王 興，劉晶晶，周慶豪，馮守平

（安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠233030）

車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內(nèi)降低的現(xiàn)象。因城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強等特點，單車道被占用也可能降低路段所有車道通行能力，引起車輛排隊和交通阻塞。車道被占用情況種類繁多，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導(dǎo)車輛行駛、審批占道施工、設(shè)置路邊停車位及非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)（詳見2013年全國大學(xué)生建模競賽A題①）。

1 數(shù)據(jù)來源及假設(shè)

本文數(shù)據(jù)來源于2013年全國大學(xué)生建模競賽A題［1］。為便于解決問題，在建模過程中提出4條假設(shè)：（1）2個交通事故處于同一路段的同一橫斷面，且完全占用2條車道；（2）統(tǒng)計車輛數(shù)時只考慮四輪及以上機動車、電瓶車的交通流量，且換算成標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)；（3）在道路發(fā)生交通事故時排隊的車輛沒有插隊的現(xiàn)象，按順序接受服務(wù)；（4）從2個視頻手動統(tǒng)計獲得數(shù)據(jù)準(zhǔn)確有效。

2 兩次事故發(fā)生時，道路通行能力的變化過程

2.1 建模準(zhǔn)備

定義1 橫截面實際通行能力指單位時間內(nèi)通過事故處橫截面的標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)。設(shè)αi表示第i個時間段內(nèi)通過此橫截面的標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)。

2.2 模型的建立與求解

先得出各個時間區(qū)間內(nèi)的事故處標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)為αi，比較計算出的各時間區(qū)間內(nèi)事故處通過標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)αi，分析其差異，即可估算此事故處實際通行能力。

按照各車型數(shù)量和標(biāo)準(zhǔn)車型（設(shè)為M0）車輛數(shù)換算標(biāo)準(zhǔn)：A：M0＝1：1；B：M0＝1：1.5；C：M0＝1：2，分別得出2次事故各時間區(qū)間內(nèi)αi值如表1，2所示。

原因有下：

①由表1得出第1次事故發(fā)生時，事故發(fā)生后的1min內(nèi)，其橫截面的實際通行能力最大，值為22 pcu/min；在其后4min，即14：43：33～14：47：33時間段內(nèi)，通行能力逐漸下降，于14：47：33降到最低，為15pcu/min；此后通行能力又開始逐步上升，于14：48：33達(dá)到21pcu/min；最后6min即14：49：33～14：45：33內(nèi)，其通行能力在一常數(shù)附近浮動，為20 pcu/min。

可見從第1次事故發(fā)生至撤離期間，其實際通行能力呈先下降再增加、后穩(wěn)定的變化過程。

②由表2得出第2次事故發(fā)生時，其道路通行能力一直穩(wěn)定在22pcu/min，僅在后期出現(xiàn)了2次波動，即在2013年2月26日17：58：40～17：59：40時通行能力最小，為15pcu/min；17：00：40～17：01：40時較小，為18pcu/min。

且2組數(shù)據(jù)均體現(xiàn)出事故造成的高擁擠及車輛插隊因素造成了道路通行能力的降低。

表1 第1次事故各個時間區(qū)間內(nèi)αi值

表2 第2次事故各個時間區(qū)間內(nèi)αi值

3 比較兩次事故時道路通行能力差異

3.1 建模準(zhǔn)備

結(jié)合單因素方差分析來探究事故發(fā)生所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異。

均值雙樣本T檢驗：雙樣本T檢驗是檢驗兩樣本的總體均值之間是否存在顯著差異。但要求兩組樣本是服從正態(tài)分布的小樣本或是非正態(tài)分布的大樣本，要求大樣本方差無顯著性差異。

通過正態(tài)檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗出表1和表2中的αi值均服從正態(tài)分布，2次事故αi均值和方差值見表3。

表3 分別得出兩次事故αi均值和方差值

即2次事故的αi均服從正態(tài)分布，分別服從N～（19.04，2.222）和N～（20.9，2.332）。

3.2 模型的建立與求解

若樣本Y1，Y2均服從正態(tài)分布，則可用均值雙樣本T檢驗驗證2樣本的總體均值之間是否存在顯著差異，即可驗證2次通行能力是否有顯著性差異。

均值雙樣本T檢驗t表達(dá)式［2］為：

用SAS軟件運行結(jié)果如下：

圖1 均值雙樣本T檢驗時操作框圖

圖2 均值雙樣本T檢驗運行結(jié)果

在圖1窗口中設(shè)置變量，選擇2個變量，零假設(shè)處填0，Alternate處是備擇假設(shè)，不妨選＜0，Tests按鈕可以選擇顯著性水平，默認(rèn)0.05。得結(jié)果如圖2所示，t統(tǒng)計量是-3.423；Prob＞t的值為0.0028＜0.05，因此應(yīng)該拒絕原假設(shè)。即說明2次事故造成道路之間存在顯著性差異。

且此檢驗設(shè)定Alternate＜0，進(jìn)一步說明第2次事故道路通行能力要大于第1次。

究其原因，知“車道一車流量比例為21%，而車道三車流量比例為35%”，“更多的車在事故處不用滯留，直接通行”是造成此現(xiàn)象的主要原因。

4 研究事故時排隊長度與各影響因素之間的關(guān)系

4.1 建模準(zhǔn)備

定義2 特定區(qū)域進(jìn)入車輛數(shù) 指以出事地點120m上游處為基點，單位時間段內(nèi)進(jìn)入基點的標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)（含距出事地點較近的小區(qū)流入車輛）。設(shè)βi為第i個時間段內(nèi)進(jìn)入該基點的標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)。

將研究事故時排隊長度問題與高速空氣動力學(xué)中激波問題［3］作比擬。因堵塞過程和管道末端突然收縮而形成激波的過程很相似，故應(yīng)用該模型。先建立完全堵塞狀態(tài)下的堵塞模型，再通過修改車流量公式，即將紅燈時交通完全堵塞狀態(tài)和綠燈時完全暢通狀態(tài)綜合考慮，此時對應(yīng)本文部分堵塞交通狀況，這符合本題的研究條件。

要考慮排隊長度和與事故處實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間關(guān)系。xi，xj與2模塊中“兩次事故發(fā)生時，道路通行能力的變化過程”所用數(shù)據(jù)含義一致。則xi-xj表示紅綠燈周期上游來車輛和事故地通過車輛的差值，表示凈涌入車輛數(shù)；另外以zi表示對應(yīng)時刻的排隊車輛數(shù)，起始點為16：47：00。列表4給出所需數(shù)據(jù)。

表4 16：46：00～16：56：00每分鐘進(jìn)出車輛及對應(yīng)時刻排隊車輛

4.2 模型的建立與求解

① 求解排隊長度與路段上游車流量間、事故橫斷面實際通行能力的關(guān)系

據(jù)實際經(jīng)驗，若上游來的車輛數(shù)量xi大，同時事故處通過的車輛yi較小，則交通阻塞造成的排隊車輛zi會越來越多，從而造成排隊長度增加。由此引出xi-yi，xi-yi為紅綠燈周期上游來車輛和事故地通過車輛的差值，表示凈涌入車輛數(shù)。依據(jù)表4，通過Excel軟件［4］得出凈涌入車輛數(shù)xi-yi和zi的走勢圖（圖3）。

圖3 各時間段凈涌入車輛與排隊數(shù)量對應(yīng)趨勢

從圖3中看出，zi和xi-yi上下浮動規(guī)律基本一致，為得出2者具體關(guān)系，擬對數(shù)據(jù)累加，但因xi-yi值在0周圍上下浮動，故將所有xi-yi值加上9得到正值（xi-yi最小數(shù)的倒數(shù)加1）設(shè)為新變量ci，對ci進(jìn)行累加；設(shè)zi累加值為Z，ci累加值為C。列表5給出各時間段的有關(guān)數(shù)據(jù)。

＊：由上述說明不難看出，

根據(jù)所建模型，通過Matlab軟件對各時段車輛累加值Z和C進(jìn)行擬合，得出：

擬合優(yōu)度為：R2＝0.9897。

結(jié)合（＊）式，得出各時間段，排隊車當(dāng)量輛數(shù)zi和上游來車輛量xi，事故處通過車輛yi的關(guān)系為：

由此公式看出，當(dāng)上游來的車輛增多，或是事故地實際通行能力下降，都會導(dǎo)致排隊長度的增加。

② 求解排隊長度與事故持續(xù)時間的關(guān)系

在我們考慮的模型求解中，列表6給出t與每個時刻zi的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

表6 各時間段的有關(guān)數(shù)據(jù)

結(jié)合表6，做出折線圖及擬合曲線如圖4。得出排隊車輛數(shù)zi與t之間擬合曲線表達(dá)式為：

zi＝-0.12t3＋1.51t2-3.16t＋8.63；

擬合優(yōu)度：

R2＝0.8416

由曲線的變化趨勢，可看出隨著事故持續(xù)時間的不斷增加，排隊的車當(dāng)量數(shù)在不斷增加，相應(yīng)的排隊長度也在不斷增加。

圖4 與每個時刻t對應(yīng)的zi折線圖及擬合曲線

5 對模型求解結(jié)果的具體應(yīng)用

5.1 建模準(zhǔn)備

由本題所給：S＝140m，路段下游方向需求不變，路段上游車流量1 500pcu/h，事故發(fā)生時車輛初始排隊長度為零，且事故現(xiàn)場持續(xù)不撤離，需要求解在事故發(fā)生后車輛排隊長度達(dá)到140m所用的時間。設(shè)變量：（1）橫斷面離上游路口的距離為S；（2）到上游路口每條車道最多可排車輛數(shù)q，3條車道車輛數(shù)Q；（3）標(biāo)準(zhǔn)車輛長度l0；（4）車頭距l(xiāng)1；（5）上游車流量xi；（6）橫斷面實際通行能力為yi。

5.2 模型的建立與求解

據(jù)假設(shè)內(nèi)容知：上游到達(dá)車輛xi＝1 500pcu/h＝25pcu/min，由3得到事故處平均通過車輛yi＝19 pcu/min，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)車輛長度l0＝4.8m。

取車頭距l(xiāng)1∈［2m，3m］，當(dāng)S＝140m時，為求出排隊到距事故發(fā)生處140m上游路口所用時間t，先由最多排隊車輛數(shù)公式Q＝3q＝3S/（l0＋l1），從［2 m，3.5m］范圍內(nèi)以0.3m為步長作為l1的取值，求出不同車頭距時最多排隊車輛數(shù)Q（表7），t＝1，2，…10時的排隊車輛累加值Z（表8）。

在得到不同時間車輛累加值后，通過逐個相減還原出每個時刻車輛排隊數(shù)，見表9。

表7 不同車頭距下的最大排隊車輛數(shù)

表8 不同時間排隊車輛累加值

表9 不同時刻車輛排隊數(shù)

比較表7與表9，取車頭距l(xiāng)1為2m和3.5m極端值分析結(jié)果：當(dāng)l1為2m時，四舍五入Q1＝61.8，據(jù)表9知所需時間在7～8min內(nèi)；當(dāng)l1＝3.5時，得Q2＝50.6，據(jù)表9知所需時間在6～7min內(nèi)。為了得到更為精確的結(jié)果，故將6～8min以0.1min為步長取值，再次計算不同時間的車輛累加值，對比查看Q1，Q2更為具體的時間。最后結(jié)果為：當(dāng)車頭距l(xiāng)1＝2m，則最多7.1min車輛排隊長度便能到達(dá)140 m；當(dāng)車頭距l(xiāng)1＝3.5m，6min時車輛排隊長度便可達(dá)到140m。

上述考慮的僅是理想情況，即堵塞路口后將3條車道全部排滿的情況。而現(xiàn)實生活中，為留足車輛轉(zhuǎn)彎變道空間，2條車道后會有部分空地沒有車輛排隊［5］。設(shè)這一部分空地的距離能夠容納a輛車，則本研究關(guān)于Q的結(jié)果要再減去這一因素，即所求3條車道最大排隊車輛數(shù)為Q-a。

假設(shè)a＝5，則在車頭距為2m和3.5m情況下，Q-a分別為56.8與45.6。通過查表可知，當(dāng)車輛排隊長度達(dá)到140m時，真實排隊時間只需5～6 min即可。

6 結(jié)論

本次研究得出車道被占用對城市道路通行能力具有顯著性影響：一方面，車道被占用造成的車輛高擁擠及車輛插隊因素使得實際道路通行能力大打折扣；另一方面，對于多車道道路，不同車道被占用使得道路通行能力下降的幅度不同。一般來說，車流量大的車道被占用對道路通行能力變化的影響是不可忽視的。

此外本文將事故發(fā)生時，道路車輛的堵塞情況和高速空氣動力學(xué)中的激波模型做了類比。得出在通行道路被占用的情況下，車輛排隊長度和事故持續(xù)時間、上游路口來車量及事故處實際道路通行能力3個因素之間的具體關(guān)系，并在文章的最后給出在一定的假設(shè)條件下該模型的應(yīng)用實例。

注釋：

① 本文作者獲得2013年全國大學(xué)生數(shù)模競賽一等獎。

［1］2013年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題.［EB/OL］.http：//www/mcm.edu.cn/.

［2］李子奈，潘文卿.計量經(jīng)濟(jì)學(xué)（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［3］吳正.高速交通中堵塞形成階段的交通流模型［J］.交通運輸工程學(xué)報，2003，6（2）：62-64.

［4］Excel 2003與 VBA 編程［M］.李兆斌，等，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2004.

［5］陳佳，周濤，曾祥平.城市異常路段交通擁擠——消散分析［J］.中國水運 ：學(xué)術(shù)版，2007，7（2）：63-64.