董 哲，伊 鵬

（國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，450002，鄭州）

社團作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的重要特性受到了研究者的日益關(guān)注。社團將網(wǎng)絡(luò)劃分成許多由節(jié)點組成的群組，群組內(nèi)部節(jié)點連接非常緊密而群組之間連接則較為稀疏。發(fā)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)具有很多重要的應(yīng)用，如恐怖組織識別、網(wǎng)絡(luò)輿情監(jiān)控以及謠言的傳播行為分析等。在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中，由于其結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，因此挖掘動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)變得異常困難。

目前，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)取得了很多成果［1-3］。在現(xiàn)實生活中，絕大多數(shù)的網(wǎng)絡(luò)都具有動態(tài)特性，這些網(wǎng)絡(luò)隨著時間的推移不斷發(fā)生演化。雖然，這些變化對于網(wǎng)絡(luò)的局部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響較小，但隨著時間積累網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)會發(fā)生明顯的變化，因此需要對其社團進行重新發(fā)現(xiàn)。目前，已經(jīng)提出了許多動態(tài)網(wǎng)絡(luò)社團發(fā)現(xiàn)算法。如Tang等人提出一種類似于語義迭代分析過程的算法［4］，發(fā)現(xiàn)動態(tài)多模網(wǎng)絡(luò)中社團演化情況，該算法能夠得到局部最優(yōu)的社團結(jié)構(gòu)，但是卻需要人為指定社團個數(shù)，不能自適應(yīng)地得到最優(yōu)的社團結(jié)構(gòu)。文獻［5］提出了分析動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中社團的Social Cost算法，將社團發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為圖著色問題，但該算法只關(guān)注特定個體的演化關(guān)系，不能從全局的角度來得到社團結(jié)構(gòu)。還有其他一些動態(tài)社團發(fā)現(xiàn)算法，如：Gong等人提出一種基于局部搜索的多目標免疫算法［6］，但該算法復(fù)雜度非常大；Nguyen等人提出一種自適應(yīng)增量算法QCA算法［7］，該算法只對發(fā)生變化的節(jié)點進行處理，能夠得到較優(yōu)的社團，但節(jié)點的變化情況復(fù)雜多變，導致算法的復(fù)雜度較大；文獻［8］提出一種主題模型來發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)，但是其算法的復(fù)雜度較大；文獻［9］提出一種簡單的增量社團發(fā)現(xiàn)算法，該算法復(fù)雜度較小，但是其算法精度較差；文獻［10］提出了一種基于優(yōu)化算法的動態(tài)社團發(fā)現(xiàn)方法，該算法避免了網(wǎng)絡(luò)中離群點對算法的影響，提高了算法精度，但是其復(fù)雜度較大。

大多數(shù)社團結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)方法是基于節(jié)點聚類的算法，難以發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定的社團。在網(wǎng)絡(luò)中當節(jié)點存在交互關(guān)系時認為兩節(jié)點間存在鏈路且唯一。因此，文獻［11］提出一種基于鏈路的Link算法，該算法發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中穩(wěn)定的社團具有明顯的優(yōu)勢。算法首先對網(wǎng)絡(luò)中的鏈路進行聚類，將得到的鏈路社團通過節(jié)點鏈路關(guān)系映射為節(jié)點社團［12］，但該算法無法發(fā)現(xiàn)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)。

針對上述問題，本文提出一種基于鏈路聚類的增量社團發(fā)現(xiàn)算法（link-based dynamic community detection algorithm，LDC）。該算法通過各個時刻的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)信息得到相關(guān)鏈路增量信息，再基于改進的鏈路劃分密度函數(shù)（LD）對鏈路增量信息進行處理，以改進的鏈路模塊度為目標函數(shù)，得到鏈路社團。為了驗證算法的有效性，本文將其應(yīng)用于人工動態(tài)網(wǎng)絡(luò)和真實的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中。實驗證明，本文算法能夠有效地發(fā)現(xiàn)具有典型動態(tài)信息網(wǎng)絡(luò)中的多尺度穩(wěn)定社團結(jié)構(gòu)。

1 相關(guān)定義與指標

給定網(wǎng)絡(luò)G（V，E），V 為節(jié)點集合，E為邊集合，Ci為第i個社團節(jié)點集合。給出以下定義：定義1 節(jié)點時序圖St表示t時刻個體間的關(guān)系，動態(tài)網(wǎng)絡(luò)G可以用節(jié)點時序圖的集合表示，T為時間段劃分總數(shù)，G=（S1，S2，S3，…，St，…，ST），1≤t=G。

定義2 給定St，則鏈路圖LG是St中節(jié)點間邊的關(guān)系構(gòu)成的鏈路集合，如圖1所示。LG=｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11｝。

圖1 鏈路圖

定義3 給定鏈路L1和L2，L1=＜v1，v2＞，L2=＜v3，v4＞，其中v1、v2、v3、v4為節(jié)點。若L1∩L2=＜v1，v2＞∩＜v3，v4＞?，則鏈路L2與L1互為鄰鏈路。

定義4 給定t時刻鏈路社團Ci、Cj和鏈路L=＜v1，v2＞，若｛L|L?Ci，L?Cj，v1∈Ci，v2∈Cj，i≠j｝則L為橋鏈路。

1.1 鏈路劃分密度

本文通過文獻［11］中的鏈路劃分密度D函數(shù)提出一種改進的鏈路劃分密度函數(shù)DL處理增量信息。假定一個網(wǎng)絡(luò)有M 條鏈路，｛P1，…，PC｝分別將網(wǎng)絡(luò)劃分成C個鏈路子集。定義社團的鏈路劃分密度

式中：mC=|PC|和為子集PC中鏈路數(shù)和節(jié)點數(shù)；mb表示社團之間的橋鏈路數(shù)；nb｝|表示社團之間的節(jié)點數(shù)。改進的鏈路劃分密度，則

1.2 鏈路模塊度

給出矩陣HN×M，N為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點總數(shù)，M為網(wǎng)絡(luò)中鏈路總數(shù)。如果鏈路l與節(jié)點i相關(guān)（i∈l），則H中的元素Hil=1，否則為0。令節(jié)點度ki=，表示與鏈路l相關(guān)的節(jié)點數(shù)，則模塊度為

2 LDC動態(tài)社團發(fā)現(xiàn)算法

給定網(wǎng)絡(luò) G=（V，E），C=｛C1，C2，…，Ck｝，令動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的增量信息為ε=｛ε1，ε2，…，εn｝。網(wǎng)絡(luò)中的鏈路可分為2類：社團內(nèi)部的鏈路（intracommunity links，IL），即邊的2個端點均在該社團內(nèi)；社 團 之 間 的 鏈 路 （bridge-community links，BL），即邊的2個端點位于2個不同的社團內(nèi)。對于G中的每一個社團C，當添加IL鏈路或者移除BL鏈路時使得社團的緊密性更強且網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)更加清晰。相反，移除IL鏈路和添加BL鏈路使得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)漸漸模糊。當2個社團之間不存在干擾關(guān)系，或者干擾較小時，鏈路的增加或者移除有可能形成一個新的社團結(jié)構(gòu)。因此，在更新社團結(jié)構(gòu)時，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的細微變化將會導致其社團產(chǎn)生巨大的變化。從鏈路的角度出發(fā)，通常隨著時間的推移網(wǎng)絡(luò)的變化其實就是鏈路的增加或移除。因此，網(wǎng)絡(luò)中的變化信息就是一系列簡單事件的集合，這些簡單的事件包括新的鏈路的加入和已經(jīng)存在的鏈路的移除等信息。

2.1 鏈路添加

當新增加一條鏈路e時，有2種情況：①鏈路e完全處于社團Ci內(nèi)部；②鏈路e處于社團Ci和Cj之間，i≠j。對于情況①，根據(jù)定理1，社團結(jié)構(gòu)保持不變。對于情況②，由定理2可知，如果橋鏈路e被劃分進新的社團中，則該社團必為Ci和Cj之一。推論1給出了對橋鏈路e進行劃分的判斷條件，如果鏈路i或者j對應(yīng)的鏈路劃分密度變化值Δdi和Δdj均不滿足，則不對該鏈路進行操作，具體見算法1。

算法1 添加邊new-link

步驟1 輸入新加入的鏈路e和t時刻鏈路社團結(jié)構(gòu)Ct；

步驟2 輸出t+1時刻鏈路社團結(jié)構(gòu)Ct+1；

步驟3 若e是社團內(nèi)部鏈路，則Ct+1≡Ct，否則k=arg max（Δdi，Δdj）并將e加入到Ck，更新Ct+1。

定理1 如果Ci是網(wǎng)絡(luò)G中一個社團，那么添加任何一條IL鏈路到Ci，Ci不會分解成更小的模塊。

證明 假設(shè)增量信息εi表示要添加一條內(nèi)部鏈路e到社團Ci中，則Ci的鏈路劃分密度為

令D′c表示e加入到社團Ci時的鏈路劃分密度，則

令Δ=D′c-Dc，則Δ＞0，D′c＞Dc，故當加入內(nèi)部鏈路e到Ci中后，社團更穩(wěn)健。

定理2 如果添加的鏈路位于社團Ci和Cj之間，若該橋鏈路要被重新劃分，則社團Ci和Cj為首選。證明 假設(shè)要添加的位于社團Ci和Cj之間的鏈路為e，則由于e的節(jié)點分別位于社團Ci和Cj中，所以當把鏈路e加入到其他社團時，DL值并不變。對社團Ci，鏈路e未加入時，相應(yīng)鏈路前后對應(yīng)的鏈路劃分密度為

令Δ1=D′L，i-DL，i，則Δ1＞0，故鏈路e加入社團Ci之后，Ci的鏈路劃分密度增大。同理，令Δ2=D′L，j-DL，j，Δ2＞0，Cj的鏈路劃分密度也增大。

綜上所述，如果添加的鏈路位于社團Ci和Cj之間時，則社團Ci和Cj為首選。

推論1 如果添加的橋鏈路e位于社團Ci和Cj之間，若滿足條件Δd=DL，i（E+e）-DL，j（E+e）+DL，j（E）-DL，i（E）＞0，則橋鏈路e將被劃分進社團Ci中，反之，橋鏈路e將被劃分進社團Cj中。

證明 由定理2可知，如果添加的橋鏈路e位于社團Ci和Cj之間，Ci和Cj為其首選，則有

當Δd＞0時，Δ1＞Δ2，則橋鏈路e應(yīng)被劃分進社團Ci中；當Δd＜0時，Δ1＜Δ2，則橋鏈路e應(yīng)被劃分進社團Cj中。

2.2 鏈路移除

當某鏈路e被移除時，可分為2種情況：①該橋鏈路e處于社團Ci和Cj之間，i≠j；②該鏈路e完全處于社團Ci內(nèi)部。依據(jù)推論3，對于情況①，移除橋鏈路時，社團不發(fā)生變化。

推論3 如果鏈路e為社團Ci和Cj之間的橋鏈路，當移除該鏈路時社團Ci和Cj結(jié)構(gòu)更加明顯，整體社團結(jié)構(gòu)不變。

證明 當移除的鏈路e是社團Ci和Cj之間的橋鏈路時，社團內(nèi)部節(jié)點間的鏈路關(guān)系未發(fā)生變化，而鏈路社團之間的鏈路被移除時，社團間的連接關(guān)系變得更稀疏，網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)更加健壯、明顯。因此，整體社團結(jié)構(gòu)不會發(fā)生變化。對于情況②，當移除的鏈路e是一條IL鏈路時，令S（e）表示e的鄰鏈路集合，?l∈S（e），若Ck=argmax（DL，k（l）），則將鏈路l劃分進社團Ck中，其中1≤k≤N，N為當前時刻的鏈路社團總數(shù)，具體見算法2。

算法2 移除邊removal＿link

步驟1 輸入被刪除的鏈路e和t時刻鏈路社團結(jié)構(gòu)Ct；

步驟2 輸出t+1時刻鏈路社團結(jié)構(gòu)Ct+1；

步驟3 若鏈路e是一條BL鏈路，則Ct+1≡Ct，否則Ck=arg max（DL，k（l）），l∈S（e）、k∈（1，N），并將鏈路l加入到社團Ck，更新Ct+1。

算法3給出了本文LDC算法的具體步驟。

算法3 LDC算法

步驟1 輸入G=G0=（V0，E0），增量信息ε=｛ε1，ε2，…，εn｝；

步驟2 輸出t時刻網(wǎng)絡(luò)Gt的社團結(jié)構(gòu)Ct；

步驟3 將節(jié)點圖G0轉(zhuǎn)化為鏈路圖；

步驟4 發(fā)現(xiàn)初始時刻鏈路圖社團結(jié)構(gòu)C0；

步驟5 從初始時刻起，若e∈new＿link（L（u，v）），則new＿link（Ct，L（u，v）），否則removal＿link（Ct，L（u，v））；

步驟6 將鏈路社團結(jié)構(gòu)Ct映射成為節(jié)點社團，得到各個時刻節(jié)點社團結(jié)構(gòu)。

2.3 LDC算法的時間復(fù)雜度分析

如LDC算法所示，算法的步驟5雖然對所有時刻和變化的鏈路信息進行掃描，但之后的操作都是以步驟5作為判斷條件的，如果條件不滿足，就不會有后續(xù)操作。因此，運算中真正進行操作的遍數(shù)是εt的集合mi，即所有與增量信息有關(guān)的鏈路的數(shù)目。mi的大小與網(wǎng)絡(luò)的時刻劃分尺度有關(guān)，通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中mi的規(guī)模為O（m），m為鏈路數(shù)。在步驟5添加邊操作，每次循環(huán)有O（1）個單元操作，移除邊操作需要O（lk）個單元操作，其中l(wèi)為鏈路的鄰鏈路數(shù)，k為社團個數(shù)，因此每一遍需要時間O（lk）。綜合起來，總的算法時間復(fù)雜度為O（m x lk）。

3 仿真實驗

為驗證LDC算法的有效性，本節(jié)分別對人工動態(tài)網(wǎng)絡(luò)和真實的動態(tài)社會網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集進行仿真實驗。本文將LDC算法分別與Link算法［11］、GaoCD算法［12］、QCA 算 法［7］及 MIEN 算 法［13］進 行 比 較。Link算法從鏈路的角度發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中社團；GaoCD基于遺傳算法，從鏈路的角度發(fā)現(xiàn)靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中重疊社團結(jié)構(gòu)；QCA算法是基于節(jié)點的增量動態(tài)網(wǎng)絡(luò)社團發(fā)現(xiàn)算法；MIEN算法通過壓縮與解壓縮，使用快速模塊度算法更新網(wǎng)絡(luò)中的社團。

3.1 人工網(wǎng)絡(luò)

采用文獻［14］的方法來生成人工數(shù)據(jù)集。該人工網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集共由128個節(jié)點組成，共4個社團，每個社團共有32個節(jié)點，如圖2所示。同一社團內(nèi)的節(jié)點對之間存在鏈路的概率為pin，不同社團的節(jié)點間存在鏈路的概率為pout，本文令pin=0.193 5，pout=0.020 8。

圖2 具有128個節(jié)點4個社團結(jié)構(gòu)的人工網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集

為了生成動態(tài)人工網(wǎng)絡(luò)，在第一個時刻之后的每個時刻，隨機選擇10%的節(jié)點離開所屬的社團，隨機地加入到其他3個社團中。本文按照此方法生成10個時刻的人工網(wǎng)絡(luò)。

將LDC算法應(yīng)用于該數(shù)據(jù)集，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3a可知，在人工動態(tài)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集中，本文提出的LDC算法其模塊度要明顯優(yōu)于其他算法。由圖3b可以看出，LDC算法發(fā)現(xiàn)的4個社團符合實際情況；由圖3c可以看出，因為網(wǎng)絡(luò)中的鏈路增量變化信息較少，所以LDC算法的運行時間相比于其他算法要少很多。標準化互信息值用來表征算法發(fā)現(xiàn)的社團結(jié)構(gòu)與真實社團之間的差異，用于描述算法的準確性。由圖3d可以看出，由于LDC算法只針對發(fā)生變化的鏈路信息進行處理，符合真實網(wǎng)絡(luò)中社團的變化情況，所以其標準化互信息值要大于其他算法，提高了0.15。因此，LDC算法能夠準確地發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)。

圖3 5種算法處理人工數(shù)據(jù)集的性能對比

3.2 真實網(wǎng)絡(luò)

為了驗證LDC算法在現(xiàn)實社會網(wǎng)絡(luò)中的性能，本文采用了2種真實的社會網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集，分別是ENRON郵件網(wǎng)絡(luò)［5］和 VAST數(shù)據(jù)集。ENRON郵件網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集來自ENRON公司內(nèi)部的郵件聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)，包含來自151名用戶郵件消息的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集，其時間跨度為1999年5月到2002年3月；VAST數(shù)據(jù)集來自IEEE VAST 2008，是一個開放的競賽項目的數(shù)據(jù)集，它包含一組共400人10天的通話數(shù)據(jù)。

采用VAST數(shù)據(jù)集，以每一天為一個時間粒度，對比本文LDC算法和其他4種算法處理人工數(shù)據(jù)集的性能，結(jié)果如圖4所示。

由圖4a可以看出，相比于其他算法，LDC算法的鏈路模塊度提高了20%；由圖4b可見，LDC算法中發(fā)現(xiàn)VAST數(shù)據(jù)集中的社團更加穩(wěn)定；由圖4c可知，LDC算法的效率較高，算法性能優(yōu)越；由圖4d可知，相比于其他算法，LDC算法的標準化互信息值整體提高了0.13，LDC算法利用網(wǎng)絡(luò)中的鏈路增量信息，能夠發(fā)現(xiàn)更加準確的社團結(jié)構(gòu)。

采用ENRON數(shù)據(jù)集，以每個月為一個時間粒度，對比本文LDC算法并和其他4種算法處理人工數(shù)據(jù)集的性能，結(jié)果如圖5所示。

由圖5a可以看出，LDC算法能夠更有效地發(fā)現(xiàn)社團結(jié)構(gòu)，相比于其他算法，LDC算法的鏈路模塊度提高了19%；由圖5b中可以看出，相比于其他幾種算法，LDC算法得到的社團數(shù)目相對較多，這是由于該公司內(nèi)部出現(xiàn)了一些變動，導致網(wǎng)絡(luò)中的鏈路增量信息不完整導致了社團個數(shù)的增加，但同時說明LDC算法更傾向于發(fā)現(xiàn)具有多尺度、結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定的社團結(jié)構(gòu)；圖5c說明，LDC算法的運行效率要優(yōu)于其他算法；由圖5d可知，LDC算法的NMI值相比于其他算法要提高0.15，且要比其他算法穩(wěn)定。

圖4 5種算法處理VAST數(shù)據(jù)集對比

通過將LDC算法分別應(yīng)用于人工網(wǎng)絡(luò)和真實網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集中并和其他算法進行對比，由仿真結(jié)果可知，由于LDC算法是從鏈路的角度來發(fā)現(xiàn)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的社團，只對網(wǎng)絡(luò)中的鏈路變化信息進行處理，簡化了網(wǎng)絡(luò)中的增量信息，相比于其他算法，LDC算法更能夠準確地發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中穩(wěn)定的社團結(jié)構(gòu)。

圖5 5種算法處理Enron數(shù)據(jù)集性能對比

4 結(jié) 論

本文提出一種基于鏈路聚類的動態(tài)社會網(wǎng)絡(luò)社團發(fā)現(xiàn)算法——LDC算法，并提出了一種改進的社團劃分密度，將復(fù)雜的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的變化信息簡化為鏈路添加和鏈路移除2種增量信息，從鏈路的角度重新解決社團結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)問題。本文分別將LDC算法應(yīng)用于人工動態(tài)網(wǎng)絡(luò)和真實的動態(tài)社會網(wǎng)絡(luò)中進行仿真實驗，結(jié)果表明，與當前的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)社團發(fā)現(xiàn)方法相比，LDC算法能夠快速準確地發(fā)現(xiàn)動態(tài)社會網(wǎng)絡(luò)中穩(wěn)定的多尺度社團結(jié)構(gòu)。

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