孫玉平,周德亮
(遼寧師范大學數(shù)學學院,遼寧 大連116029)
目前計算地下水水頭函數(shù)的主流方法有有限元和有限差分法,用它們解決問題時,都要把計算域離散為有限單元或網(wǎng)格,最后求出水頭函數(shù)。徑向基函數(shù)配點法是用徑向基函數(shù)構造插值函數(shù)并采用配點法作為離散方案的一種無網(wǎng)格方法,與空間維數(shù)無關,此方法不需要背景網(wǎng)格,效率高,形式簡單。本文利用的最小二乘配點法,是在徑向基函數(shù)配點法的基礎上,采用最小二乘法求解計算改進而來,對計算域進行節(jié)點離散,并布置輔助點,這樣計算結果比徑向基配點法精度更高。
在配點型無網(wǎng)格法中,微分方程只在計算域內(nèi)各節(jié)點處嚴格滿足,因此可能會產(chǎn)生較大誤差。張雄[1]等人除了節(jié)點又在計算域內(nèi)引入了輔助點。近似函數(shù)仍然只通過節(jié)點構造,但要求微分方程在所有節(jié)點和輔助點上滿足。此時方程個數(shù)大于未知數(shù)個數(shù),需要用最小二乘方法求解,因此將此方法稱為最小二乘配點無網(wǎng)格法。
假設求解一個一維地下水穩(wěn)定流問題,其對應滲流微分方程為:
式中:h為水頭,K為滲透系數(shù),ε為垂直向補給,Ω為研究區(qū),g(x)為給定的函數(shù),Γ為研究區(qū)Ω的邊界。
對研究區(qū) Ω 布置節(jié)點 x1,x2,…,xN,其中 x1,x2,…,xN0為內(nèi)部節(jié)點,xN0+1,xN0+2,…,xN0+M,為 M 個輔助點,xN0+M+1,xN0+M+2為一類邊界節(jié)點,總節(jié)點數(shù)為N=N0+M+2。
令所有節(jié)點滿足微分方程(1),邊界上的節(jié)點滿足邊界條件(2),
式(3)中有N0+M+2個方程,N0個未知數(shù),需要用最小二乘法求解。為了保證解的精度,邊界條件必須嚴格滿足,因此將上式改寫成
式(4)中h1為邊界Γ上的節(jié)點參數(shù)組成的向量,h2為域Ω內(nèi)的N0+M個節(jié)點的參數(shù)組成的向量。上式可改寫為
式(5)對應于邊界條件,(6)式對應于微分方程,令邊界條件嚴格滿足,由(5)可解得
將(7)式代入(6)式中,得
式(8)中有N0個未知數(shù),N0+M個方程,因此沒有通常意義下的解,需要在最小二乘意義下求解。在Matlab中用矩陣除法計算此類方程組,會自動利用最小二乘法求解,因此可以求出水頭h(x)的近似解。而徑向基函數(shù)配點法,只是在研究域內(nèi)不添加輔助點。
自然界的多孔介質很多都是非承壓的,最小二乘配點法可以很好地用來解決非承壓含水層中的水流問題。下面通過此方法在兩種非承壓條件下的應用來說明這種方法的優(yōu)越性。
如下圖1[2]所示,假設有一非承壓含水層,底板是水平不透水層,有降雨補給ε=0.004 m/d,含水層兩端有兩條河流流過,兩河相距5 000 m,上、下邊界分別為斷面線Ⅰ、Π,水頭分別為 h1、h2,設 h1> h2,h1=280 m、h2=220 m,土壤滲透系數(shù)K=0.785 m/d,在計算區(qū)域內(nèi)滿足
分別使用解析方法、徑向基函數(shù)配點法、最小二乘配點法求解。圖2為不同方法的計算結果,從圖中可以看出,最小二乘配點法比徑向基函數(shù)配點法有更好的精度,更為接近解析解的結果。
圖1
圖2
如圖3[2]所示,設有一水庫,初始狀態(tài)下庫岸地下水位和庫水位齊平,使庫水位由驟降至,這樣庫岸內(nèi)地下水向庫內(nèi)排泄,潛水面形成一向水庫降落的曲線,隨著時間的增加,曲線向岸坡遠處延伸,直至最終穩(wěn)定下來。在區(qū)域內(nèi)滿足
其中土壤的滲透系數(shù)K=0.864 m/d,給水度μ=0.03。
圖4為解析解、最小二乘配點法和徑向基函數(shù)配點法三種方法的計算結果。從圖中可以看出,隨著時間的增加,最小二乘配點法的計算結果比徑向基函數(shù)配點法更精確,穩(wěn)定性更好。
圖3
圖4
上述算例表明:最小二乘配點法處理非承壓含水層穩(wěn)定和非穩(wěn)定流的水流問題是有效的,既能節(jié)省計算量又能保證精度,其近似解和解析解相比的誤差比徑向基函數(shù)配點法更小。此方法同樣適用于二維和三維流問題,方法是類似的。
[1]張雄,劉巖.無網(wǎng)格方法[M].北京:清華大學出版社.2004.
[2]王連軍.工程地下水計算[M].北京:中國水利水電出版社.2004.
[3]張雄,劉小虎,宋康祖,等.Least-square collocation mesh less method,Ⅰnt.J.Num.Meth.Engng,2001,51(9):1089 –1100.
[4]Kansa E J.Multiquadrics-a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid dynamics Ⅰ.Ⅰ.Comp.Math.Applic.1990,19(8/9):147 – 161.
[5]Kansa E J.Multiquadrics-a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid dynamics Ⅰ.Comp.Math.Applic.1990,19(8/9):127 – 145.
[6]周德亮,李靜.最小二乘配點法解一維非穩(wěn)定流問題[J].地下水:2012,34(2):20-21.