陸鐵堅，楊詩龍

(中南大學土木工程學院，湖南長沙410075)

目前，多重抗側(cè)力體系在工程中已得到廣泛應用［1－2］，多重抗側(cè)力結構體系在水平荷載作用下的位移計算也展開了廣泛研究，袁泉等［3］研究了雙重彎剪型結構，童樹根等［4］考慮了截面沿豎向的變化，應用串聯(lián)－并聯(lián)電路模型研究了雙重變截面變剛度彎剪型抗側(cè)力體系的水平位移的解析解，Lee等［5－6］研究了框架剪力墻結構的靜力和動力可靠性。以上研究成果能很好地應用于規(guī)則多重抗側(cè)力體系，如規(guī)則框剪結構、框筒結構、密肋復合墻－剪力墻混合結構等。工程實踐中經(jīng)常遇到復雜結構體系，為了更好地進行復雜結構體系在水平作用下的位移計算以及地震作用下的時程分析，可采用層模型來進行研究，層模型由于自由度少、求解迅速等特點，應用較廣，特別是彎剪型層模型既考慮了結構的彎曲變形也考慮了剪切變形。趙西安等［7］提出了彎剪型層模型，并應用于實例;曹征良等［8］對彎剪型層模型進行了進一步研究，給出了結構總抗側(cè)剛度矩陣。筆者認為，彎剪型層模型的彈塑性時程分析還有一些問題值得探討。在此，就層等效抗彎剛度和等效抗剪剛度的計算，層單元剛度矩陣的推導，拐點處理等幾個方面進行探討。

1 等效抗彎剛度和抗剪剛度的計算

包世華［9］指出可用靜力分析或模型試驗的方法，求出結構在側(cè)向荷載{P}作用下的側(cè)移{x}和彎曲變形轉(zhuǎn)角{θ}，然后由原結構和等效的層模型在樓層處側(cè)移和轉(zhuǎn)角分別相等的條件，折算出其等效的抗彎剛度EIi和抗剪剛度GAi。但原結構樓層處的彎曲變形轉(zhuǎn)角很難由靜力分析或模型試驗得出，只能由水平位移的一階導數(shù)來替代，但根據(jù)Timoshenko兩廣義位移梁理論可知，水平位移的一階導數(shù)與彎曲轉(zhuǎn)角不再相等［10］，其差為剪切應變。文獻［7］由原結構樓層處的位移相等得到了等效抗彎剛度和抗剪剛度，適用于各層梁、柱、墻的剛度沿豎向基本均勻或變化不大的結構，為了拓寬等效EIi和GAi求解方法的應用范圍，本文選取2種荷載工況{P}，如圖1。使得每種荷載工況下原結構和等效層模型的水平位移都對應相等。

圖1 2種荷載工況Fig．1 Two kinds of load condition

等效的層模型樓層處水平位移理論值的計算見下式［7］:

工況1下，1至N－1層僅發(fā)生彎曲變形，根據(jù)等效層模型和原結構或試驗模型1至N－1層水平位移相等，可求出EI1至EIN－1，結合工況2，可得GA1至GAN－1，2工況下第N層等效層模型和原結構或試驗模型分別對應相等，求出EIN和GAN。

2 層單元剛度矩陣的推導

彎剪型結構的側(cè)向剛度矩陣一般由結構的總剛度矩陣通過縮聚的方法獲得，因此先要確定結構的層單元剛度矩陣。文獻［8］根據(jù)節(jié)點平衡得到了總剛度矩陣，其單元剛度矩陣實質(zhì)上是考慮剪切變形的梁單元剛度矩陣，由于層模型的抗彎剛度和抗剪剛度不是實際上的EIi和GAι，而是根據(jù)樓層處水平位移相等等效計算出的等效抗彎剛度和抗剪剛度。本文采用圖2所示并聯(lián)電路模型計算層間位移。

圖2 并聯(lián)電路模型Fig．2 Parallel－ circuit model

層單元兩端自由度和桿端力向量為:

xi為第i層樓層處的水平位移，θi第i層樓層處的彎曲轉(zhuǎn)角。

假設虛位移為:

層間水平位移記為y(x)，則

設層間彎曲位移:

記yb(h)=yb，h為層高。

邊界條件有:

由式(7)可以解出 a1，a2，a3和 a4。

設i質(zhì)點相對于i－1質(zhì)點的剪切位移為ys。

則根據(jù)Timoshenko剪切梁的彎曲變形與剪切變形的基本關系［11］，即圖2并聯(lián)模型中的電壓1等于電壓2，有:

將式(6)代入式(8)得:

又由圖2模型可知:

將式(9)代入式(10)有:

層間剪力為:

剪切變形能為:

彎矩為:

彎曲應變能:

總勢能為:

由式(19)知，彎剪型層模型的層剛度矩陣即為考慮剪切變形的Timoshenko梁單元剛度矩陣。

3 拐點處理

進行彈塑性時程分析時需要引入恢復力模型，折線型恢復力都存在轉(zhuǎn)折點，即拐點。拐點前后結構或構件的剛度發(fā)生變化，為防止誤差積累而嚴重影響解的精度，需處理好拐點問題。目前最常用的處理方法是:先計算t和t+Δt時刻結構的響應，根據(jù)兩時刻的位移和速度判斷是否有拐點存在，若有拐點，則計算拐點出現(xiàn)時刻t+Δt0。以拐點出現(xiàn)時刻為分界點，分成更小的步長，依次對不同剛度狀態(tài)進行計算，求得其響應。因此需要計算拐點出現(xiàn)時刻。肖明葵等［12］提出的拐點精確計算方法，用于單自由度體系很方便，但用于多自由度體系的拐點處理較困難。文獻［8］采用線性插值方法搜索拐點，線性插值法假設(t，t+Δt)時間段內(nèi)位移線性變化，通過線性插值求得拐點出現(xiàn)時刻。但拐點前后結構剛度發(fā)生變化，位移線性變化假設誤差較大，所以線性插值法將影響解的精度?，F(xiàn)推導用于多自由度體系的拐點精確處理公式。

一般的，結構的動力反應增量方程為:

注意到，層間位移、層間速度、層間加速度與相對地面位移、速度、加速度有如下關系:

將式(21)代入式(20)，得基于層間動力狀態(tài)參數(shù)的動力增量方程為:

當結構狀態(tài)未發(fā)生變化時，{ΔP}=0。

對于加載點的拐點，即第1類、第3類拐點，出現(xiàn)拐點的樓層在拐點時刻層間位移為已知值。對于卸載點拐點，即第2類拐點，層間位移為0時出現(xiàn)拐點。

設拐點在(t，t+Δt)時間段出現(xiàn)，時刻為t+Δt0，顯然0 ＜ Δt0＜ Δt。在(t，t+ Δt0)時間段內(nèi)，對于加載點，根據(jù)Newmark－β法有:

將式(23)、(24)代入式(22)得:

其中:

解方程(25)并整理得:

式中:

對于卸載點，若第i層出現(xiàn)卸載點拐點，則第i層的層間速度為0。根據(jù)Newmark－β知:

則有:

同理可以得到卸載點拐點計算公式，同式(28)。此時各系數(shù)列向量為:

以上推導了拐點計算公式的一般式，該公式以基于層間狀態(tài)參數(shù)的動力方程為基礎，不引入新的假設。給出的系數(shù)列陣中，只含有t時刻的狀態(tài)參數(shù)和拐點出現(xiàn)時刻的位移或速度參數(shù)，若第i層出現(xiàn)拐點，則A(i)，B(i)，C(i)，D(i)，E(i)均為已知值，代入拐點計算公式方程(式(28))，即可求解出Δt0，滿足0＜Δt0＜Δt的最小解即為拐點出現(xiàn)時刻。適用于wilson－θ法的拐點計算公式同理可以推導。

4 算例

對文獻［8］中9層框架結構，采用MATLAB編制程序，進行彈塑性時程分析，結構的計算參數(shù)見表1。地震波選用Elcentro波，最大地面加速度調(diào)整為 200 gal，積分步長為 0．02 s，阻尼比采用0.05。

時程分析的計算結果的對比見表2。

由表2計算結果可知:與其他計算結果相比，本文計算的樓層底部(1～6層)的最大樓層位移偏大，而樓層上部(7～9層)的最大樓層位移值偏小;從最大層間位移來看，底下2層的最大層間位移偏大，中間層最大層間位移相差不大，頂上2層的最大層間位移偏小。特別是第2層為薄弱層，與其他方法計算結果值相比，本文計算的最大層間位移明顯偏大。原因在于線性插值法處理拐點時，引入了位移線性變化假設，而實際上位移絕非線性變化，而且沒有處理卸載點拐點，故其精度是較低的。

表1 9層框架結構計算參數(shù)Table 1 Parameters of frame structure of 9 storeys

表2 計算結果比較Table 2 Comparison of calculated result

5 結論

(1)本文介紹的2種荷載工況，能用于求解彎剪型層模型等效抗彎剛度和抗剪剛度。且不同樓層之間的等效抗彎剛度和抗剪剛度是彼此獨立的，因此對于剛度沿樓層變化較大的結構也適用。

(2)基于勢能駐值原理推導的層單元剛度矩陣是正確可行的，且易于編程。

(3)進行彈塑性時程分析時，計算精度在很大程度上取決于拐點處理方法，特別是薄弱層的最大層間位移隨拐點處理方法的不同而有較大差異。本文推導的拐點精確處理公式，直接基于拐點出現(xiàn)時刻的動力方程，而未引入假設條件，故其精度是可靠的。且適用于剪切型層模型的拐點處理。

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