☉廣東省信宜市信宜中學(xué) 劉志有

探索：可從滿足問題的充分性開始

☉廣東省信宜市信宜中學(xué) 劉志有

在某種意義上可以這樣理解：解決問題的過程就是不斷變更問題的過程，最理想的是保證等價轉(zhuǎn)化，使前后命題互為充要條件，步步可逆.但對某些復(fù)雜的問題，充要性的滿足是困難的.退而求其次，從滿足問題的充分性開始嘗試，往往使一籌莫展的問題得以打開突破口，這一思維方式有突破常規(guī)之處，對創(chuàng)新思維培養(yǎng)不無裨益.本文結(jié)合具體實例，對這一思維策略做些初步分析.

一、僅有問題的充分性一般會使原問題的解集縮小

我們借用集合語言描述兩個命題間的充分條件關(guān)系，即A=滿足條件p}，B=滿足條件q}.如果A?B，那么p是q的充分條件.由此容易看出，僅滿足問題的充分性一般會使討論問題的“解集”縮小.所以，我們從滿足問題的充分性探索起步時就要注意原問題的求解目標(biāo)，否則就會出現(xiàn)偏差與錯誤.

例1（2009年浙江文）已知函數(shù)f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）.

（1）略；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍.

錯解：（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，等價于導(dǎo)函數(shù)f（′x）在（-1，1）既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)，即函數(shù)f（′x）在（-1，1）上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有f（′-1）f（′1）＜0，即：［3+2（1-a）-a（a+2）］［3-2（1-a）-a（a+2）］＜0.

整理得：（a+5）（a+1）（a-1）2＜0，解得-5＜a＜-1.

評析：“函數(shù)f（x）區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，等價于導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)”是對的，進(jìn)而等價于“函數(shù)f（x）區(qū)間（-1，1）上至少存在一個極值點”，但與“函數(shù)f′（x）在（-1，1）上存在零點”不等價.這里有兩點需要指出：一是函數(shù)f（x）的極值點是其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點，反之不成立；二是f（a）f（b）＜0是f（x）在區(qū)間（a，b）存在零點的充分條件，也就是“有它一定行，無它未必不行（還可能有其他情形）”.

二、對存在性問題有時只需滿足充分性

正如在實際生活中解決一個問題有多種方案，我們通常選擇自己喜歡或相對易處理的一種方案.同樣，對一個數(shù)學(xué)問題可以在技術(shù)上設(shè)計為僅討論它的充分性，特別是存在性問題，往往是“找到”即可，其實質(zhì)是“尋找”結(jié)論的某個充分條件.

（1）證明：當(dāng)t＜2 2時，g（x）在R上是增函數(shù)；

（2）對于給定的閉區(qū)間［a，b］，試說明存在實數(shù)k，當(dāng)t＞k時，g（x）在閉區(qū)間［a，b］上是減函數(shù)；

分析：此題的前兩問都是圍繞“充分性”來設(shè)計的.首先，兩問都是基于單調(diào)性的充分條件切入：g′（x）＞0是g（x）為增函數(shù)的充分條件，g（′x）＜0是g（x）為減函數(shù)的充分條件；其次，（1）“t＜2”實則是“g（x）在R上是增函數(shù)”的充分條件，所以只需證“當(dāng)t＜2時，g（′x）＞0”；對（2）一是可以從（1）問受到啟發(fā)將問題弱化為滿足充分性“g（′x）＜0”，二是利用分離參數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為“t＞2ex+e-x在閉區(qū)間［a，b］上成立”，這樣引出k的尋找辦法，即只需k不小于y=2ex+e-x在閉區(qū)［a，b］上有最大值，由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值定理知最大值肯定存在，問題獲得解決.下面給出前兩問證明：

（1）證明：由題設(shè)得g（x）=e2x-（tex+1）+x，g′（x）=2e2xtex+1.又由2ex+e-x≥2，且t＜2得t＜2ex+e-x，即g′（x）=2e2x-tex+1＞0.由此可知，g（x）為R上的增函數(shù).

（2）因為g′（x）＜0是g（x）為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得t＞k時，g（′x）=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+ e-x在閉區(qū)間［a，b］上成立即可.因此y=2ex+e-x在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，故在閉區(qū)［a，b］上有最大值，設(shè)其為k，于是在t＞k時，g（′x）＜0在閉區(qū)間［a，b］上恒成立，即g（x）在閉區(qū)間［a，b］上為減函數(shù).

三、不等式放縮證明過程實質(zhì)是不斷尋求原命題充分性的過程

傳遞性是不等式基本性質(zhì)之一，由于這種“傳遞”的單向性，從某種意義上可理解為是大小比較的一個縮小或放大的過程，也即將原（不等式）命題加強(qiáng)，轉(zhuǎn)為證明加強(qiáng)（不等式）命題成立，從而得原命題成立，從邏輯角度分析，后者即前者的充分條件.

四、復(fù)雜問題可考慮運用分解與整合策略，從滿足問題的充分性開始

復(fù)雜問題的解決，有時很難找到滿足充要條件下的等價轉(zhuǎn)化，這時運用先分解后整合的策略，先得到結(jié)論成立的充分條件，再觀察、分析、檢驗或反駁其他子問題和分解情形.其思維特點是：先由某個充分性獲得局部結(jié)論，再依次擴(kuò)大研討領(lǐng)域達(dá)到對整體情形的全面考察.

以上，我們分析了從滿足問題充分性的思考下的局限性、具體問題中的靈活性以及尋求問題突破思維上的創(chuàng)新性.在解題實踐中，防止僅考慮充分性導(dǎo)致“以偏賅全”的錯誤是需要重視的，但更要研究這一策略的合理性，挖掘它對學(xué)會解題、學(xué)會思維方面賦予的積極意義.

1.任念兵，周心華.強(qiáng)化命題證明一類數(shù)列不等式［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2006（12）.

2.陳云烽.一類等價性問題的求解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（4）.