一、歷史繼承與現(xiàn)實改革

我們不能因循守舊。知識在不斷更新，我們的教材不能一成不變，總得適應(yīng)時代，跟進(jìn)時代。跟進(jìn)時代是不容易的，舉一個例子：概率統(tǒng)計現(xiàn)在在教材里是沒有問題的，是牢牢站住腳跟的，而且篇幅還占的比較多。記得九十年代初期的時候，我參加教材審查，當(dāng)時在青島找中學(xué)老師開了一個座談會，會上試著提出在中學(xué)教材中增加概率統(tǒng)計的內(nèi)容，但是到會的幾乎99%的中學(xué)老師都不同意加。概率統(tǒng)計加進(jìn)來是很困難的，實際上當(dāng)時并沒有說是改大綱。后來慢慢地逐步滲透，經(jīng)過許多年以后。每一本教材都有了概率統(tǒng)計的內(nèi)容，而當(dāng)初中課標(biāo)出來的時候，把概率統(tǒng)計作為正式的內(nèi)容加進(jìn)去以后，它就理所應(yīng)當(dāng)占據(jù)了比較穩(wěn)定的地位。想象一下當(dāng)時不加概率統(tǒng)計，現(xiàn)在我們的教材會是什么樣子的？可見跟進(jìn)時代是一個很重要的議題。

另一方面我們對歷史不能采取虛無主義。就是說我們要在繼承歷史的基礎(chǔ)上前進(jìn)。王建磐校長說中國的數(shù)學(xué)教育歷史追溯到100多年以前，數(shù)學(xué)教育改革的歷史實際上也牽涉到100多年以前。比方說1905年廢除科舉，我想是最大的教育改革。如果近代數(shù)學(xué)從1913年北人數(shù)學(xué)門成立算起，到今年正好整整100年。在這i00年當(dāng)中，我們不斷在改革，包括1949年以前也在改革，中間有成功的，也有要總結(jié)教訓(xùn)的。1911年辛亥革命以后，走出去，請進(jìn)來，到二十年代，中國的數(shù)學(xué)教育還是有很多可以吸取經(jīng)驗的地方。為什么這么說呢？我們看一個同家的教育成功不成功，主要看培養(yǎng)出什么人才。三十年代我只舉兩個人就夠了：華羅庚、陳省身。陳省身是科班出身，是三十年代我們國家培養(yǎng)的第一個數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士：而華羅庚是自學(xué)成才，確確實實只有初中文憑，他到清華也是三十年代的事情。這兩個不同背景的人都能走到世界一流數(shù)學(xué)家的舞臺上，這是高等教育不拘一格降人才的成果，在這背后我想還有基礎(chǔ)教育的作用。傅種孫教授在1949年以前就提出來搞混合數(shù)學(xué)，混合數(shù)學(xué)就是像現(xiàn)在我們的教材這樣，代數(shù)、幾何都是打通的，但是后來他做了一段時間以后就沒有再做下去。我覺得從辛亥革命到三十年代，經(jīng)過短短的二十年，中國的基礎(chǔ)教育和高等教育還是有成功的地方，我把它叫做1930現(xiàn)象，應(yīng)該很好地去發(fā)揚(yáng)與總結(jié)的。

“雙基”教育是新中國成立以后我們教育的一大特色，當(dāng)然有吸收其他文化的因素，但是我們把它發(fā)展、融合、吸收成為我們國家自己的品牌。還有高等教育，這是我親身經(jīng)歷的，比方說華羅庚在科大提出把數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)，還有其他一些高等數(shù)學(xué)內(nèi)容整合為一個整體來進(jìn)行教學(xué)，也就是所謂的“一條龍”教育，由國內(nèi)最著名的數(shù)學(xué)家，像華羅庚、吳文俊、關(guān)肇直親自到科大來講課，當(dāng)時叫“三龍”——華龍、吳龍和關(guān)龍。每條龍都有自己的特色，都有自己的教材?？拼笤诔闪⑽迨甑臅r候?qū)Α耙粭l龍”的教學(xué)也有初步的總結(jié)，但是比較粗略的。比方說華羅庚先生的教材《高等數(shù)學(xué)引論》，已經(jīng)這么多年過去了，還在國內(nèi)高教社重新印刷出版，在國外，這套教材已經(jīng)被英國劍橋大學(xué)出版社翻譯出版。英國劍橋大學(xué)出版社把我們五十年代（1958年-1961年）科大的教材拿出來翻譯出版，我想這里面還是應(yīng)該有一點東西的。我的意思是我們還是應(yīng)該對我們過去的經(jīng)驗加以總結(jié)。最近幾年以數(shù)學(xué)教育史作為主題的學(xué)位論文（包括碩士論文、博士論文）我自己審過的恐怕不止十篇，這里面有過去的數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)課程，還有以數(shù)學(xué)家的教育思想做主題的。我覺得這是值得提倡的，這就是總結(jié)歷史的經(jīng)驗。

二、從“雙基”到“四基”及“四基”之間的關(guān)系

首先，雙基教學(xué)是我們國家在長期教育實踐中形成的優(yōu)良教育傳統(tǒng)，是具有中國特色的自主性教育遺產(chǎn)，不應(yīng)把它當(dāng)作保守落后的東西削弱揚(yáng)棄，而應(yīng)該繼承發(fā)展。張奠宙教授編了一本書叫做《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》（上海教育出版社，2006），對我們國家的雙基教育進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，也提出了怎么樣繼承與發(fā)揚(yáng)雙基教育的看法。在該書封面上印了兩行字，我在這里引用其中與“歷史與未來”有關(guān)的一句話——繼承傳統(tǒng)，認(rèn)識自己，才能面向未來。這句話給我印象很深。我們在繼承雙基教學(xué)的同時，隨著時代的變化而豐富、拓展，這就導(dǎo)致了“四基”的提出。

基礎(chǔ)知識和基本技能過去有解釋，新課標(biāo)也有說明；基本數(shù)學(xué)思想課標(biāo)上列了一些：抽象、模型、定量化、演繹、歸納、轉(zhuǎn)化、分類、數(shù)形結(jié)合、隨機(jī)思想、消元、變換。它們要分層次，不是在一個層次上，抽象是最上位的，沒有抽象，就沒有數(shù)學(xué)；基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在課標(biāo)里的解釋則是：從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單實際問題。

我認(rèn)為基礎(chǔ)知識與基本技能是學(xué)習(xí)基本數(shù)學(xué)思想的載體，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的素材，不可能離開具體的知識、技能來談數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動。反之，基本數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)活動的開展又可使得學(xué)生的知識學(xué)習(xí)與技能掌握加快、加深，并能靈活運(yùn)用。后兩基在新課標(biāo)中明確提出來，是對以往雙基教育的繼承與發(fā)展，但這方面在實踐中必然也會遇到問題，需要探索、積累。

三、歷史傾向

統(tǒng)觀數(shù)學(xué)的歷史將會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的發(fā)展包括了兩大主要活動：即創(chuàng)造算法（特別是與解方程相關(guān)的算法）、實施算法，論證推理、證明定理，相應(yīng)地形成了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的兩大主要傾向（或兩大主流）：算法傾向、演繹傾向。

我們可以看到，數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出算法傾向與演繹傾向交互繁榮、交替取得主導(dǎo)地位的螺旋式上升過程。籠統(tǒng)說來，古代巴比倫和埃及式的原始算法時期，被希臘式的演繹幾何所接替（定理證明是希臘人首倡，后構(gòu)成數(shù)學(xué)發(fā)展中演繹傾向的脊梁）；而在中世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)衰落下去，算法傾向在中國、印度等地區(qū)繁榮起來f算法創(chuàng)造昌盛于古代和中世紀(jì)的中國、印度，形成了數(shù)學(xué)發(fā)展中強(qiáng)烈的算法傾向）：17～18世紀(jì)應(yīng)該看成是尋求無窮小算法的英雄年代：從19世紀(jì)特別是19世紀(jì)七十年代以來，演繹傾向又重新在比希臘幾何高得多的水準(zhǔn)上占據(jù)了優(yōu)勢；而從20世紀(jì)四十年代中開始，主要由于電子計算機(jī)的發(fā)明及應(yīng)用，正預(yù)示著一個算法傾向的新時代的到來。（參閱李文林：“算法、演繹傾向與數(shù)學(xué)史的分期”，《自然辯證法通訊》，1986年第2期；或《數(shù)學(xué)的進(jìn)化》，科學(xué)出版社，2005）

最近我看到D.Mumford教授給丘成桐教授的一封信，公開發(fā)表在《數(shù)學(xué)與人文》的刊物上。D.Mumford是菲爾茲獎獲得者、國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟的主席、美固哈佛大學(xué)教授，丘成桐是菲爾茲獎和沃爾夫獎雙獎得主。兩位數(shù)學(xué)大師近來都開始關(guān)注數(shù)學(xué)史，寫了很多文章。我從Mumford給丘成桐先生的那封信中摘錄了其中三段：

“對于我和其他許多人來說，Panani似乎是一位重量級人物，他將印度科學(xué)家引導(dǎo)到算法傾向，特別是遞歸算法，而不是證明的傾向。事實上，印度哲學(xué)家拒絕接受排中律?！?/p>

“作為中國數(shù)學(xué)的亮點，我想應(yīng)該強(qiáng)調(diào)祖暅關(guān)于球體積的計算以及李冶、朱世杰關(guān)于等價結(jié)式的發(fā)明?！?/p>

“Ptolemy的《地理學(xué)》是解釋晚期希臘人關(guān)于絲綢之路的知識以及他們對中國經(jīng)度的估計的一個顯著來源。Taxila（或Takshashila，塔克西拉）是印支希臘人和中國僧人相會的一個關(guān)鍵的學(xué)術(shù)中心。”

我選這幾段話的意思是現(xiàn)在有數(shù)學(xué)家關(guān)心數(shù)學(xué)的歷史，而且提出算法傾向與證明傾向這兩個概念，我覺得探討的這些問題值得我們思考。

以上以兩大傾向為線索描述的數(shù)學(xué)發(fā)腱的歷史揭示了數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分，及所具有的本質(zhì)特征。

四、數(shù)學(xué)的本質(zhì)與教育目標(biāo)

我認(rèn)為認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，最關(guān)鍵的就是要認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類其他文化領(lǐng)域的區(qū)別與聯(lián)系。說到數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特點，人們首先會說劍它的抽象性。但抽象性并非數(shù)學(xué)獨有，數(shù)學(xué)的抽象不同于其他科學(xué)之處是在于，它舍棄了事物的其他一切方面而僅保留數(shù)量關(guān)系和空間形式數(shù)學(xué)的抽象從數(shù)與形等原始概念的形成中發(fā)其端，經(jīng)過一系列階段而達(dá)到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的程度?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)研究各種可能的、抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式，以揭示和描述現(xiàn)實世界或數(shù)學(xué)自身的抽象世界所具有的特定關(guān)系與結(jié)構(gòu)。這樣就產(chǎn)生了諸如群、環(huán)、域、范疇、無窮維空間、分形幾何、拓?fù)淇諉枴⑽⒎至餍?、微分算子、隨機(jī)過程、計算復(fù)雜性等等層出不窮的高度抽象的概念或結(jié)構(gòu)，表征著現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域的前沿。

以上是就數(shù)學(xué)研究對象而言。相應(yīng)地，也許更重要的是數(shù)學(xué)的抽象反映到思維方式上，則賦予其對于人類社會的一項重要的義化功能——就是培養(yǎng)和發(fā)展人的思維能力。特別是理性思維能力。

培養(yǎng)思維能力不能說是數(shù)學(xué)獨仃的功能。人們也可以并且需要通過其他知識的學(xué)習(xí)和實踐來培養(yǎng)自己的思維能力。問題的焦點赴：什么是數(shù)學(xué)思維？數(shù)學(xué)思維在培養(yǎng)發(fā)腱人的心維能力方面與其他學(xué)科有何區(qū)別？有何特殊意義？

數(shù)學(xué)的思考方式包括很多方皿，計算、證明、歸納、類比、建模f建立模型）等等。但仔細(xì)考量，與人類其他知識領(lǐng)域相比較，數(shù)學(xué)心維最基本的兩大方面是精確的定量化方法和嚴(yán)密的邏輯推理。自古以來，數(shù)學(xué)追求解決問題的一般算法。從初等的三角形面積算法劍描述各種自然和社會現(xiàn)象的復(fù)雜方程的解算，從簡單的數(shù)據(jù)分析到現(xiàn)代統(tǒng)計推斷，定量化的方法已經(jīng)深入到各行各業(yè)。另一方面，數(shù)學(xué)運(yùn)用特有的邏輯手段來組織知識、使之系統(tǒng)化、條理化和嚴(yán)格化；數(shù)學(xué)運(yùn)用特有的邏輯證明來達(dá)到確定無疑的結(jié)論，提供正確性的標(biāo)準(zhǔn)。這種嚴(yán)密的邏輯論證方法己超越數(shù)學(xué)自身的范圍，目益滲透到其他知識領(lǐng)域，如物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)甚至政治學(xué)中。

數(shù)學(xué)思維區(qū)別于其他學(xué)科的上述特征，簡言之，可以用兩個字來概括，就是：“算”（構(gòu)造算法，實施算法）與“證”。我們前面關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史分析恰恰充分反映了數(shù)學(xué)作為一門獨立的知識領(lǐng)域所具有的這種品質(zhì)與特征。

綜上所述，我想強(qiáng)調(diào)的是：數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的兩大特征，賦予數(shù)學(xué)以無可比擬的精確性和嚴(yán)密性，使數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維能力方面發(fā)揮著無可替代的作用。數(shù)學(xué)思維方式對于從事各種職業(yè)的公民在自己的崗位上獲得成功與發(fā)展都是重要的智力保障。正因為如此、數(shù)學(xué)一直是傳統(tǒng)教育的重要組成部分，并將繼續(xù)成為培養(yǎng)有素養(yǎng)的現(xiàn)代公民和各個領(lǐng)域的創(chuàng)新人才的基礎(chǔ)教育科目。

當(dāng)前，我國的教育改革正在向縱深推進(jìn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育。不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同_的發(fā)展”的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)。對于什么是“良好的數(shù)學(xué)教育”已經(jīng)有多方面的解讀。而我認(rèn)為了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、特征和價值，對于理解并實現(xiàn)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo)，具有根本的意義。我今天的發(fā)言是想強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史傾向所反映的數(shù)學(xué)特征，在某種程度上決定了其在人類文明中的地位，同時也決定了其教育功能。當(dāng)然，數(shù)學(xué)是一個內(nèi)涵極其豐富的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)教育是一個多元的復(fù)雜過程。但事物有時需要返樸歸真。在我們討論的場合，所謂“樸”與“真”，應(yīng)該就是數(shù)學(xué)的本源特征，它們提供了實現(xiàn)教育目標(biāo)的最基本的坐標(biāo)。牢牢把握基本坐標(biāo)，我們的數(shù)學(xué)教改就會少一些搖擺反復(fù)，我們的數(shù)學(xué)教育就會穩(wěn)步地走向?qū)崿F(xiàn)“良好的數(shù)學(xué)教育”的光明未來！