo)函數(shù)W(k)的相對(duì)虧值與絕對(duì)虧值.

設(shè)M(z)為由方程

定義的v 值代數(shù)體函數(shù)，其中Bv(z)，Bv－1(z)，…，B0(z)為|z| ＜∞上沒(méi)有公共零點(diǎn)的整函數(shù).

令n0(r，a)為|z|≤r 內(nèi)W(z)=a 與M(z)=a的公共根個(gè)數(shù)，計(jì)重?cái)?shù).(r，a)為|z|≤r 內(nèi)W(z)=a 與M(z)=a 的判別的公共根的個(gè)數(shù).

Θ0(a)(a)可類(lèi)似定義.

本文主要得到如下結(jié)果:

定理1 令W(z)與M(z)為2個(gè)非常數(shù)有窮級(jí)v 值代數(shù)體函數(shù)，且滿(mǎn)足

則對(duì)?a≠0，∞，有

定理2 設(shè)W(z)與M(z)為非常數(shù)有窮級(jí)v 值代數(shù)體函數(shù)，且

則對(duì)2v個(gè)非零復(fù)數(shù)ai(i=1，2，…，2v)，有

定理3 設(shè)W(z)與M(z)為非常數(shù)有窮級(jí)v 值代數(shù)體函數(shù)，且

其中l(wèi)≥1. 則有

2 定理的證明

定理1 的證明 對(duì)代數(shù)體函數(shù)W(z)及復(fù)數(shù)a≠0，∞.考慮下面的等式

應(yīng)用對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理，

由代數(shù)體函數(shù)第一基本定理，有

因此

由于

將式(3)～(6)代入式(2)，得

同理上式對(duì)M(z)也成立，于是

兩邊同除以T(r，W)+T(r，M)并取上極限，則得

即

定理2 的證明 對(duì)代數(shù)體函數(shù)W(z)，有

由代數(shù)體函數(shù)的第一與第二基本定理，有

進(jìn)而

同理式(7)對(duì)M(z)亦成立. 由于

所以

兩邊同除以T(r，W)+T(r，M)且取上極限，則得

亦即定理3 的證明 由于W(z)與M(z)均為有窮級(jí)的，則有

于是

因?yàn)門(mén)(r，W')～lT(r，W)，所以

上式對(duì)M(z)同樣成立，故

兩邊同除以T(r，W)+T(r，M)且取上極限，即有

［1］GU Rongxing. The growth of algebroid functions with several deficient values［J］.Contemporary Math，1983，25:45－49.

［2］YANG Lianzhong. Sums of deficiencies of algebroid functions［J］. Bull Austral Math Soc，1990，42(1):191－200.

［3］YANG Lianzhong. Further results on the deficiencies of algebroid functions［J］. Bull Austral Math Soc，1993，47(2):341－346.

［4］龐學(xué)誠(chéng)，黃裕民. 關(guān)于代數(shù)體函數(shù)的虧值［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1994(2):28－34.

［5］楊連中. 關(guān)于代數(shù)體函數(shù)的虧量［J］. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1997，17(4):338－344.

［6］SINGH A P. Relative defects of meromorphic functions［J］. J Ind Math Soc，1979，44:191－202.

［7］SINGH A P. Relative defects corresponding to the common roots of two meromorphic functions［J］. Kodai Math J，1983，6:333－339.

［8］何育贊，肖修治. 代數(shù)體函數(shù)與常微分方程［M］. 北京:科學(xué)出版社，1988.