摘 要： 數(shù)學(xué)問題的解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.本文利用波利亞的解題表剖析2012年廣東中考數(shù)學(xué)壓軸題，以提供數(shù)學(xué)解題的有效思路和方法.

關(guān)鍵詞： 2012年廣東中考數(shù)學(xué)壓軸題 數(shù)學(xué)解題 波利亞解題表

1.理論背景

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認為：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”但在平時的解題中，學(xué)生常常會提出這樣的疑惑：“我應(yīng)該怎樣著手去分析這些數(shù)學(xué)題？”“為什么有些同學(xué)可以很容易地就想出了它們的解決方法？他們是怎么想的？”而作為教師，我們也應(yīng)常常思考：“我應(yīng)該怎樣讓學(xué)生學(xué)會自主分析呢？對于數(shù)學(xué)解題，有沒有一般性的解題方法呢？”

正是基于這樣的一些考慮，波利亞形成了著作《怎樣解題》.書中的解題表給我們提供了解題的一般方法.他將解題過程分成四個步驟：弄清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃、回顧.下面我們利用波利亞的解題表剖析2012年廣東中考數(shù)學(xué)壓軸題，以提供數(shù)學(xué)解題的有效思路和方法.

2.考題呈現(xiàn)

例：（2012廣東22）如圖1，拋物線yx軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC.

（1）求AB和OC的長；

（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合）.過點E作直線l平行BC，交AC于點D.設(shè)AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

圖1

（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值，此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留π）.

易得：AB=9，OC=9.下面主要討論（2）、（3）小題.

2.1利用波利亞解題表剖析小題（2）.

第一步：弄清問題

問：已知是什么？

點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動，直線l平行BC，AE的長為m，△ADE的面積為s，另外，別忘了還有AB、OC的長.

問：未知是什么？

s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，自變量m的取值范圍.

問：要確定未知，條件是否充分？

自變量m的取值范圍是容易得出的，但要求△ADE的面積s似乎還有點難度.

畫個圖試試，把不必要的部分刪除（如圖2），看能否把已知和未知聯(lián)系起來？

圖2

第二步：擬訂計劃

問：你是否見過類似的圖形？它與哪個知識點相關(guān)？

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這是我們常做的題型.

問：你是否知道一個可用得上的定理？

可以用相似三角形的面積比等于相似比的平方，而且相似比容易求出，只是兩個三角形的面積都是未知的.

問：回到已知，能否借助它們求出三角形的面積？

AB、OC分別是△ABC的底和高，可以利用它們求出△ABC的面積.

第三步：實現(xiàn)計劃

第四步：回顧

這里用到相似三角形的判定和性質(zhì)，看看每一步都是有根有據(jù)的，面積也沒計算錯，最后記得不要漏了m的取值范圍.

2.2利用波利亞解題表剖析（3）小題.

第一步：弄清問題

問：已知是什么？

問：未知是什么？

△CDE面積的最大值；圓E的半徑及面積.

問：要確定未知，條件是否充分？

這個似乎有點難，△CDE的底和高都未知且是變量，無法從定義求出它的面積.

第二步：擬訂計劃

問：回歸題目，認真觀察圖形及已知，有幾個三角形的面積能加以利用，把問題轉(zhuǎn)化為已知？

沒錯，我可以先求出△ACE的面積，再減去△ADE的面積求出△CDE的面積.

問：圓E的面積怎么辦？你原來做過類似的題嗎？

我再畫個圖試試，只要能確定點E的坐標(biāo)，就可以確定圓的半徑.求半徑可以利用三角形相似的性質(zhì)，坐標(biāo)系中兩個直角三角形相似是我曾經(jīng)做過的，只需再知道BC的長度，這可以利用勾股定理實現(xiàn).

第三步：實現(xiàn)計劃

第四步：回顧

這道題用到了圖形的割補，二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定和性質(zhì)及圓的切線的性質(zhì)，結(jié)果是較大的數(shù)，然而檢驗過程沒有錯誤.我還發(fā)現(xiàn)，求△CDE的面積時，也可以先求出△BCE的面積，再用△ABC的面積減去△ADE和△BCE的面積.

3.反思

波利亞指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”“是什么促使你這樣想，這樣做的？”。這就是說，解題過程是思維過程，是把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程.波利亞解題表中的問題多是解題者自問自答，它讓解題者從所學(xué)中尋找解題方法，把暫時未能解決的問題轉(zhuǎn)化為我們曾經(jīng)遇到過的題目.它為我們呈現(xiàn)了人們分析、解答數(shù)學(xué)題的心理過程，學(xué)生可以從中洞察數(shù)學(xué)解題思維的過程.但反思整個解題過程會發(fā)現(xiàn)，掌握基礎(chǔ)知識再加大量的解題經(jīng)驗，才是我們最終得以解決問題的基礎(chǔ).