關(guān)潮輝，丁樹良

(江西師范大學(xué)計算機信息工程學(xué)院，江西南昌330022)

0 引言

項目反應(yīng)理論(item response theory，IRT)是一種新興的心理與教育測驗理論，是在克服經(jīng)典測驗理論局限而產(chǎn)生和發(fā)展的［1］.參數(shù)估計是IRT的重要組成部分，但是由于IRT自身的復(fù)雜性，致使其相關(guān)模型的參數(shù)估計相對困難［2］.傳統(tǒng)的參數(shù)估計方法要求測驗的人數(shù)和題數(shù)都較大時才有較理想的分析結(jié)果.使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行參數(shù)估計(BP降維法)［3-5］對考生人數(shù)、測驗題數(shù)的要求較寬松且估計的精度較高.但是目前在設(shè)計網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時，網(wǎng)絡(luò)隱層數(shù)及隱層節(jié)點數(shù)的確定還缺乏足夠的理論指導(dǎo)，這使得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定帶有較大的主觀性和藝術(shù)性［6-7］.本文主要對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及降維法進行改進，并達到了較好的效果.

1 研究方法

1.1 BP降維法

文獻［4-5］提出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)降維法，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與降維技術(shù)相結(jié)合，利用IRT中常用的聯(lián)合似然估計思想進行參數(shù)估計［5］，用于處理各種IRT模型的參數(shù)估計，具有普遍適用性.本文主要討論0-1評分的3參數(shù)邏輯斯蒂模型(3PLM):

其中D=1.702 為常數(shù)，aj、bj、cj分別表示第i個題目的區(qū)分度、難度和猜測度，Pαj表示能力為θα的被試答對第 j題的概率［1］.

在文獻［4-5］中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱來設(shè)計，采用4層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，每層的節(jié)點數(shù)依次為10，7，3，1個，前3層采用 S型激活函數(shù)‘tansig’，最后一層采用線性激活函數(shù)‘purelin’，訓(xùn)練函數(shù)、學(xué)習(xí)函數(shù)采用默認方式，訓(xùn)練次數(shù)為100次.

根據(jù)Monte Carlo模擬生成的得分矩陣XN×M=(xij)進行降維.其中以被試i的平均得分作為該被試能力(θ)參數(shù)估計的輸入;以題分對總分的相關(guān)系數(shù)作為題目參數(shù)區(qū)分度a的輸入，以下si為第i個被試的總分，s-為N個被試的平均分，則

1.2 改進的BP降維法

在文獻［4-5］提出的BP降維法中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)(4層，節(jié)點數(shù)分別為10，7，3，1)值得商榷.文獻［8］指出，一個有3層單元的網(wǎng)絡(luò)可以任意精度逼近任意函數(shù).過多的層數(shù)不僅影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的速度，而且可能導(dǎo)致過擬合［9］，從而影響其泛化能力.通過湊試法［10］發(fā)現(xiàn)，采用新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即2層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，每層的節(jié)點數(shù)依次為3、1，前層采用“S”型激活函數(shù)‘tansig’，后層采用線性激活函數(shù)‘purelin’，訓(xùn)練函數(shù)采用‘trainbr’、學(xué)習(xí)函數(shù)采用默認方式，訓(xùn)練次數(shù)為100次.訓(xùn)練速度更快，且實驗結(jié)果更好.

對于降維方法，文獻［3］提出了不同的方法，在新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，實驗效果沒有進一步穩(wěn)定的提高，故還是沿用文獻［4-5］的降維方法，但作必要的修正.當(dāng)某題目所有被試均作答錯誤時，題目的區(qū)分度a對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)計算公式的分母為0.針對這一缺陷，本文提出修改，當(dāng)?shù)趈題沒人答對時，即得分陣XN×M的第 j列均為 0 時，有

由于題目的通過率越高，題目相應(yīng)的難度應(yīng)該越小，采用通過率作為題目難度的輸入從邏輯上看是不合理的.針對這一問題，以題目的未通過率=作為題目參數(shù)難度b的輸入.對于猜測度c，當(dāng)被試人數(shù)的尾數(shù)不為0時，l30不是整數(shù)，比如被試人數(shù)為45時，l30=13.5，與事實不符，故應(yīng)該進行取整處理.

2 試驗

蒙特卡洛模擬隨機生成M個項目參數(shù)和N個被試能力參數(shù)，其中l(wèi)na～N(1，0.4)(且0＜a≤2)，θ，b～N(0，1.5)(且 -3≤θ，b≤3)，c～β(3，30)(且0＜ c≤0.25).由(1)式計算Pαj，產(chǎn)生得分陣 XN×M=(xij)(rij～U(0，1)，rij≤Pαj，xij=1，否則xij=0)［4-5］. 重復(fù)生成RN×M=(rij)，產(chǎn)生30 個得分陣.采用上述的降維法以及修正后的降維法對得分陣進行降維，得出一行N列的向量(能力參數(shù))或M行一列的向量(項目參數(shù))作為30個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，以對應(yīng)的能力參數(shù)或項目參數(shù)真值作為對應(yīng)的輸出，分別使用文獻［4-5］的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

模擬生成N1個被試能力參數(shù)，結(jié)合上述已經(jīng)生成的M組項目參數(shù)，生成得分陣XN1×M，作為進行被試能力值的參數(shù)估計的測試樣本.降維后生成輸入向量，在原來訓(xùn)練好的30個網(wǎng)絡(luò)上測試，以N1個被試能力為網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)值，每次網(wǎng)絡(luò)輸出進行相加，循環(huán).模擬生成M1組項目參數(shù)，結(jié)合上述已經(jīng)生成的N個被試的能力參數(shù)，模擬生成得分陣XNXM，通過上述方法，同樣可以完成項目參數(shù)估計.

使用估計值對真值的修復(fù)好壞的2個指標(biāo)Abs和Rmasd作為評價估計好壞的標(biāo)準［4-5］:

其中k，r表示待估參數(shù)個數(shù)和訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)數(shù)，x∧ij表示參數(shù)的估算值，xij表示參數(shù)的真值.為了說明新的方法的時間效率有所提高，引入相對時間的概念:以新方法完成所有參數(shù)估計時程序的總耗時為一個單位時間，即T1=1，文獻［4-5］的方法有T2=toldtnew，其中told表示文獻［4-5］方法完成所有參數(shù)估計時程序的總耗時，tnew表示新方法的總耗時.

3 結(jié)果及其分析

令題數(shù)M=200，人數(shù)N=150，測試題數(shù)M1=50，測試人數(shù)N1=50，分別使用文獻［4-5］的BP降維法和改進后的BP降維法進行試驗，得到結(jié)果如表1所示.

表1 2種BP降維方法得到的各參數(shù)評價指標(biāo)的比較

從表1可以看出，當(dāng)訓(xùn)練人數(shù)N為150，訓(xùn)練題數(shù)M為200，施測題數(shù)或施測人數(shù)為50時，新法得到的各個參數(shù)的指標(biāo)均優(yōu)于文獻［4-5］.其中，能力參數(shù)θ的Abs和 Rmsd，新法明顯優(yōu)于文獻［4-5］.文獻［4-5］的相對時間值為1.37，這相當(dāng)于新法的程序運行的時間效率提高了近40%.

4 進一步的討論

在研究過程中，發(fā)現(xiàn)存在以下問題值得進一步討論:(i)當(dāng)M≤8且N≤8，而M1或N1保持不變時，新方法的實驗結(jié)果有時會比原來的方法差.事實上，當(dāng)訓(xùn)練樣本特別小的時候，是否還考慮使用降維法［4-5］，值得商榷.(ii)BP網(wǎng)絡(luò)是目前使用最為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之一，盡管如此，它仍存在網(wǎng)絡(luò)易陷入局部極小、收斂速度慢、網(wǎng)絡(luò)泛化能力差等不足［6］，如何結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成法［7，11］，對其進行改進并應(yīng)用于基于IRT的參數(shù)估計，值得研究.(iii)本文主要討論的是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如果采用其他神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效果會如何?特別是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是有監(jiān)督的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［10］，這大大限制了此類方法的實際應(yīng)用.(iv)本文只討論了基于簡單IRT模型的參數(shù)估計，即0-1評分，單維的3PLM，如果采用多級評分或多維的IRT模型，該如何進行試驗，值得討論.

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