趙山崎，周立群

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

一類具多比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性

趙山崎，周立群

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函和運(yùn)用Halanay時(shí)滯不等式，討論一類具多比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性，得到了判定該系統(tǒng)平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定的一個(gè)時(shí)滯獨(dú)立的充分條件.通過(guò)數(shù)值算例和仿真結(jié)果驗(yàn)證了所得結(jié)論的有效性.

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；多比例時(shí)滯；全局指數(shù)穩(wěn)定性；Lyapunov泛函

自1988年Chua等[1]提出細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNNs）以來(lái)，CNNs被廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、圖像處理、聯(lián)想記憶等領(lǐng)域，這些應(yīng)用一般要求平衡點(diǎn)是唯一且穩(wěn)定的.而信號(hào)傳輸和放大器有限次的開(kāi)關(guān)都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生時(shí)滯.在網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行中時(shí)滯是不可避免的，它會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩、分叉和混沌等現(xiàn)象，從而改變系統(tǒng)的特性.因此對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.目前關(guān)于時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的各種穩(wěn)定性已有廣泛的研究[2-12].文獻(xiàn)[2-6]研究了不同類型的時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[7-9]通過(guò)構(gòu)造Lyapunov-Krasovskill泛函和利用線性矩陣不等式，得到了細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[10-12]研究了時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒穩(wěn)定性.

比例時(shí)滯是眾多時(shí)滯中的一種，目前對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究主要集中于常時(shí)滯、有界變時(shí)滯、分布時(shí)滯等情況，對(duì)具比例時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究相對(duì)較少.比例時(shí)滯是一種無(wú)界的時(shí)變時(shí)滯，不同于無(wú)界的分布時(shí)滯，比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于時(shí)滯微分方程的范疇，由于時(shí)滯微分方程的解析解很難求得，目前關(guān)于時(shí)滯微分方程的研究大部分集中于數(shù)值解.比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以根據(jù)比例時(shí)滯因子的大小和網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行所能允許的最大時(shí)滯來(lái)控制網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行時(shí)間，所以研究比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有重大的意義[13-15].文獻(xiàn)[13]利用非線性測(cè)度討論了一類具多比例延時(shí)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[14]研究了一類具多比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)周期性和穩(wěn)定性.本研究討論一類具多比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性，通過(guò)變換將多比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化成等價(jià)的變系數(shù)常時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函，得到了該系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，所得條件易于驗(yàn)證，并給出例子及其仿真結(jié)果驗(yàn)證所得結(jié)論的正確性.

1 模型描述與預(yù)備知識(shí)

考慮如下具多比例時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中：i=1，2，…，n，n表示神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；di＞ 0表示在與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不連通并且沒(méi)有外部附加電壓差的情況下第i個(gè)神經(jīng)元恢復(fù)獨(dú)立靜息狀態(tài)的速率；aij、bij、cij分別表示第j個(gè)神經(jīng)元到第i個(gè)神經(jīng)元在時(shí)刻t、q1t、q2t聯(lián)接權(quán)的權(quán)重；q1、q2是比例時(shí)滯因子，滿足0＜q1，q2＜1，qit=t-（1-qi）t，i=1，2，（1-qi）t是時(shí)變的無(wú)界時(shí)滯函數(shù)，即當(dāng)t→+∞時(shí)，（1-qi）t→+∞，i=1，2；ui（t）表示第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)；fj（·）表示第j個(gè)神經(jīng)元在時(shí)刻 t的輸出，j=1，2，…，n；Ii表示第 i個(gè)神經(jīng)元的偏置.

設(shè)系統(tǒng)（1）具有如下初始條件

其中：ui0表示 s∈[q，1]的初始值，為常數(shù)；q=min{q1，q2}.

設(shè)系統(tǒng)（1）的輸出函數(shù)fj（·）是Lipschitz連續(xù)的，即存在 Lj＞ 0，使得?uj，vj∈R，有

注1若fj（·）滿足Lipschitz連續(xù)，那么它可以是無(wú)界的，不可微的，也可以不是單調(diào)增的.

作變換vi（t）=ui（et），則系統(tǒng)（1）等價(jià)地變換成如下的變系數(shù)常時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

條件（2）相應(yīng)地變換為

式（4）是系統(tǒng)（3）的初始條件，其中：τ=max{τ1，τ2}，τ1=-ln q1＞0，τ2=-ln q2＞0；φi（s）=ui0，s∈[-τ，0]，i=1，2，…，n.設(shè) φ =（φ1，φ2，…，φn）T.

注2 容易驗(yàn)證系統(tǒng)（1）與（3）有相同的平衡點(diǎn)，因此要證明系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性只需證明系統(tǒng)（3）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

設(shè) v*=（v1*，v2*，…，vn*）T是系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn).令v（t）=（v1（t），v2（t），…，vn（t））T是異于v*的任一解，令yi（t）=vi（t）-vi*，則由系統(tǒng)（3）有

其中g(shù)j（yj（t））=fj（vj（t））-fj（vj*）.因此要證明系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性只需證明系統(tǒng)（5）零解的穩(wěn)定性即可.

定義1 稱系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在M≥1，k＞0，使得

定義2 稱系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)是全局吸引的，如果系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)v*∈Rn和任意解v∈Rn滿足

引理[2]設(shè)常數(shù) α ＞β＞0，x（t）在 t≥ t0-τ上是非負(fù)的一元連續(xù)函數(shù)，且在t≥t0-τ上滿足如下不等式

2 主要結(jié)果

定理設(shè)fj（·）為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)的，且存在常數(shù)λ＞1，p、q∈R，ε＞0，使得

則系統(tǒng)（3）有唯一平衡點(diǎn)，并且該平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.其中：

由定義1知，系統(tǒng)（5）的原點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，故系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定且唯一的.從而系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

若在定理的證明過(guò)程中取p=q=1，ε=1，則可得如下推論.

推論設(shè)fj（·）為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)的，且

成立，則系統(tǒng)（1）有唯一平衡點(diǎn)，并且該平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

注3 推論與文獻(xiàn)[2]中定理是一致的，但是文獻(xiàn)[2]討論的是具有常時(shí)滯和變時(shí)滯的CNNs的穩(wěn)定性，而本研究討論無(wú)界時(shí)變的比例時(shí)滯，因此該推論可以看作文獻(xiàn)[2]的改進(jìn).

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下二維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

顯然6=a＞b+c+d=5，滿足定理的條件，故該系統(tǒng)存在唯一的全局指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)u*，利用Matlab計(jì)算，得到平衡點(diǎn)為 u*=（0.335 5，0.256 1）T，仿真結(jié)果見(jiàn)圖1.

圖1 例1的仿真結(jié)果Fig.1 Simulated resultsof exam ple 1

4 結(jié)論

主要討論了一類具多比例時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性，通過(guò)變換vi（t）=ui（et）將具多比例時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型變換成等價(jià)的變系數(shù)常時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函和利用Halanay時(shí)滯不等式，得到了這類時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，所得條件易于驗(yàn)證，通過(guò)數(shù)值算例及仿真驗(yàn)證了結(jié)果的正確性.

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G lobal exponential stability of a class of cellular neural networksw ith multi-proportional delays

ZHAO Shanqi，ZHOU Liqun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Global exponential stability of a class of cellular neural networks with multi-proportional delays is studied.The sufficient conditions of global exponential stability of the equilibrium of system are obtained by constructing suitable Lyapunov functional and Halanay delay inequality.An example is given to illustrate the effectiveness of the result.

cellular neural networks；multi-proportional delays；global exponential stability；Lyapunov functional

O175.13；TP183

A

1671-1114（2014）01-0007-04

2013-02-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60974144）；天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金資助項(xiàng)目（20100813）；天津師范大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目（52LX34）

趙山崎（1989—），女，碩士研究生.

周立群（1972—），女，博士，副教授，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論及應(yīng)用方面的研究.

（責(zé)任編輯 馬新光）