馬亮亮，劉冬兵

（攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 攀枝花617000）

0 引言

反常擴(kuò)散現(xiàn)象在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中大量存在，如污染物在土壤中的遷移、石油滲流、地下水傳輸、湍流等［1－2］，這些擴(kuò)散現(xiàn)象由于不滿足經(jīng)典的Fick梯度擴(kuò)散率，因而被稱為反常擴(kuò)散［3－5］。

反常擴(kuò)散過(guò)程本質(zhì)上是時(shí)間上有記憶性和空間非局限性的過(guò)程，與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義相比，分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程能夠更準(zhǔn)確地描述反常擴(kuò)散過(guò)程［5－17］。因此，對(duì)分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程進(jìn)行數(shù)值求解有著十分重要的意義。

本文考慮如下兩邊空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程的混合問(wèn)題：

其中1＜α≤2，d＋（x，t）和d－（x，t）是非負(fù)的有界函數(shù)，為 Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)［18］：

其中0≤n－1＜α＜n（n是整數(shù)），Γ（·）是伽馬函數(shù)。

兩邊空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程（1）是一種反常擴(kuò)散，能夠較精確地描述有記憶和遺傳、路徑依賴性質(zhì)的物理過(guò)程。關(guān)于這類問(wèn)題的數(shù)值解法，馬維元等對(duì)兩邊空間－時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程進(jìn)行了加權(quán)有限差分求解［19］。另外，Meerschaert等分別對(duì)單邊對(duì)流擴(kuò)散和雙邊隨流擴(kuò)散方程進(jìn)行了Grünwald－Letnikov改進(jìn)型差分求解［20－21］，蘇麗娟等給出了雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的一種有限差分解法［22］。本文根據(jù)移位Grünwald－Letnikov公式，將給出方程（1）的隱式有限差分格式，并分析其穩(wěn)定性。

1 有限差分格式的建立

做網(wǎng)格剖分，令τ和h分別為時(shí)間和空間步長(zhǎng)，xi＝L＋ih，i＝ 0，1，2，…，N，h ＝；t＝ kτ，k ＝ 0，1，2，…，kM，τ＝。

把式（2）－（4）代入（1），可得到方程（1）對(duì)應(yīng)的隱式差分格式：

2 穩(wěn)定性和收斂性分析

引理1 當(dāng)1＜α≤2時(shí)，gj（j＝0，1，2，3，…）具有如下性質(zhì)：

引理2 （Lax等價(jià)定理）給定一個(gè)適定的線性初值問(wèn)題以及與其相容的差分格式，則差分格式的穩(wěn)定性是差分格式收斂的充分必要條件。

引理3 （Gerschgorin定理）設(shè) A ＝ （ai，j）n×n，記rt＝稱復(fù)平面上的圓域Gi＝ ｛z｜｜z－ai，j｜≤ri，Z∈C｝（i＝0，1，2，…，N）為矩陣A的第i個(gè)Gerschgorin圓，稱ri為Gerschgorin圓Gi的半徑。此時(shí)矩陣A∈Cn×n的全體特征值都在它的N＋1個(gè)Gerschgorin圓構(gòu)成的并集之中。

定理1 由式（5）定義的隱式差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。

證明 將式（5）寫(xiě)成矩陣的形式：AUk＋1＝Uk＋τFk＋1，其中 Uk＝，…，］T，F(xiàn)k＝ ［，…，］T，A ＝（ai，j）（i，j＝0，1，2，…，N）為系數(shù)矩陣，其元素ai，j的定義如下：

根據(jù)引理1和引理3，矩陣A的特征值在以ai，j＝1－（?＋φ）g1＝1＋（?＋φ）α為中心，以≤ （?＋φ）α為半徑的圓盤(pán)上。故有λ（A）≥ai，i－ri≥1，從而0＜λ（A－1）≤1，所以由式（5）定義的隱式差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。再由引理2得該方法收斂。

推論1 差分格式（5）的局部截?cái)嗾`差為O（τ＋h）。

推論2 在方程（1）中，當(dāng)d＋（x，t）變?yōu)閐＋（x），d－（x，t）變?yōu)閐－（x）時(shí)，定理1的結(jié)論依然成立。

推論3 差分格式（5）可推廣應(yīng)用到其他邊界條件，如u（L，t）＝0，u（R，t）＋v＝p（t），v≥0，0≤t≤T。

3 數(shù)值例子

考慮如下兩邊空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程

其中d＋（x，t）＝Γ（0.2）x0.8，d－（x，t）＝ 5Γ（0.2）（1－x）1.8，f（x，t）＝－（1＋x）（1＋4t2）x3。此方程有精確解：u（x，t）＝ （1＋4t2）x3。

取定時(shí)間步長(zhǎng)τ＝0.000 1，空間步長(zhǎng)h＝0.02。圖1是在t＝0.01時(shí)刻由隱式差分格式（5）計(jì)算得到的數(shù)值解與精確解的比較圖，可以看出數(shù)值解收斂于精確解。圖2是隱式差分格式（5）計(jì)算得到的數(shù)值解與空間軸、時(shí)間軸之間的三維立體圖。

4 結(jié)論

本文考慮了兩邊空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程的數(shù)值逼近問(wèn)題，利用移位Grünwald－Letnikov公式對(duì)空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，構(gòu)造出了一種計(jì)算有效的隱式差分格式，并證明了該差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定和收斂的，且具有收斂階。最后，為了進(jìn)一步說(shuō)明文中構(gòu)造的差分格式是有效的，我們通過(guò)數(shù)值例子將差分格式得到的數(shù)值解與精確解進(jìn)行了比較，結(jié)果表明：差分格式的數(shù)值解收斂于精確解，因此文中構(gòu)造的差分格式是有效的［23－25］。

圖1 數(shù)值解與精確解比較圖

圖2 三維立體圖

［1］ Tong S J，Zhang W，Chen B Z.Analysis of the pollution consequences on leakage and seepage flow of poisonous liquid［J］.Industrial Safety and Environmental Protection，2006，32（10）：56－58.

［2］ Chen W.A speculative study of 2／3－order fractional Laplacian modeling of turbulence：some thoughts and conjectures［J］.Chaos，2006，16：023126.

［3］ Wang Sheng，Ma Zhangfei，Yao Huqing.Fourierbased series algorithm in fractal diffusion model for porous material［J］.Chinese J Computat Phys，2008，25（3）：289－295.

［4］ Chang F X，Chen J，Huang W.Anomalous diffusion and fractional advection－diffusion equation［J］.Acta Physica Sinica，2005，54（3）：1113－1117.

［5］ 孫洪廣，陳文，蔡行.空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)“反?！睌U(kuò)散方程數(shù)值算法比較［J］.計(jì)算物理，2009，26（5）：719－724.

［6］ 馬亮亮，劉冬兵.一類n維空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解析解［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37（4）：506－509.

［7］ 馬亮亮.時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解法［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（10）：248－253.

［8］ 馬亮亮.一種Caputo分?jǐn)?shù)階反應(yīng)－擴(kuò)散方程初邊值問(wèn)題的隱式差分格式［J］.貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2013（31）：58－61.

［9］ 馬亮亮，劉冬兵.一類反常次擴(kuò)散方程N(yùn)eumann問(wèn)題的有限差分格式收斂性分析［J］.五邑大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，28（1）：1－4.

［10］ 馬亮亮，劉冬兵.變系數(shù)分?jǐn)?shù)階反應(yīng)－擴(kuò)散方程的數(shù)值解法［J］.沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，26（1）：76－80.

［11］ 劉冬兵，馬亮亮.變時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程的數(shù)值分析［J］.江南大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，13（1）：109－112.

［12］ 馬亮亮.時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的隱式差分近似［J］.貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，32（2）：79－82.

［13］ 馬亮亮，田富鵬.變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的隱式差分近似［J］.中北大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，35（1）：11－14.

［14］ 馬亮亮.一種時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的隱式差分近似［J］.西北民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34（1）：7－12.

［15］ 馬亮亮.變系數(shù)階空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的有限差分解法［J］.沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，25（4）：341－344.

［16］ 馬亮亮.變時(shí)間分?jǐn)?shù)階非定常對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值分析［J］.遼東學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，20（3）：220－223.

［17］ 馬亮亮，劉冬兵.一類變時(shí)間分?jǐn)?shù)階含源項(xiàng)非定常奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值分析［J］.沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，25（5）：424－427.

［18］ Podlubny I.Fractional differential equations［M］.San Diego：Academic Press，1999.

［19］ 馬維元，劉華.兩邊時(shí)間－空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的加權(quán)有限差分格式［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012（3）：41－48.

［20］ Meerschaert M，Tadjeran C.Finite difference approximations for fractional advection－dispersion flow equations［J］.J Comput Appl Math，2004，172：65－77.

［21］ Meerschaert M，Tadjeran C.Finite difference approximations for two－sided space－fractional partial differential equations［J］.Appl Numer Math，2006，56：80－90.

［22］ 蘇麗娟，王文洽.雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流－擴(kuò)散方程的一種有限差分解法［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，44（10）：26－29.

［23］ 馬亮亮，劉冬兵.二維變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程數(shù)值解［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，33（3）：429－432.

［24］ 馬亮亮，劉冬兵.高維分?jǐn)?shù)階cable方程隱式差分逼近［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，33（4）：544－547.

［25］ 馬亮亮，田富鵬.空間分?jǐn)?shù)階Edwards－Wilkinson方程的顯式差分近似［J］.沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，25（3）：250－252.