☉河北省唐山市路南區(qū)中學(xué)教研室 李姝俠

運(yùn)算簡(jiǎn)單往往要付出邏輯思維的代價(jià)
——兼說(shuō)“正難則反”的求解策略

☉河北省唐山市路南區(qū)中學(xué)教研室 李姝俠

近來(lái)關(guān)注各地2013～2014學(xué)年第一學(xué)期期末考試試題，雖然整體上仍然以迎合中考的拼湊中考題試卷為主，但也能見(jiàn)到一些地區(qū)命題者匠心獨(dú)具，設(shè)計(jì)出一些具有鮮明導(dǎo)向的優(yōu)秀試題.本文挑選兩道有一定難度的考題，嘗試給出不同解法，并反思這類考題帶來(lái)的教學(xué)導(dǎo)向和命題思辨，與同行研討.

一、兩道“期末考題”的解法突破

下面結(jié)合兩個(gè)不同地區(qū)、不同年級(jí)的期末考題，講解不同解法，一起感悟不同解法的差異.

例1 （江蘇省某縣七年級(jí)2013～2014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)測(cè)試卷）一批樹苗按下列方法依次由各班領(lǐng)?。旱谝话嗳?00棵和余下的110，第二班取200棵和余下的110，第三班取300棵和余下的110……最后樹苗全部被取完，且各班的樹苗都相等，求樹苗總數(shù)和班級(jí)數(shù).

難點(diǎn)分析：?jiǎn)栴}要求的兩個(gè)未知量“樹苗總數(shù)”、“班級(jí)數(shù)”，如果只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，該設(shè)哪個(gè)？方程的等量關(guān)系何在？這些都很困難.

第1種思路：設(shè)樹苗總數(shù)為x棵，可列出方程：

解得x=8100.

問(wèn)題獲得突破.

解后反思：從上面的等量關(guān)系獲得一個(gè)繁雜的方程，促使我們繼續(xù)尋找其他的思路.

第2種思路：列表來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的文字表達(dá)：

班級(jí) 樹苗數(shù)1 100+1 10（x-100）……n-1 100（n-1）+？n 100n請(qǐng)思考：“？”應(yīng)填寫多少呢？進(jìn)一步思考：“100n”與“？”有怎樣的關(guān)系呢？

經(jīng)過(guò)上述分析，“？”應(yīng)該是100，于是可設(shè)“？”為110m，且有100n=910m.

問(wèn)題獲得貫通，即m=1000，100n=900.

所以n=9，x=8100.

解后反思：上述常規(guī)思路涉及較繁雜的數(shù)式運(yùn)算與變形，需要對(duì)數(shù)式變形有較高的運(yùn)算適應(yīng)性，才能在高危害的考場(chǎng)環(huán)境下成功突破，對(duì)考生的心理、運(yùn)算能力有一定的挑戰(zhàn).考慮到本題中拋物線、圓均涉及對(duì)稱性，這會(huì)啟發(fā)我們嘗試簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解，下面給出第二種思路.

第2種角度（基于對(duì)稱角度思考）：如圖4，由（2）知C是弧MN的中點(diǎn).在半徑DN上截取EN=MG，又因?yàn)镈M=DN，所以DG=DE.則點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱.連接CD、CE、PD、PE，由圓的對(duì)稱性可得圖形PMC的面積與圖形PECN的面積相等.

由PC把圖形PMCN（指圓弧MCN和線段PM、PN組成的圖形）分成兩部分，這兩部分面積之差為4，可知△PCE的面積為4.

點(diǎn)評(píng)：第2種思路雖然較之第1種思路的步驟、運(yùn)算大為減少，但是基于對(duì)稱啟示的輔助線（半徑DN上截取EN=MG）、△PCE的面積為4、S△CEP=2S△CDP等的洞察，都是有較高難度的，與例1一樣，解法的簡(jiǎn)潔需要付出大量邏輯思維的代價(jià).

二、兩點(diǎn)思考

1.“正難則反”的解題策略值得推介

先說(shuō)一段數(shù)學(xué)史上關(guān)于“正難則反”的經(jīng)典故事：歐幾里得的名著《幾何原本》中有一條公理，歷史上稱之為“第五公設(shè)”——同平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交.由于這個(gè)“公設(shè)”在敘述上不像其他公理那樣簡(jiǎn)明，并且在書中證明第29個(gè)命題時(shí)才遲遲用到它，以后就再也不用了.這促使人們思考：第五公設(shè)能否用其他公理及前28個(gè)命題來(lái)證明？經(jīng)過(guò)1000多年的努力，人類沒(méi)有成功，雖然曾有很多人宣布獲證，但是有錯(cuò)誤的論證……1000多年的試證失敗，引起了許多數(shù)學(xué)家的思考：證明第五公設(shè)是可能的嗎？于是，許多數(shù)學(xué)家反設(shè)“第五公設(shè)”不成立，往前推，希望推出矛盾的結(jié)論.確實(shí)，否定“第五公設(shè)”導(dǎo)致了許多“怪異”命題，如三角形的內(nèi)角和小于180°，矩形不存在，半圓的圓周角為銳角等，但它們與否定第五公設(shè)并不矛盾.實(shí)質(zhì)上，這是另一種幾何—非歐幾何（高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容）.正面證明沒(méi)有成功，反而又否定不出矛盾，數(shù)學(xué)似乎走到了進(jìn)退兩難的境地，其實(shí)不然，這將迎來(lái)了一場(chǎng)數(shù)學(xué)上的革命.1826年2月23日，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系宣讀了他的論文《幾何學(xué)原理的扼要闡述暨平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》，宣告“第五公設(shè)”是能證明的，否定“第五公設(shè)”的另一種幾何（非歐幾何）是存在的.學(xué)習(xí)非歐幾何是大學(xué)的事，但非歐幾何誕生過(guò)程中的“正難則反”的思想?yún)s處處有用.上文的兩個(gè)題例中的第二種“簡(jiǎn)化思路”也體現(xiàn)了“正難則反”的求解策略.

2.高危害的考試中設(shè)置此類試題應(yīng)慎重

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于“評(píng)價(jià)建議”有如下表述：“評(píng)價(jià)的主要是目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué).”“評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的發(fā)展和變化.”作為平時(shí)學(xué)期內(nèi)的學(xué)業(yè)水平練習(xí)或反饋，像上文中“例1”、“例2”這樣的考題設(shè)置，能啟發(fā)學(xué)生思考、改進(jìn)教師教學(xué)，加強(qiáng)解題教學(xué)中的反思和優(yōu)化取向，讓師生在測(cè)試后能得到后續(xù)的發(fā)展或改進(jìn).但是，在中考或“一考定終身”類的高危害考試中，設(shè)計(jì)這樣的試題需要慎重考慮，因?yàn)榭忌趹?yīng)對(duì)此類問(wèn)題時(shí)，一般都是以獲得常規(guī)思路貫通后即展開(kāi)演算、表達(dá)，在很緊張的考試時(shí)間（我國(guó)數(shù)學(xué)考試的一個(gè)顯著不足：時(shí)間短、題量大）難以抽身做解法或思路的優(yōu)化.這樣勢(shì)必造成這類問(wèn)題設(shè)計(jì)的考查意圖、信度、效度降低，這事實(shí)上就涉及了“好題”往往并一定適合在考場(chǎng)上用的道理.

1. 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

2. 中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.