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基于EMD分解的測(cè)量誤差分離方法研究

汪偉1，陳海龍1，劉裕鵬2

（1.軍械工程學(xué)院，河北石家莊050003；2.沈陽(yáng)軍代局駐127廠軍代室，黑龍江齊齊哈爾161000）

摘要：振動(dòng)測(cè)試可以通過(guò)位移信號(hào)一次求導(dǎo)、二次求導(dǎo)得到振動(dòng)信號(hào)的速度、加速度。針對(duì)位移信號(hào)求導(dǎo)過(guò)程存在使原始信號(hào)中誤差放大的問(wèn)題，該文將EMD經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法應(yīng)用到振動(dòng)測(cè)試中，有效地從位移信號(hào)中分離出系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，減小求導(dǎo)后速度、加速度信號(hào)中的誤差信號(hào)，并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；振動(dòng)測(cè)試；測(cè)量誤差；誤差分離

收到修改稿日期：2012-12-04

0　引　言

振動(dòng)測(cè)試在新產(chǎn)品設(shè)計(jì)、修訂相應(yīng)環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)、可靠性試驗(yàn)、環(huán)境試驗(yàn)以及機(jī)械故障診斷等方面有著廣泛應(yīng)用。位移傳感器測(cè)量位移是屬于絕對(duì)式測(cè)量，不存在誤差累計(jì)問(wèn)題。但在采樣頻率很高時(shí)，求導(dǎo)后得到的速度、加速度信號(hào)中有很大的誤差信號(hào)。對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差進(jìn)行修正，提高測(cè)試精度的關(guān)鍵技術(shù)在于如何分離測(cè)量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差?，F(xiàn)在測(cè)量誤差的分離方法使用較為廣泛的有最小二乘回歸法、均值濾波法、傅里葉級(jí)數(shù)逼近法、小波和小波包分解法等。這些方法存在模型階數(shù)、基函數(shù)不易選取，或者誤差分離精度難以提高等問(wèn)題[1-2]。本文提出的基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）誤差分離方法是自適應(yīng)分解，不需要選擇確定模型階數(shù)、基函數(shù)，而且具有較高的信噪比[3]。

1　經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，簡(jiǎn)稱EMD）方法是由美國(guó)NASA的黃鍔博士提出的一種信號(hào)處理方法。它依據(jù)數(shù)據(jù)自身的時(shí)間尺度特征進(jìn)行信號(hào)分解，無(wú)須預(yù)先設(shè)定任何基函數(shù)。這一點(diǎn)與建立在先驗(yàn)性的諧波基函數(shù)和小波基函數(shù)上的傅里葉分解與小波分解方法具有本質(zhì)差別。由于這樣的特點(diǎn)，EMD方法理論上可以用于任何類型的信號(hào)分解[4-5]。

由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解出來(lái)的固有模態(tài)函數(shù)滿足約束條件：

（1）整個(gè)數(shù)據(jù)序列中，極值點(diǎn)的數(shù)量與過(guò)零點(diǎn)的數(shù)量相等或至多相差為1。

（2）信號(hào)上任意一點(diǎn)，由局部極大值點(diǎn)確定的包絡(luò)線和由局部極小值點(diǎn)確定的包絡(luò)線的均值均為0，即信號(hào)關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱。

利用兩個(gè)連續(xù)的處理結(jié)果之間的標(biāo)準(zhǔn)差SD來(lái)判斷第二個(gè)條件是否滿足，SD值取0.2～0.3時(shí)為宜，既可保證IMF的線性和穩(wěn)定性，又可使IMF具有相應(yīng)的物理意義。

（1）數(shù)據(jù)初始化，令r（0t）=x（t），i=1；

（2）提取第i個(gè)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分量：

1）使h0=r（it），k=1；

2）對(duì)hk-（1t）取其局部的極大值和極小值；

3）對(duì)hk-（1t）極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別通過(guò)插值函數(shù)連接起來(lái)，形成上下包絡(luò)；

4）計(jì)算上下包絡(luò)的平均值mk-（1t）；

5）計(jì)算h（it）=hk-（1t）-mk-（1t）；

6）如果滿足停止條件，則h（t）=c（it），否則轉(zhuǎn)到2），并且使k=k+1；

（3）計(jì)算r（it）=ri-（1t）-c（it），如果在r（it）中存在的極值點(diǎn)數(shù)多于2個(gè)，則轉(zhuǎn)到2）并且使i=i+1，否則停止分解，r（it）代表原始數(shù)據(jù)的殘余量。最后得到的

n分解結(jié)果為x（t）=Σc（it）+rn這樣就獲得了n個(gè)經(jīng)

1驗(yàn)?zāi)B(tài)分量c（it）和一個(gè)殘余量rn。n個(gè)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分量代表了原始光譜曲線中包含的不同時(shí)間尺度的特征信號(hào)，通常EMD分解出來(lái)的前幾個(gè)IMF分量集中了原信號(hào)中最顯著、最重要的信息，殘余量rn代表了原始信號(hào)曲線中的趨勢(shì)量信息[6]。

2　振動(dòng)測(cè)試誤差分離方法

位移傳感器，又稱線性傳感器，是利用各種元件檢測(cè)對(duì)象的物理變化量，通過(guò)將該變化量換算為距離。現(xiàn)代工藝的位移傳感器具有頻帶寬、靈敏度高、時(shí)間常數(shù)小等特點(diǎn)。一階線性系統(tǒng)的階躍響應(yīng)函數(shù)為

式中：KA——穩(wěn)態(tài)值；

τ——時(shí)間常數(shù)。

得到位移傳感器過(guò)度響應(yīng)誤差為

在時(shí)間常數(shù)τ很小的情況下，由系統(tǒng)過(guò)度響應(yīng)造成的動(dòng)態(tài)誤差值非常小。根據(jù)位移傳感器測(cè)量誤差的特點(diǎn)，說(shuō)明線性系統(tǒng)靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差雖然存有差異，但其變化規(guī)律是相似的。因此可以通過(guò)靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解，得到的IMF分量和趨勢(shì)項(xiàng)來(lái)確定動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差的形式來(lái)提取系統(tǒng)誤差。先對(duì)測(cè)量系統(tǒng)先進(jìn)行位移不變的靜態(tài)測(cè)試，將測(cè)得數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD模態(tài)分解，得到一組IMF分量和殘余量。再進(jìn)行位移變化的動(dòng)態(tài)測(cè)試，對(duì)測(cè)得數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解，同樣得到一組IMF分量和殘余量。分別對(duì)兩組信號(hào)IMF分量進(jìn)行傅里葉變換，動(dòng)態(tài)測(cè)試IMF分量中幅值、頻率與靜態(tài)測(cè)試IMF分量相同的分量之和應(yīng)為理論上系統(tǒng)誤差的頻率成分。在原始信號(hào)中減去兩組數(shù)據(jù)中形同頻率成分的IMF分量后得到有用信號(hào)。

3　系統(tǒng)誤差的分離與仿真

按照系統(tǒng)誤差變化特征特點(diǎn)，設(shè)計(jì)包含有線性變化系統(tǒng)誤差、周期性變化系統(tǒng)誤差以及指數(shù)變化系統(tǒng)3種形式系統(tǒng)誤差組成的系統(tǒng)誤差進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，說(shuō)明EMD分解提取系統(tǒng)誤差的有效性。

仿真實(shí)驗(yàn)中假設(shè)系統(tǒng)誤差s（t）的表達(dá)式為

測(cè)量信號(hào)x（t）由兩個(gè)部分組成，一部分是系統(tǒng)誤差s（t），另一部分是有效信號(hào)d（t）。

3.1靜態(tài)測(cè)量

不考慮隨機(jī)誤差有效信號(hào)為零時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)為對(duì)x（t）進(jìn)行EMD分解相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行模態(tài)分解，其結(jié)果如圖1所示。

圖1　系統(tǒng)誤差EMD分解結(jié)果

3.2測(cè)量簡(jiǎn)單正弦振動(dòng)信號(hào)

假設(shè)有效信號(hào)是頻率為5 Hz的正弦信號(hào)：

則測(cè)量信號(hào)為

對(duì)x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖2所示。

圖2　測(cè)量信號(hào)EMD分解結(jié)果

對(duì)圖2中頻率與圖1中具有相同頻率的分量imf1、imf3、imf4、imf5和res相加得到系統(tǒng)誤差。

圖3（a）中給出了分離誤差和系統(tǒng)誤差。可以假設(shè)利用EMD分解方法可有效的從簡(jiǎn)單正弦振動(dòng)信號(hào)中分離出復(fù)雜的系統(tǒng)誤差。

圖3　誤差分離結(jié)果

3.3多個(gè)正弦信號(hào)疊加測(cè)試仿真

由于振動(dòng)信號(hào)大多為多個(gè)頻率的正弦振動(dòng)信號(hào)的疊加，假設(shè)兩個(gè)正弦疊加的有用信號(hào)d（t）為

則測(cè)量得到的信號(hào)x（t）為

對(duì)x（t）信號(hào)進(jìn)行EMD分解結(jié)果如圖4所示。?

圖4　測(cè)量信號(hào)EMD分解結(jié)果

由圖5（a）可以看出多個(gè)正弦振動(dòng)信號(hào)分離出的系統(tǒng)誤差和實(shí)際系統(tǒng)誤差相似度同樣很高，再由圖5（b）給出的誤差曲線看出分離出系統(tǒng)誤差后的誤差總體非常小。但由圖3（b）和圖5（b）可以看出由于EMD算法的端點(diǎn)飛翼現(xiàn)象使得數(shù)據(jù)兩端誤差較大。在處理過(guò)程中，對(duì)較長(zhǎng)數(shù)據(jù)處理時(shí)可以通過(guò)不斷拋棄兩端的數(shù)據(jù)來(lái)保證所得包絡(luò)失真度最小。對(duì)于一個(gè)較短數(shù)據(jù)序列來(lái)說(shuō)，一般通過(guò)使用一些改進(jìn)的樣條函數(shù)方法或者在實(shí)測(cè)信號(hào)兩端進(jìn)行延拓，使得邊界效應(yīng)移到延拓后的兩端，從而減小邊界信號(hào)對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)的影響[7]。

4　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文實(shí)驗(yàn)是采用拉繩位移傳感器實(shí)時(shí)測(cè)量火炮后座運(yùn)動(dòng)，通過(guò)對(duì)比分離后得到實(shí)際位移曲線與理論位移曲線對(duì)比來(lái)說(shuō)明EMD分解方法分離系統(tǒng)誤差的有效性。

4.1系統(tǒng)誤差分析

拉繩傳感器靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6　靜態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)

從圖6看出靜態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)成規(guī)律的變化，對(duì)靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解結(jié)果如圖7所示。

圖7中得到的各個(gè)imf分量可以看成系統(tǒng)誤差中各個(gè)頻率的分量。

4.2系統(tǒng)誤差分離

拉繩傳感器測(cè)量位移數(shù)據(jù)如圖8所示。對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解，結(jié)果見(jiàn)圖9。對(duì)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)各模態(tài)分量做傅里葉變換，得到頻譜圖如圖10所示。

將動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)中與靜態(tài)數(shù)據(jù)中相似頻率和幅值的imf2、imf3、imf4分量相疊加得到分離誤差數(shù)據(jù)曲線如圖11所示。

對(duì)比圖6靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)和圖11分離出來(lái)的誤差可以看出，利用和靜態(tài)誤差相同頻率的imf分量疊加出來(lái)的曲線和靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)曲線具有很高的相似

圖7　靜態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)EMD分解結(jié)果

圖8　動(dòng)態(tài)位移曲線

圖9　動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)EMD分解結(jié)果

圖10　靜態(tài)、動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)各模態(tài)分量頻譜

圖11　分離誤差曲線

性。減去動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)分離出來(lái)的誤差數(shù)據(jù)得到動(dòng)態(tài)測(cè)量曲線如圖12所示。

對(duì)比分離誤差后的位移曲線和未分離誤差的位移曲線如圖13所示?？梢钥闯鰞蓚€(gè)曲線吻合度很高，分離誤差后的曲線波動(dòng)明顯小于原始測(cè)量位移曲線。

5　結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)證明，利用EMD經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的方法可以有效地從位移信號(hào)分離出系統(tǒng)誤差。但EMD分解過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)一些虛假模態(tài)分量，這些虛假模態(tài)分量給判斷信號(hào)中的誤差頻率成分造成一定困難。對(duì)于消除虛假模態(tài)分量方法已有相關(guān)研究[8]，但對(duì)于虛假模態(tài)分量與真實(shí)模態(tài)分量混疊于同階本征模態(tài)分量的情況，還存在困難。對(duì)于如何分離出有效信號(hào)模態(tài)分量中的虛假模態(tài)分量，提高EMD分離誤差精度還需進(jìn)一步進(jìn)行研究。

圖12　分離誤差后動(dòng)態(tài)位移曲線

圖13　原始信號(hào)和分離誤差后信號(hào)比較

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Measurement error separation method based on EMD

WANG Wei1，CHEN Hai-long1，LIU Yu-peng2

（1. Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China；2. Shenyang Military Representative Office in 127 Factory，Qiqihar 161000，China）

Abstract:Vibration speed and acceleration can be obtained from the first and second derivatives of displacement signal respectively. However，there is a problem of error enlargement in the derivation of displacement signal. This paper applied EMD decomposition method to vibration test，which can separate system and random errors from the displacement signal effectively. Simulation results and experimental results verified the effectiveness of this method.

Key words:EMD；vibration test；measurement error；error separation

收稿日期：2012-10-24；

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2013.05.003

文章編號(hào)：1674-5124（2013）05-0011-05

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O241.1；TM930.115；TB53；O241.1

作者簡(jiǎn)介：汪偉（1963-），男，陜西西安市人，副教授，博士，主要從事機(jī)械測(cè)試和故障診斷研究。