曹 菲，毋 凡，胡中澤

（第二炮兵工程大學，陜西 西安710025）

0 引言

自適應波束形成算法也稱為空域濾波算法，它是自適應天線陣列的核心部分，決定著陣列空域濾波的性能。自適應波束形成算法根據應用環(huán)境的變化，通過不同的約束準則來確定自適應加權系數，改變陣列方向圖，從而在理想信號方向上形成主波束，在干擾方向上形成零陷或較低的增益，實現(xiàn)抑制干擾和加強信號的目的。

1 適用于雷達抗干擾的自適應波束形成準則

在自適應陣列處理中，根據空間環(huán)境的不同，自適應濾波算法采用的約束準則也不同，常用的約束準則主要包括：最小均方誤差準則（MMSE）、線性約束最小方差準則（LCMV）、最大似然（ML）準則、最大輸出信噪比準則（MSNR）等［1］。

2 子空間正交投影

2.1 算法原理

子空間正交投影技術利用理想回波信號與干擾信號互不相關的特性，將接收信號首先分解成兩個互相正交的子空間，稱為信號子空間和干擾子空間，然后將接收信號投影到信號子空間，則投影后得到的信號即為消除干擾后的信號，子空間正交投影原理如圖1所示。

圖1 子空間正交投影原理

考慮陣元個數為M 的均勻線性陣列，陣元間距為d，d 等于雷達信號載波波長的一半。假設陣元之間各向同性，陣列接收到的信號經過下變頻、采樣等處理后的信號模型可表示為：

式中，L 表示接收到的干擾信號個數，假設陣元個數大于干擾信號的個數，即M＞L。當理想回波信號與干擾和噪聲信號彼此獨立時，陣列接收信號的互協(xié)方差矩陣Rxx可表示為：

式中，E（·）表示數學期望，H 代表Hermitian轉換，Rs，Rj和RN分別代表回波信號、干擾信號和噪聲的協(xié)方差矩陣。

Rxx為正定矩陣，對它進行特征值分解可得到：

式中，ei代表對應于特征值λi的特征向量，并且M個特征向量e1，e2，…，eM互相正交，即滿足：

雷達系統(tǒng)中，回波信號的功率遠低于干擾信號的功率，因此，在接收信號的互協(xié)方差矩陣Rxx中，功率占主導成分的是干擾信號部分，也就是說，對互協(xié)方差矩陣Rxx進行特征值分解后，L個較大的特征值（λ1，λ2，…，λL）對應著空間中L個強干擾信號，M-L個較小特征值（λL＋1，λL＋2，…，λM）對應于背景熱噪聲和理想回波信號。將特征值λi按從大到小順序排列，即λ1≥λ2≥…≥λM，則Rxx可重寫為：

將L個較大特征值對應的特征向量擴展構成M×L維的干擾子空間，M-L個較小特征值對應的特征向量擴展構成M×（M-L）維的信號子空間。分別記為：

式中，SJ表示擴展的干擾子空間，SG表示擴展的信號子空間，由式（4）可知，它們彼此正交，記做SJ⊥SG，因此，如果將接收信號X（n）投影到信號子空間SG，則其中的強干擾信號將被消除。

令PG表示接收信號在信號子空間的投影矩陣，根據文獻［2］，PG可以由下式計算得到：

式中，SJ被假設為滿秩的干擾子空間矩陣，稱作SJ的Moore-Penrose偽逆矩陣。

令W 表示自適應陣列的權值系數，A 為陣列的導向矢量矩陣，則子空間投影下的最優(yōu)化權值可表示為：

接收信號經過子空間正交投影后，其輸出可表示為：

將式（1）代入式（9），由于干擾信號與雷達回波信號彼此獨立，則可以得到：

由式（10）可知，經過子空間投影后的陣列輸出信號已經不再包含強干擾信號成分，干擾信號被有效抑制。

2.2 子空間跟蹤算法

由上面的理論分析可以得知，子空間正交投影算法可以有效地消除干擾，但這種算法通常需要對數據矩陣進行特征值分解或進行矩陣求逆運算，傳統(tǒng)的子空間分解方法，如特征值分解（EVD）和奇異值分解（SVD），算法的計算復雜度為O（N3），這里N 為輸入數據矩陣的維數。

為了簡化子空間分解的運算量，一些基于子空間跟蹤的分解算法被陸續(xù)提出。這類算法中比較有代表性的是Yang 在1995年提出的投影逼近子空間跟蹤（PAST）算法，它將信號子空間看作一個無約束最小化問題的最優(yōu)解，并用投影逼近的方法簡化了最優(yōu)化問題，然后使用遞推最小二乘法對信號子空間進行跟蹤。

投影逼近子空間跟蹤算法具有收斂速度快、運算簡單等特點，但它得到的子空間不是完全正交的。文獻［3］又在該算法的基礎上提出了一些改進措施，首先對估計的信號子空間進行正交化處理等以得到嚴格正交的特征矢量，然后再進一步得到正交的信號子空間。

2.3 約束化的子空間跟蹤算法

盡管利用進一步正交化處理可以得到正交的子空間，但卻額外增加了算法的計算復雜度。文獻［4］給出了一種新的子空間跟蹤思想：將信號子空間作為一個有約束最小化問題的最優(yōu)解，并用遞歸的投影逼近方法得到估計子空間，稱為約束投影逼近子空間跟蹤算法（CPAST），該算法的計算復雜度為O（Mr），非常適合實時執(zhí)行。

本文提出將約束化投影逼近子空間跟蹤應用于雷達自適應波束形成算法。通過對CPAST 算法進行理論推導和實驗仿真研究了該算法在雷達系統(tǒng)中的抗干擾性能。

假設接收信號X（n）仍如式（1）所示，R＝E（x（n）xH（n））表示觀察數據X（n）的相關矩陣，考慮如下的約束最優(yōu)化問題：

式中，y（n）＝WH（n-1）x（n），Ir是r×r 特征矩陣，W（n）是M×r維滿秩矩陣，代表子空間的正交基。式（11）的代價函數與PAST 算法的代價函數類似，可由此得到信號子空間，同時，約束條件保證了信號子空間的正交性。

由文獻［5］可知，最優(yōu)權值W（n）可由下式得出：

從式（12）可以看出，CPAST 算法中只需要計算互相關矩陣Rxy（n），不需要計算Rxy（n），因而有效地減少了算法的復雜度。為了進一步減少運算量，文獻［5］也提出了一種快速的CPAST 算法，其算法步驟如下：

選擇初始值：W（0）＝［I，…，0］；

由前面的分析可知，在干擾環(huán)境下，雷達接收天線接收到的信號中，回波信號的功率遠遠小于干擾信號功率。子空間跟蹤的目的是得到干擾子空間的估計，或包含理想雷達回波信號的信號子空間估計［6］。通過將接收信號投影到信號子空間，或從接收信號中減去其在干擾子空間中的投影，即可消除強干擾。

3 抗干擾性能仿真

本節(jié)驗證約束化子空間跟蹤算法在雷達自適應天線中的抗干擾性能。首先建立信號仿真環(huán)境，模擬產生不同類型、不同入射方向上的干擾信號，然后通過Matlab軟件仿真研究約束化子空間跟蹤算法在單個干擾、多個干擾存在情況下的抗干擾性能。

1）單個干擾

假設到達天線陣列的信號由理想回波信號與一個干擾信號組成，干擾信號為寬帶干擾，其頻率范圍為0～0.25 fs，這里fs為采樣頻率。假設回波信號與干擾信號的方位角均為90°，即兩個信號來自同一空間平面?；夭ㄐ盘柡透蓴_信號的俯仰角分別為10°和-60°。令干擾信號與回波信號的功率比，即干信比為50dB。信號頻譜圖如圖2所示。

圖2 包含一個寬帶干擾信號的頻譜圖

仿真中采用8陣元的均勻線性陣列。雷達接收機首先將接收信號下變頻到中頻或基帶部分進行數字處理。對上述場景中的信號進行數據采樣，利用約束化子空間跟蹤處理得到陣列最優(yōu)化權值矢量W，根據最優(yōu)權值W 對接收信號進行自適應波束處理可以得到如圖3所示的陣列方向圖。

圖3 寬帶干擾存在條件下的陣列方向圖（干擾方向為-60°）

從圖3可以看出，應用約束化子空間跟蹤處理后，天線方向圖在干擾方向上產生了很深的零陷，因而可以有效抵消掉干擾信號。子空間正交投影后信號的頻譜特性，如圖4所示。

圖4 子空間正交處理后的信號頻譜

從圖4的頻譜圖上可以更清楚地看出，相對于圖2，子空間正交投影處理后，信號中的強干擾部分已經被消除，其成分為高斯白噪聲和理想的雷達回波信號。根據仿真結果可以得出，利用子空間跟蹤算法能夠很好地抑制強干擾信號，從而提高雷達接收機的抗干擾性能。

2）多個干擾

接下來考慮多個干擾同時存在的情況。假設到達天線陣列的信號包括回波信號和三個干擾信號。干擾信號為一個寬帶干擾和兩個單頻干擾，寬帶干擾的頻帶范圍為0～0.25 fs，fs為采樣頻率，單頻干擾的歸一化頻率分別為0.15fs和0.25 fs。仍然假設回波信號與干擾信號的方位角均為90°。干擾信號的俯仰角分別為40°、-10°和-60°。干信比均為50dB。

仍然采用8陣元的均勻線性陣列。首先采用約束化子空間跟蹤處理得到陣列最優(yōu)化權值矢量，然后利用最優(yōu)權值對接收信號進行加權處理，可以得到如圖5所示的陣列方向圖。

圖5 三個干擾情況下得到的陣列方向圖

從圖5可以看出，在多個干擾存在的情況下，子空間跟蹤算法仍然能夠在正確的方向上產生零陷，從而有效消除干擾信號。實際上，對于M個陣元的均勻線性陣列，其空間自由度為M-1，最大所能處理的干擾信號為M-1個。

3）不同算法的性能對比

最后再來考慮子空間跟蹤算法與一些傳統(tǒng)算法的抗干擾性能對比。根據2.1節(jié)的分析，仿真中分別采用子空間跟蹤算法和LCMV（線性約束最小方差）、MMSE（最小均方誤差）算法求得自適應陣列的最優(yōu)化權值，然后根據最優(yōu)化權值得到陣列方向圖。

仿真中天線陣列采用8陣元的均勻線性陣列，陣列接收信號中包含一個理想回波信號和2個干擾信號，各個信號的入射方位角均為90°，干擾信號俯仰角為60°和-50°，干信比為40dB。

分別采用子空間跟蹤算法和LCMV、MMSE算法對上述信號源進行干擾抑制，得到陣列方向圖如圖6所示。

圖6 不同自適應算法得到的方向圖對比

從圖6可以看出，三種算法都能使陣列方向圖在干擾方向上產生了零陷，而對于非干擾方向上的信號，三種自適應算法也產生了不同程度的抑制。但相對于LCMV 和MMSE算法，子空間跟蹤算法產生了較深的零陷，同時對非干擾方向上的信號影響最小，因而對理想回波信號的影響也最小。

4 結束語

通過分析不同干信比條件下自適應算法產生的零陷深度，以及與一些傳統(tǒng)自適應算法的仿真對比，證實了本文提出的約束化子空間跟蹤算法具有更好的抗干擾性能。實驗結果同時也表明：子空間跟蹤算法能夠使陣列方向圖在正確的干擾位置上產生零陷，并且隨著入射信號強度的增加，零陷深度也越深，從而可以有效地對抗強干擾信號?！?/p>

［1］邱新蕓，高原.自適應濾波最佳準則的研究［J］.儀器儀表學報，2005，26（z2）：429-431.

［2］王德純.寬帶相控陣雷達［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2010.

［3］于春銳，張永勝，董臻，等.基于特征分解的SAR 射頻干擾抑制方法［J］.信號處理，2011，27（11）.

［4］Berglez P.Development of a GPS，Galileo and SBAS receiver［R］.Zadar，Croatia：50th International Symposium ELMAR，2008.

［5］Skolnik MI.Introduction to radar system［M］.3rd ed.New York：McGraw-Hill Companies，Inc.，2001.

［6］張明友，汪學剛.雷達系統(tǒng)［M］.3版.北京：電子工業(yè)出版社，2011.