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由于離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切，能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，也符合高考發(fā)展的方向，是近幾年高考考查的熱點(diǎn)與重點(diǎn)內(nèi)容. 預(yù)計(jì)在今后的高考中，它仍然是考查的重點(diǎn)，題型有選擇題、填空題、解答題，不同的地區(qū)，在命題設(shè)計(jì)上不盡相同，但以解答題為主的可能性更大.

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求離散型隨機(jī)變量的期望和方差，一般先根據(jù)隨機(jī)變量的意義，確定隨機(jī)變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機(jī)變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計(jì)算. 這類題多為解答題，常常綜合考查排列組合知識(shí)、隨機(jī)事件的概率等，有時(shí)還會(huì)根據(jù)概率、期望、方差等數(shù)據(jù)對(duì)某些現(xiàn)象進(jìn)行說(shuō)理. 因此在復(fù)習(xí)時(shí)要注意對(duì)概率綜合題的研究，既要落實(shí)“模型題”訓(xùn)練，又要注重從生活情境出發(fā)進(jìn)行思考.

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■ 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對(duì)工期的影響如下表. 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求工期延誤天數(shù)的均值與方差.

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破解思路 先根據(jù)條件信息求出Y=0，2，6，8時(shí)的相應(yīng)概率，列出Y的分布列，再根據(jù)分布列計(jì)算期望和方差. 這類題為容易題，體現(xiàn)對(duì)分布列、期望、方差等的最低要求.

經(jīng)典答案 由已知條件和概率的加法公式可得到：P（X<300）=0.3，P（300≤X<700）=P（X<700）-P（X<300）=0.7-0.3=0.4，P（700≤X<900）=P（X<900）-P（X<700）=0.9-0.7=0.2，P（X≥900）=1-P（X<900）=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列為：

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于是，EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，DY=9.8. 故工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為9.8.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

■ 一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球. 已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是■；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是■.

（1）若袋中共有10個(gè)球，①求白球的個(gè)數(shù)；②從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.

（2）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于■，并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少.

破解思路 （1）方程思想. 先根據(jù)條件建立方程，確定白球數(shù)，再確定隨機(jī)變量ξ的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，求得分布列和期望.

（2）先設(shè)定兩種球的個(gè)數(shù)，表示出相應(yīng)的概率，由概率關(guān)系建立不等式，得到兩個(gè)未知數(shù)間的關(guān)系，從而論證結(jié)論.

經(jīng)典答案 （1）①記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，則P（A）=1-■=■，得到x=5. 故白球有5個(gè).

②隨機(jī)變量ξ的取值為0，1， 2，3，分布列是：

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ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=■×0+■×1+■×2+■×3=■.

（2）證明：設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，由題得y=■n，所以2y

■ 品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試. 根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分.現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a1，a2，a3，a4表示第一次排序時(shí)被排為1，2， 3，4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4，則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述.

（1）寫出X的可能值集合；

（2）假設(shè)a1，a2，a3，a4等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；

（3）某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有X≤2，①試按（2）中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立）；②你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說(shuō)明理由.

破解思路 準(zhǔn)確理解題意是確定隨機(jī)變量X的取值的關(guān)鍵. 分析a1，a3與a2，a4中奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)，確定X的奇偶性，然后估算X的范圍，并逐一檢驗(yàn)；借助樹狀圖列出所有可能情形，計(jì)算X值相應(yīng)的概率，得到分布列；通過(guò)計(jì)算概率，判斷該品酒師酒味鑒別的能力，并說(shuō)明理由.

經(jīng)典答案 （1）由于1，2，3，4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，所以a2，a4中奇數(shù)個(gè)數(shù)與a1，a3中偶數(shù)個(gè)數(shù)相同，所以1-a1+2-a2+3-a3+4-a4的奇偶性相同，從而X的可能值必為偶數(shù)，且非負(fù)，不大于8，故X的可能值集合為{0，2，4，6，8}.

（2）列樹狀圖可得1，2，3，4的排列共有24種，計(jì)算得X的分布列如下：

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（3）①由（2）知P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=■，又各輪測(cè)試相互獨(dú)立，所以三輪測(cè)試都有X≤2的概率為P=■■=■.

②由于P=■■=■<■是一個(gè)很小的概率，所以如果僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有X≤2的結(jié)果可能性非常小，因此我們認(rèn)為該品酒師確實(shí)有良好的味覺鑒別能力，不是隨機(jī)猜測(cè)的.

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1. 某中學(xué)選派40名同學(xué)參加北京市高中生技術(shù)設(shè)計(jì)創(chuàng)意大賽的培訓(xùn)，他們參加培訓(xùn)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：

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（1）從這40人中任意選3名學(xué)生，求這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)恰好相等的概率；

（2）從40人中任選2名學(xué)生，用X表示這兩人參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.

2. 某高校的自主招生考試數(shù)學(xué)試卷共有8道選擇題，每個(gè)選擇題都給了4個(gè)選項(xiàng)（其中有且僅有一個(gè)是正確的）. 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每題只選1項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分. 某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其中兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷其中一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜. 對(duì)于這8道選擇題，試求：

（1）該考生得分為40分的概率；

（2）該考生所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

3. 文科班某同學(xué)參加某省學(xué)業(yè)水平測(cè)試，物理、化學(xué)、生物獲得等級(jí)A和獲得等級(jí)不是A的機(jī)會(huì)相等，物理、化學(xué)、生物獲得等級(jí)A的事件分別記為W1，W2，W3，物理、化學(xué)、生物獲得等級(jí)不是A的事件分別記為■，■，■.

（1）試列舉該同學(xué)這次水平測(cè)試中物理、化學(xué)、生物成績(jī)是否為A的所有可能結(jié)果（如三科成績(jī)均為A記為（W1，W2，W3））；

（2）求該同學(xué)參加這次水平測(cè)試獲得兩個(gè)A的概率；

（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理、化學(xué)、生物成績(jī)情況的事件，使該事件的概率大于85%，并說(shuō)明理由.