一、要點(diǎn)梳理

1.離散型隨機(jī)變量X的概率分布

（1）如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量；按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

（2）設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，且P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n，①，則稱①為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，也可以將①用下表形式來表示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn上表稱為隨機(jī)變量X的概率分布表，它和①都叫做隨機(jī)變量X的概率分布.顯然，這里的pi（i=1，2，…，n）具有性質(zhì)：①pi≥0；②p1+p2+…+pn=1.

離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率值的和.

2.兩點(diǎn)分布

如果隨機(jī)變量X的概率分布表為：X10Ppq其中0

3.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則隨機(jī)變量X的分布列：P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN（k=0，1，2，…，m），其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，則稱X服從超幾何分布，記為X～H（n，M，N∈N*），并將P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，記為H（k，n，M，N∈N*）.

二、題型分析

題型一、離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)

例1若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01P9c2-c3-8c試求出常數(shù)c.

解：由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知：

9c2-c+3-8c=1，

0≤9c2-c≤1，

0≤3-8c≤1，解得c=13.

即X的分布列為：X01P2313評(píng)注：離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)性質(zhì)主要解決以下兩類問題：①通過性質(zhì)建立關(guān)系，求得參數(shù)的取值或范圍，進(jìn)一步求得概率，得出分布列；②求對(duì)立事件的概率或判斷某概率的成立與否.

例2設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布表為：X01234P0.20.10.10.3m求：（1）2X+1的概率分布表；（2）|X-1|的概率分布表.

分析：利用pi≥0，且所有概率之和為1，求m；求2X+1的值及其概率分布表；求|X-1|的值及其概率分布表.

解：由概率分布的性質(zhì)知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，∴m=0.3.

首先列表為：X012342X+113579|X-1|10123從而由上表得兩個(gè)概率分布表為：

（1）2X+1的概率分布表：2X+113579P0.20.10.10.30.3（2）|X-1|的概率分布表：|X-1|0123P0.10.30.30.3評(píng)注：（1）利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).（2）若X是隨機(jī)變量，則2X+1，|X-1|等仍然是隨機(jī)變量，求它們的概率分布表可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的概率寫出概率分布表.

題型二、求離散型隨機(jī)變量的概率分布

例3甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6，本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響.令ξ為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù).求ξ的概率分布列.

解：ξ的所有取值為3，4，5.

當(dāng)ξ=3時(shí)，表示甲連勝3局或乙連勝3局，則

P（ξ=3）=C33×0.63×0.40+C03×0.60×0.43=0.28；

當(dāng)ξ=4時(shí)，表示前3局中甲勝2局，第四局甲勝或前3局中乙勝2局，第四局乙勝，則

P（ξ=4）=C23×0.62×0.41×0.6+C13×0.61×0.42×0.4=0.3744；

當(dāng)ξ=5時(shí)，表示前4局中甲勝2局，第五局甲勝或前4局中乙勝2局，第五局乙勝，則

P（ξ=5）=C24×0.62×0.42×0.6+C24×0.62×0.42×0.4=0.3456.

∴ξ的分布列為：ξ345P0.280.37440.3456評(píng)注：根據(jù)不同情形進(jìn)行分類，要充分理解ξ取每一個(gè)值的具體含義.

例4袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）隨機(jī)變量X的概率分布表；（3）計(jì)分介于20分到40分之間的概率.

分析：（1）是古典概型；（2）關(guān)鍵是確定X的所有可能取值；（3）計(jì)分介于20分到40分之間的概率等于X=3與X=4的概率之和.

解：（1）方法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P（A）=C35C12C12C12C310=23.

方法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是互斥事件.

因?yàn)镻（B）=C15C22C18C310=13，所以P（A）=1-P（B）=1-13=23.

（2）隨機(jī)變量X的可能取值為2，3，4，5，取相應(yīng)值的概率分別為P（X=2）=C34C310=130，

P（X=3）=C12C24C310+C22C14C310=215，P（X=4）=C12C26C310+C22C16C310=310，P（X=5）=C12C28C310+C22C18C310=815.

∴隨機(jī)變量X的概率分布表為：X2345P130215310815（3）由于按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，所以當(dāng)計(jì)分介于20分～40分時(shí)，X的取值為3或4，所以所求概率為P=P（X=3）+P（X=4）=215+310=1330.

評(píng)注：在解決概率分布問題時(shí)要逐漸將問題回歸到概率分布表上來，這樣所求的概率就可由概率分布表中相應(yīng)取值的概率累加得到.

題型三、超幾何分布問題

例5某班同學(xué)利用寒假在三個(gè)小區(qū)進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，這兩族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例如下：A小區(qū)低碳族非低碳族比例1212B小區(qū)低碳族非低碳族比例4515C小區(qū)低碳族非低碳族比例2313（1）從A，B，C三個(gè)小區(qū)中各選一人，求恰好有2人是低碳族的概率；

（2）在B小區(qū)中隨機(jī)選擇20戶，從中抽取的3戶中“非低碳族”數(shù)量為X，求X的分布列.

解：（1）3人中恰好有2人是低碳族的概率為P=12×45×13+12×15×23+12×45×23=715.

（2）在B小區(qū)中隨機(jī)選擇的20戶中，“非低碳族”有20×15=4（戶），

P（X=k）=Ck4C3-k16C320（k=0，1，2，3），

∴P（X=0）=C04C316C320=2857，P（X=1）=C14C216C320=819，

P（X=2）=C24C116C320=895，P（X=3）=C34C016C320=1285，

故X的分布列為：X0123P28578198951285評(píng)注：超幾何分布的理論基礎(chǔ)是古典概型，主要運(yùn)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型.如果隨機(jī)變量X服從超幾何分布，那么事件{X=k}發(fā)生的概率為P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m.

例6一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79.（1）求白球的個(gè)數(shù)；（2）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布表.

分析：（1）列出符合題意的關(guān)于袋中白球個(gè)數(shù)x的方程；（2）隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

解：（1）記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，則P（A）=1-C210-xC210=79，得到x=5.故白球有5個(gè).

（2）X服從超幾何分布，其中N=10，M=5，n=3，其中P（X=k）=Ck5C3-k5C310，k=0，1，2，3.

于是可得其概率分布表為：X0123P112512512112評(píng)注：對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其概率分布表可以直接應(yīng)用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型.

三、友情提示

掌握離散型隨機(jī)變量的概率分布表，需注意：

（1）概率分布表的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率.看每一列，實(shí)際上是：上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

（2）要會(huì)根據(jù)概率分布的兩個(gè)性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的概率分布表的正誤.

（作者：王佩其，江蘇省太倉高級(jí)中學(xué)）endprint

∴隨機(jī)變量X的概率分布表為：X2345P130215310815（3）由于按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，所以當(dāng)計(jì)分介于20分～40分時(shí)，X的取值為3或4，所以所求概率為P=P（X=3）+P（X=4）=215+310=1330.

評(píng)注：在解決概率分布問題時(shí)要逐漸將問題回歸到概率分布表上來，這樣所求的概率就可由概率分布表中相應(yīng)取值的概率累加得到.

題型三、超幾何分布問題

例5某班同學(xué)利用寒假在三個(gè)小區(qū)進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，這兩族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例如下：A小區(qū)低碳族非低碳族比例1212B小區(qū)低碳族非低碳族比例4515C小區(qū)低碳族非低碳族比例2313（1）從A，B，C三個(gè)小區(qū)中各選一人，求恰好有2人是低碳族的概率；

（2）在B小區(qū)中隨機(jī)選擇20戶，從中抽取的3戶中“非低碳族”數(shù)量為X，求X的分布列.

解：（1）3人中恰好有2人是低碳族的概率為P=12×45×13+12×15×23+12×45×23=715.

（2）在B小區(qū)中隨機(jī)選擇的20戶中，“非低碳族”有20×15=4（戶），

P（X=k）=Ck4C3-k16C320（k=0，1，2，3），

∴P（X=0）=C04C316C320=2857，P（X=1）=C14C216C320=819，

P（X=2）=C24C116C320=895，P（X=3）=C34C016C320=1285，

故X的分布列為：X0123P28578198951285評(píng)注：超幾何分布的理論基礎(chǔ)是古典概型，主要運(yùn)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型.如果隨機(jī)變量X服從超幾何分布，那么事件{X=k}發(fā)生的概率為P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m.

例6一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79.（1）求白球的個(gè)數(shù)；（2）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布表.

分析：（1）列出符合題意的關(guān)于袋中白球個(gè)數(shù)x的方程；（2）隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

解：（1）記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，則P（A）=1-C210-xC210=79，得到x=5.故白球有5個(gè).

（2）X服從超幾何分布，其中N=10，M=5，n=3，其中P（X=k）=Ck5C3-k5C310，k=0，1，2，3.

于是可得其概率分布表為：X0123P112512512112評(píng)注：對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其概率分布表可以直接應(yīng)用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型.

三、友情提示

掌握離散型隨機(jī)變量的概率分布表，需注意：

（1）概率分布表的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率.看每一列，實(shí)際上是：上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

（2）要會(huì)根據(jù)概率分布的兩個(gè)性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的概率分布表的正誤.

（作者：王佩其，江蘇省太倉高級(jí)中學(xué)）endprint

∴隨機(jī)變量X的概率分布表為：X2345P130215310815（3）由于按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，所以當(dāng)計(jì)分介于20分～40分時(shí)，X的取值為3或4，所以所求概率為P=P（X=3）+P（X=4）=215+310=1330.

評(píng)注：在解決概率分布問題時(shí)要逐漸將問題回歸到概率分布表上來，這樣所求的概率就可由概率分布表中相應(yīng)取值的概率累加得到.

題型三、超幾何分布問題

例5某班同學(xué)利用寒假在三個(gè)小區(qū)進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，這兩族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例如下：A小區(qū)低碳族非低碳族比例1212B小區(qū)低碳族非低碳族比例4515C小區(qū)低碳族非低碳族比例2313（1）從A，B，C三個(gè)小區(qū)中各選一人，求恰好有2人是低碳族的概率；

（2）在B小區(qū)中隨機(jī)選擇20戶，從中抽取的3戶中“非低碳族”數(shù)量為X，求X的分布列.

解：（1）3人中恰好有2人是低碳族的概率為P=12×45×13+12×15×23+12×45×23=715.

（2）在B小區(qū)中隨機(jī)選擇的20戶中，“非低碳族”有20×15=4（戶），

P（X=k）=Ck4C3-k16C320（k=0，1，2，3），

∴P（X=0）=C04C316C320=2857，P（X=1）=C14C216C320=819，

P（X=2）=C24C116C320=895，P（X=3）=C34C016C320=1285，

故X的分布列為：X0123P28578198951285評(píng)注：超幾何分布的理論基礎(chǔ)是古典概型，主要運(yùn)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型.如果隨機(jī)變量X服從超幾何分布，那么事件{X=k}發(fā)生的概率為P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m.

例6一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79.（1）求白球的個(gè)數(shù)；（2）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布表.

分析：（1）列出符合題意的關(guān)于袋中白球個(gè)數(shù)x的方程；（2）隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

解：（1）記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，則P（A）=1-C210-xC210=79，得到x=5.故白球有5個(gè).

（2）X服從超幾何分布，其中N=10，M=5，n=3，其中P（X=k）=Ck5C3-k5C310，k=0，1，2，3.

于是可得其概率分布表為：X0123P112512512112評(píng)注：對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其概率分布表可以直接應(yīng)用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型.

三、友情提示

掌握離散型隨機(jī)變量的概率分布表，需注意：

（1）概率分布表的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率.看每一列，實(shí)際上是：上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

（2）要會(huì)根據(jù)概率分布的兩個(gè)性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的概率分布表的正誤.

（作者：王佩其，江蘇省太倉高級(jí)中學(xué)）endprint