王福謙

(長(zhǎng)治學(xué)院電子信息與物理系，山西長(zhǎng)治046011)

圓柱形電容器由于受力或工藝問(wèn)題，可成為橢圓柱形電容，這一變化對(duì)電容器的電容量及耐壓能力都將產(chǎn)生影響，使電容器的性能指標(biāo)偏離設(shè)計(jì)值。有關(guān)文獻(xiàn)［1-9］僅討論了橢圓柱形電容器的電容量及電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)(標(biāo)量式)分布，但對(duì)由于極板截面橢圓化對(duì)圓柱形電容器耐壓能力影響的定量分析，相關(guān)文獻(xiàn)還未見(jiàn)涉及.為此，筆者擬利用保角變換和數(shù)學(xué)軟件研究此問(wèn)題。

1 橢圓柱與圓柱橫截面之間的變換

圖1為一長(zhǎng)、短半軸分別為a、b的長(zhǎng)直橢圓柱導(dǎo)體的橫截面.在復(fù)平面z上，以橢圓中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，場(chǎng)點(diǎn)的位置為P(x，y)。經(jīng)如下的儒可夫斯基變換

圖1 導(dǎo)體橢圓柱的橫截面及其外部的場(chǎng)點(diǎn)

式(1)中的c為橢圓的半焦距，如圖2所示，w復(fù)平面上的圓w(u，v)=Reiθ就變換為圖1中z平面的橢圓.圖2中的導(dǎo)體截面圓的半徑為R=(a+b)/c，而與z平面上的場(chǎng)點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)的w平面上場(chǎng)點(diǎn)P'(u，v)的位置坐標(biāo)及其矢徑r以下兩式［10］確定

其中

圖2 變換后的導(dǎo)體圓柱及其外部的場(chǎng)點(diǎn)

2 橢圓柱與圓柱電容器橫截面的變換

圖3為一長(zhǎng)、短半軸分別為a1、b1和的a2、b2長(zhǎng)直共焦橢圓柱形電容器的橫截面.內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為U0，其間為真空。在這個(gè)區(qū)域中，電勢(shì)滿(mǎn)足拉普拉斯方程。經(jīng)變換式(1)后，w復(fù)平面上的兩同心圓w(u，v)=R1eiθ和w(u，v)=R2eiθ(見(jiàn)圖 4)，變換為圖3中z平面上的兩共焦橢圓.圖4中的兩圓的半徑分別為R1=(a1+b1)/c和R2=(a2+b2)/

由于在w平面上電容器的橫截面的形狀為圓形，即為圓柱形電容器，其內(nèi)部電場(chǎng)在該截面上呈對(duì)稱(chēng)分布，故在w平面上可按圓柱形電容器的情形來(lái)討論電場(chǎng)分布規(guī)律.

圖3 橢圓柱形電容器的橫截面及其內(nèi)部的場(chǎng)點(diǎn)

圖4 變換后的同心圓環(huán)形區(qū)域及其內(nèi)部的場(chǎng)點(diǎn)

3 橢圓柱形電容器內(nèi)的電場(chǎng)分布

設(shè)橢圓柱電容器內(nèi)、外極板之間的電壓為U0，由于保角變換并不能改變內(nèi)、外極板之間的電壓，故變換后的圓柱形電容器內(nèi)、外極板間的電壓仍為U0。

對(duì)圓柱形電容器，其中的電場(chǎng)分布是徑向的，大小與半徑成反比.即

其中A為與電容器兩極板之間電壓值有關(guān)的常數(shù)，er為圓柱形電容器橫截面上的徑向單位矢。

因?yàn)?/p>

則

因此，圓柱形電容器內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為

式中eu、ev為圓柱形電容器橫截面上沿橫、縱軸正向的單位矢。

圓柱形電容器兩極板之間的電勢(shì)分布為(內(nèi)極板的電勢(shì)高于外極板)

將式(2)代入式(6)，有

式(7)和式(8)為橢圓柱電容器橫截面上的電場(chǎng)分布表達(dá)式.其中和 ey分別為沿橢圓柱電容器橫截面共焦橢圓半長(zhǎng)軸和半短軸方向的單位矢，且 ex=eu，ey=ev。

圖5和圖6為利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB所繪制出的橢圓柱形電容器橫截面上電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)分布圖.

圖5 橢圓柱電容器內(nèi)的電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)(面)圖(a1=3 m、b1=2 m，a2=5 m、b2= m)

圖6 橢圓柱電容器內(nèi)的電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)(面)圖(a1=8 m、b1=2 m，a2=9 m、b2= m)

圖5和圖6中的電場(chǎng)線(xiàn)依相鄰電場(chǎng)線(xiàn)間的電通量相同繪制出，而等勢(shì)線(xiàn)則按相鄰等勢(shì)線(xiàn)間電勢(shì)差相等畫(huà)出。圖中的電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面及極板垂直，且在橢圓柱電容器內(nèi)部，愈靠近內(nèi)極板表面，電場(chǎng)愈強(qiáng).內(nèi)、外極板長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)要大于極板的其他部位。比較圖5和圖6可以看出，當(dāng)電容器極板截面橢圓的焦距增大時(shí)，內(nèi)、外極板長(zhǎng)、短軸頂點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)差增大。作出的圖與預(yù)期結(jié)果相符.圖5中a1=3 m、b1=2 m，m;圖 6 中a1=8 m、b1=2 m，a2m;兩圖中電容器極板間的電壓均為U0=100 V.

4 耐壓能力

由式(8)可知，當(dāng)x=a1，y=0時(shí)，可得到橢圓柱電容器內(nèi)極板半長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為

長(zhǎng)、短半軸分別為a、b的橢圓的周長(zhǎng)的近似值為，由此得該橢圓轉(zhuǎn)換為圓的半徑為

由式(9)又可得變形后的共焦橢圓柱電容器內(nèi)極板長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)

同理，對(duì)橫截面尺寸如圖6的橢圓柱電容器，其變形前內(nèi)極板表面處的場(chǎng)強(qiáng)為

而變形后的共焦橢圓柱電容器內(nèi)極板長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)則為

比較式(11)、式(12)及式(13)、式(14)可知，在電源電壓一定的情況下，橢圓柱電容器內(nèi)極板長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)要大于變形前的圓柱形電容器內(nèi)極板上表面處的場(chǎng)強(qiáng)，其外極板長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)也滿(mǎn)足此關(guān)系。所以，當(dāng)圓柱形電容器不論由于工藝問(wèn)題還是由于受力變形，其截面成為橢圓狀時(shí)，都要導(dǎo)致其耐壓能力降低，并且橢圓的焦距越大，耐壓能力降低的程度越高。由式(10)可知，截面橢圓長(zhǎng)、短半軸分別為a1=3 m、b1=2 m和a2=5 m、b2的橢圓柱形電容器，變形為此形狀前對(duì)應(yīng)的圓柱形電容器的截面圓的內(nèi)、外半徑分別為R1=2.525 3 m、R2=4.743 7 m，而截面橢圓長(zhǎng)、短半軸分別為a1=8 m、b1=2 m和的橢圓柱形電容器，變形為此形狀前對(duì)應(yīng)的圓柱形電容器的截面圓的內(nèi)、外半徑分別為R1=5.5 m、R2=6.975 m。圖7和圖8為通過(guò)數(shù)學(xué)軟件MATLAB分別繪制出的這兩組內(nèi)、外半徑數(shù)據(jù)下的圓柱形容器內(nèi)的電場(chǎng)分布圖。

將圖7和圖8分別與圖5和圖6比較可看出，橢圓柱電容器內(nèi)極板長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處的電場(chǎng)線(xiàn)(或等勢(shì)線(xiàn))密度，要大于變形前的圓柱形電容器內(nèi)極板表面處的電場(chǎng)線(xiàn)(或等勢(shì)線(xiàn))密度，此處場(chǎng)強(qiáng)變大，與式(11)和式(12)計(jì)算結(jié)果一致。這說(shuō)明，當(dāng)圓柱形電容器發(fā)生形變而成為橢圓柱形電容器時(shí)，其耐壓能力將降低。

圖7 形變前的圓柱形電容器內(nèi)的電場(chǎng)分布圖(R1=2.525 3 m、R2=4.743 7 m)

圖8 形變前的圓柱形電容器內(nèi)的電場(chǎng)分布圖(R1=5.5 m、R2=6.975 m)

下面計(jì)算極板橢圓化前后圓柱電容器耐壓能力的改變量。由式(11)和式(12)可得，在介質(zhì)的介電強(qiáng)度(即擊穿場(chǎng)強(qiáng))一定的情況下，橢圓柱形電容器所承受的電壓Ue要小于同軸圓柱形電容器所承受的電壓Uc，在電容器所填充介質(zhì)相同的情況下，橢圓柱形、圓柱形電容器的耐壓能力之比Ue/Uc為

或

下面根據(jù)式(15)給出Ue/Uc隨極板橢圓尺寸變化的一組數(shù)據(jù)，以此來(lái)說(shuō)明橢圓柱形電容器的耐壓能力隨橢圓尺寸的變化情況。

表1 耐壓能力Ue/Uc隨極板橢圓尺寸的變化

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，若電容器的內(nèi)、外極板的橢圓長(zhǎng)、短半軸分別為 3 m、2.95 m及 5 m、4.970 2 m，知Ue/Uc=99.16%，即內(nèi)、外極板的橢圓的半焦距為0.545 4時(shí)，該電容器的耐壓能力為其同軸時(shí)的約 99.16%，取Uc=220 V，則Ue=218.15 V;若電容器的內(nèi)、外極板的橢圓長(zhǎng)、短半軸分別為3 m、2.70 m及5 m、4.826 0 m，知Ue/Uc=94.78%，即內(nèi)、外極板的橢圓的半焦距為1.307 7時(shí)，該電容器的耐壓能力為其同軸時(shí)的約94.78%，取Uc=220 V，則Ue=208.5 V。顯然，圓柱形電容器由于極板截面的橢圓化，將使其耐壓能力降低，橢圓化超過(guò)一定程度，耐壓能力將較大程度地低于工作電壓，電容器有被擊穿的危險(xiǎn)，不能正常工作。

綜上所述，圓柱形電容器的橫截面由于工藝上出現(xiàn)的橢圓化，將直接影響到電容器的使用壽命和質(zhì)量。由本文的結(jié)論可知，為保證電容器的質(zhì)量和使用壽命，在生產(chǎn)工藝上要求盡量減小其橢圓化程度，將其需控制在一定范圍之內(nèi)。本文所討論的為圓柱形電容器的極板截面橢圓化為共焦橢圓的情形，表1中所提供的耐壓能力隨極板截面橢圓尺寸的變化數(shù)據(jù)供生產(chǎn)廠家參考。

5 結(jié)束語(yǔ)

計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實(shí)驗(yàn)研究和理論分析之外的第3種研究手段，本文將理論分析與計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，通過(guò)橢圓柱形電容器電場(chǎng)分布的可視化，研究了極板截面橢圓化對(duì)圓柱形電容器耐壓能力的影響，故所得數(shù)據(jù)精確度高且可靠，可為一般的電容器的加工制作精度提供理論依據(jù)和參考數(shù)據(jù)，對(duì)提高圓柱形電容器的質(zhì)量，定量計(jì)算生產(chǎn)中出現(xiàn)的工藝偏差具有一定的理論價(jià)值和實(shí)際意義，本文所使用的研究方法也可供電容器研究專(zhuān)業(yè)人員在新型電容器的設(shè)計(jì)和研發(fā)方面借鑒。

［1］路宏敏，趙永久，朱滿(mǎn)座.電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，2006:128-131.

［2］蘇東林，陳愛(ài)新，謝樹(shù)果.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.北京:高等教育出版社，2009:106-109.

［3］焦其祥.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.北京:科學(xué)出版社，2007:168-169.

［4］游榮義.橢圓柱形電容器的電容［J］.大學(xué)物理，2001，20(12):26-27.

［5］孫春峰.用復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)變換求共焦點(diǎn)橢圓柱形電容器的電勢(shì)及電容［J］.大學(xué)物理，2005，24(2):13-15.

［6］賈秀敏.再論共焦橢圓柱形電容器的電場(chǎng)及電容［J］.大學(xué)物理，2009，28(9):22-24.

［7］鄭民偉.共焦橢圓柱形電容器的電場(chǎng)和電容的另一種計(jì)算［J］.大學(xué)物理，2011，30(9):31-33.

［8］劉世忠.用雙能量法計(jì)算橢圓柱形電容器和偏心電纜的電容［J］.福州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1992，20(3):43-48.

［9］張麗，張健.利用微元法求電容器電容［J］.長(zhǎng)春師范學(xué)研學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，28(5):15-16.

［10］林焰清，陳鋼.線(xiàn)電荷與接地橢圓柱形導(dǎo)體系統(tǒng)的電勢(shì)［J］.大學(xué)物理，2009，28(8):25-27.