查漏補缺之圓錐曲線
2013-12-29 00:00:00朱斌
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2013年1期
圓錐曲線的定義
（1）你知道橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義嗎？
作答：______________________
（2）橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義你掌握了嗎？
作答：______________________
（1）平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓；與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線；與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.
（2）已知點F是平面上的一個定點，l是平面上不過點F的一條定直線，動點P到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數(shù)e． 當(dāng)0
橢圓的幾何性質(zhì)
（１）你知道橢圓的焦半徑公式嗎？焦點弦公式還記得嗎？
作答：______________________
（２）如何計算橢圓的焦點三角形的面積？
作答：______________________
（３）你知道如何求解橢圓的切線方程嗎？
作答：______________________
以方程■+■=1（a>b>0）為例．
（１）①設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，則PF1=a+ex0，PF2=a－ex0；②過點F1（－c，0）的弦AB長為AB=2a+e（xA+xB），過點F2（c，0）的弦AB長為AB=2a－e（xA+xB），其中xA，xB分別為A，B兩點的橫坐標(biāo)．
（２）設(shè)P點是橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，則S■=b2tan■（θ為PF1，PF2的夾角）. 特別地，若PF1⊥PF2，此三角形面積為b2．
（３）過橢圓■+■=1上一點P（x0，y0）處的切線方程是■+■=1；過橢圓■+■=1外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是■+■=1．
雙曲線的幾何性質(zhì)
（１）雙曲線的焦半徑公式還會用嗎？
作答：______________________
（２）如何計算雙曲線的焦點三角形的面積？
作答：______________________
（３）與已知雙曲線有同一條漸近線的雙曲線方程如何表示？
作答：______________________
（４）你知道如何求解雙曲線的切線方程嗎？
作答：______________________
以方程■－■=1（a>0，b>0）為例．
（１）設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點. 當(dāng)點P在雙曲線的左支上時，PF1=－ex0－a，PF2=－ex0+a；當(dāng)點P在雙曲線的右支上時，PF1=ex0+a，PF2=ex0－a．
（２）設(shè)P點是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，則S■=b2cot■（θ為PF1，PF2的夾角）. 特別地，若PF1⊥PF2，此三角形面積為b2．
（３）與已知雙曲線■－■=1有同一條漸近線的雙曲線方程可以表示為■－■=t． 其中，當(dāng)t>0時，焦點在x軸上；當(dāng)t<0時，焦點在y軸上．
（４）過雙曲線■－■=1上一點P（x0，y0）處的切線方程是■－■=1；過雙曲線■－■=1外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是■－■=1．
拋物線的幾何性質(zhì)
（１）與拋物線的焦點弦相關(guān)的四條性質(zhì)，你還記得嗎？
作答：______________________
（２）你知道如何求解拋物線的切線方程嗎？
作答：______________________
以y2=2px（p>0）為例．
（１）設(shè)過焦點F的弦AB的端點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在準(zhǔn)線x=－■上的射影分別為A1，B1，則①y1y2=?。璸2，x1x2=■p2；②AF=x1+■，BF=x2+■，AB=x1+x2+p；③∠A1FB1=90°；④以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切．
（２）過拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）；過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是y0y=p（x+x0）．
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
（1）如何判斷直線與圓錐曲線的交點？
作答：______________________
（2）圓錐曲線與直線的弦長公式你還記得嗎？
作答：______________________
（3）求軌跡方程的常用方法有哪些？
作答：______________________
（1）若直線斜率存在，則聯(lián)立圓錐曲線方程和直線方程，消元后得到一元二次方程，可根據(jù)Δ來判斷交點個數(shù)，最多只有兩個交點，最少無交點，可能為0，1，2個；消元后得到一元一次方程，只有一個交點． 若斜率不存在，則可用數(shù)形結(jié)合法判斷.
（2）若設(shè)直線l與圓錐曲線F（x，y）=0交于A（x1，y1）， B（x2，y2），則當(dāng)直線l垂直于x軸時，弦長容易求得；當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，則AB=■x2-x1=■■．
（3）求軌跡方程的主要方法有定義法、代點法、點差法、參數(shù)法、設(shè)而不求法等．
