☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王 東

加強(qiáng)知識理解 滲透數(shù)學(xué)思想
——以人教A版必修“1函數(shù)的概念及其性質(zhì)”為例

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王 東

一、重視以知識理解帶動數(shù)學(xué)思想教學(xué)的原因

數(shù)學(xué)思想是引領(lǐng)數(shù)學(xué)活動的基本動力，是數(shù)學(xué)的精髓.長期以來，我國數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高中數(shù)學(xué)教學(xué)十分重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，把培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想分析和解決問題的能力作為重要的教學(xué)目標(biāo)之一，并取得了很大的成績.落實(shí)在日常教學(xué)活動中，常?？梢愿爬椤耙蛔龆v三悟”.這就是：第一步，教師提供形式多樣的數(shù)學(xué)練習(xí)題，由學(xué)生自己先做這些練習(xí)題；第二步，教師進(jìn)行精心的講解，對于其中的數(shù)學(xué)思想方法加以提煉和總結(jié)；第三步，學(xué)生自身的領(lǐng)悟，特別是，需要學(xué)生自己去弄清楚數(shù)學(xué)思想是怎樣在問題解決中發(fā)揮思維的引領(lǐng)作用的.其中，“悟”的重要性受到了特別的強(qiáng)調(diào)，認(rèn)為“做”和“講”是“悟”的基礎(chǔ)，是為實(shí)現(xiàn)“悟”的效果服務(wù)的.

從知識分類的角度來看，數(shù)學(xué)思想屬于策略性知識.策略性知識的學(xué)習(xí)和掌握是一個以問題解決為載體的“行動+反思”的過程，學(xué)習(xí)者在不斷變換的問題情境中依托實(shí)踐的領(lǐng)悟十分重要.數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，“一做二講三悟”有其合理性.

然而，在數(shù)學(xué)思想的“教”和“學(xué)”上，我們常?？吹?，盡管師生雙方付出了很大的努力，效果和效率卻不盡如人意.對于為數(shù)不少的學(xué)生，他們一般不難看懂一個數(shù)學(xué)問題的邏輯解法，卻無法真正領(lǐng)會其中的數(shù)學(xué)思想，不明白它們是怎么想出來和怎么運(yùn)用的，覺得數(shù)學(xué)很神秘，數(shù)學(xué)思想難以把握.

上述現(xiàn)象的存在，除數(shù)學(xué)思想本身的抽象性特征外，筆者以為，存在于“教”的方面先天不足是一個重要原因.這就是過分強(qiáng)調(diào)了課堂內(nèi)外的解題訓(xùn)練和學(xué)生自身的領(lǐng)悟在理解和掌握數(shù)學(xué)思想中的作用，而對于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)起點(diǎn)問題缺乏應(yīng)有的重視和理性的認(rèn)識.

事實(shí)上，對于學(xué)習(xí)者來說，數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)是一個漫長的過程，需要經(jīng)歷“初步感知”、“逐漸領(lǐng)會”和“靈活運(yùn)用”這樣三個階段.其中，“初步感知”是把握數(shù)學(xué)思想的心理基礎(chǔ)，也是我們開展數(shù)學(xué)思想教學(xué)的始發(fā)地.這一階段的教學(xué)具有不可缺失、不可替代和不可重復(fù)的特點(diǎn)，其重要意義不言而喻.那么，如何讓這一階段的教學(xué)成為自然的和深刻的呢？筆者以為，數(shù)學(xué)思想并非“天外之物”，知識是思維的載體，也是思想的載體.學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的初步感知只能來自于數(shù)學(xué)新知識學(xué)習(xí)的階段.具體地說，要強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想這一隱性知識與數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式和法則等）這一顯性知識的內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)，為學(xué)生架設(shè)一條由知識通向思想的橋梁，走一條以數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識帶動數(shù)學(xué)思想理解的路子：首先，要引領(lǐng)學(xué)生深度剖析數(shù)學(xué)知識反映的空間形式和數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵，使之成為理解數(shù)學(xué)思想的源頭活水；接著，借助于素樸典型的實(shí)例，從反思數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程入手，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解從字面意義的表層漸進(jìn)到思維價值的深處，抽象概括出數(shù)學(xué)思考的一般化方法即數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的有機(jī)融合.

二、例說以知識理解帶動數(shù)學(xué)思想的教學(xué)

首先，帶動數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要在學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的字面意義有了充分把握的基礎(chǔ)上進(jìn)行.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識在高層次上的抽象和概括，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解過程是一個對數(shù)學(xué)知識深度解讀的過程，離開了知識的字面意義這一基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想便成了“水中月，鏡中花”.教學(xué)中，要在學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有了準(zhǔn)確的字面理解，但還缺乏從思維價值的高度作出進(jìn)一步分析的意識的時候，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，因勢利導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)陳述性的數(shù)學(xué)知識向策略性的數(shù)學(xué)思考方式的提升和轉(zhuǎn)化.

其次，以知識理解帶動數(shù)學(xué)思想的教學(xué)應(yīng)該在一個相對完整的時間段內(nèi)進(jìn)行，以避免教學(xué)的表面化.這是因?yàn)椋瑥臄?shù)學(xué)知識中析取數(shù)學(xué)思想是一個分析、抽象和思維概括的過程，不僅需要教師的啟發(fā)性講授，更離不開學(xué)生智力的全身心參與.學(xué)生的思維要在具體和一般、形象和抽象之間往返穿梭，并經(jīng)歷批判性反思.

下面試以人教A版教材必修1“函數(shù)的概念及其性質(zhì)”為例，談?wù)勅绾我灾R理解帶動數(shù)學(xué)思想的教學(xué).

具體地說，這是一個“說內(nèi)涵—設(shè)情境—引思想”的過程.“說內(nèi)涵”就是圍繞“知識是什么”這一話題，分析知識的結(jié)構(gòu)及其內(nèi)在聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上，提出“知識有什么用”的問題，引發(fā)學(xué)生思維價值方面的思索；“設(shè)情境”就是設(shè)置數(shù)學(xué)內(nèi)外問題，師生合作思考和解決.這里的問題設(shè)置著眼于凸顯知識的思維價值，直接為數(shù)學(xué)思想的教學(xué)服務(wù)，因而其情境應(yīng)該是簡明的，既不宜涉及太多的數(shù)學(xué)概念、公式和法則，也應(yīng)該與教材中的相關(guān)素材緊密聯(lián)系；“引思想”就是和學(xué)生一道回顧解決問題的思維歷程，提煉出超越數(shù)學(xué)知識、能有效地指導(dǎo)數(shù)學(xué)思考的一般方法，也就是數(shù)學(xué)思想.

1.從“函數(shù)概念”到“函數(shù)思想”

第一步，說內(nèi)涵.

師：函數(shù)是描述兩個變量的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，這種依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)表示就是對應(yīng)關(guān)系f.那么，對應(yīng)關(guān)系f能幫助我們做什么事呢？函數(shù)的定義和上節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)都告訴我們，確定了對應(yīng)關(guān)系f的涵義，那么對于定義域內(nèi)的任意一個自變量的值，我們都能確定因變量的值.由此，同學(xué)們在上節(jié)課中寫出了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等我們熟悉的函數(shù)的值域.不難想象，確定了對應(yīng)關(guān)系f和定義域，我們便可研究因變量的變化規(guī)律，獲得因變量的諸多性質(zhì).

第二步，設(shè)情境.

（教材第39頁習(xí)題B組第2題），動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是30m，那么每間熊貓居室的最大面積是多少？（有意省去了原題題設(shè)中的“設(shè)寬x（單位：m）”.師生共同解答略，下同）

第三步，引思想.

簡評：要使函數(shù)思想的教學(xué)來得親切和自然，就必須從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，從學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，圍繞函數(shù)概念的要素，在啟發(fā)學(xué)生對概念意義的再理解上下工夫.以函數(shù)概念的理解帶動函數(shù)思想的教學(xué)，將促成學(xué)生對函數(shù)關(guān)系由不自覺建立向自覺建立的轉(zhuǎn)化，必在數(shù)學(xué)方法論方面對學(xué)生產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.

2.從“分段函數(shù)”到“分類討論思想”

第一步，說內(nèi)涵.

第二步，設(shè)情境.

第三步，引思想.

師：從上題的分析和解答中我們看到，根據(jù)分段函數(shù)f（x）的涵義，在表示f（a+1）時需要區(qū)分a+1≥0和a+1<0這兩種情形，因而第（2）小題需要分別解這兩種情形下的一個一元二次方程，最后再把結(jié)果綜合起來，從而得到了原問題的解答.由此想開去，如果事先了解到一個事物在不同的階段呈現(xiàn)不同的性質(zhì)或特點(diǎn)，而我們處理這個事物又需要涉及所有的階段，那么就需要對各個階段的情形分別考察才能得到完整和準(zhǔn)確的結(jié)論，這種處理問題的策略就是數(shù)學(xué)中的“分類討論思想”.

簡評：分段函數(shù)是對立統(tǒng)一觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)，是理解分類討論思想的良好載體.透過分段函數(shù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，一要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識事物的復(fù)雜性，二要從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)幫助學(xué)生領(lǐng)會分類討論思想的實(shí)質(zhì)，這就是“各個擊破，分而治之”.

3.從“函數(shù)的單調(diào)性”到“數(shù)形結(jié)合思想”

第一步，說內(nèi)涵.

師：函數(shù)研究的內(nèi)容是描述自變量變化引起的函數(shù)值變化的特點(diǎn)和規(guī)律.前面的學(xué)習(xí)告訴我們，從“隨著自變量的增大，對應(yīng)的函數(shù)值是否增大（減?。边@一角度反映的函數(shù)性質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)單調(diào)性的形式化定義是抽象的，但它反映的圖象特征卻是直觀的：在某區(qū)間上是增函數(shù)對應(yīng)于相應(yīng)部分圖象（從左到右看）是上升的，在某區(qū)間上是減函數(shù)對應(yīng)于相應(yīng)部分圖象（從左到右看）是下降的.可見，了解了圖象的升降性也就等于把握了函數(shù)的單調(diào)性，為此我們需要經(jīng)常作出函數(shù)的圖象.進(jìn)一步想開去，作出函數(shù)的圖象還可以幫助我們獲得函數(shù)許多其他方面的信息.

第二步，設(shè)情境.

第三步，引思想.

師：上面的解答包括兩個步驟：作出函數(shù)f（x）的圖象，將“滿足f（x）=a的x的值有3個”這一要求轉(zhuǎn)化為“圖象上縱坐標(biāo)等于a的點(diǎn)一共有3個”.其中，第一步“作出函數(shù)f（x）的圖象”是第二步實(shí)施轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).總的來說，就是先將題目中抽象的符號表示轉(zhuǎn)化為直觀的圖形表示，將數(shù)量關(guān)系方面的要求轉(zhuǎn)化為點(diǎn)或線或圖形的位置關(guān)系方面的要求，然后通過觀察圖形的特征，獲得需要的數(shù)量關(guān)系.這樣一個將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”，再從“形”回歸到“數(shù)”的過程，可以有效地化解數(shù)學(xué)的抽象性，是數(shù)學(xué)中一種基本的思考方法，稱為“數(shù)形結(jié)合思想”.

簡評：作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合反映了數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)對象的本來面目在數(shù)學(xué)方法論中的體現(xiàn).這有助于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想看待和分析數(shù)學(xué)問題的自覺性，實(shí)現(xiàn)抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，并形成對數(shù)學(xué)的更加完整和深刻的認(rèn)識.

4.從“函數(shù)的奇偶性”到“化歸思想”

（分析過程與前面類似，略.）

三、結(jié)束語

以知識理解的教學(xué)帶動數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)知識背后生動活潑的數(shù)學(xué)思維，它不僅推進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識更加深刻的認(rèn)識，同時開啟了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想思考的大門.

數(shù)學(xué)知識具有思維的特點(diǎn).透過本質(zhì)性的理解，看到數(shù)學(xué)知識形式化的符號表達(dá)背后豐富多彩的數(shù)學(xué)思想應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師的專業(yè)本能.數(shù)學(xué)教學(xué)要成為“自然的”和“清楚的”，就必須在課堂上積極探尋數(shù)學(xué)知識背后的思維力量，讓數(shù)學(xué)思想教學(xué)和數(shù)學(xué)知識教學(xué)水乳交融，相伴同行，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識教學(xué)價值的最大化，這是數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造性工作的重要組成部分.

∶

1.鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論［M］.南寧：廣西教育出版社，1999.

2.人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

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