謝勇來

【摘 要】D-S證據(jù)理論是一種非常有效的不確定性推理方法，其核心是D-S證據(jù)組合算法，為不確定信息的表達和合成提供了強有力的方法。本文對D-S組合算法及其幾種改進組合算法進行討論，分析了算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過一個例子對比了運算結果，最后總結了這幾種算法的適用性。

【關鍵詞】D-S證據(jù)理論；證據(jù)組合算法；高沖突證據(jù)

0.概述

隨著火電廠信息化的不斷發(fā)展，目前電廠廣泛采用的分散控制系統(tǒng)DCS可以對整個機組實現(xiàn)實時的、全方位和多層次的監(jiān)控，這些關于設備和系統(tǒng)的豐富信息是進行故障診斷的寶貴資源。采用多源信息融合技術可以充分挖掘這些信息的內(nèi)涵，并有效全方位的綜合利用，從而提高對故障診斷的準確性、有效性和可靠性。因此多源信息融合理論在電力系統(tǒng)的故障診斷中具有較高的理論優(yōu)勢和應用前景。

D-S證據(jù)理論構造了不確定性模型的一般框架，建立了命題和集合之間的一一對應關系，把命題的不確定性問題轉(zhuǎn)化為集合的不確定問題。D-S證據(jù)理論是信息融合技術中極其有效的一種不確定性推理，其核心是D-S證據(jù)組合規(guī)則，為不確定信息的表達和合成提供了強有力的方法。本文對D-S組合算法及其改進組合算法進行討論、分析和對比。

1.基本概念[1，2]

設Θ為識別框架，則函數(shù)m：2Θ滿足：

m（Φ）=0

m（A）=1 （1）

則稱函數(shù)m為A的基本概率分配函數(shù)。m（A）稱為命題A的基本概率賦值，表示對命題A的精確信任度，表示了對A的直接支持。設Θ為一識別框架，m：2Θ→[0，1]是Θ上的基本概率分配函數(shù)，定義函數(shù)Bel：2Θ→[0，1]

Bel（A）=m（B）（?A?Θ） （2）

則稱函數(shù)Bel為Θ上的信任函數(shù)，稱Bel（A）為命題A的信任度。Bel（A）表示A的所有子集的可能性度量之和，即表示對A的總的信任程度。由此，基本概率賦值可以表示為：

m（A）=（-1）Bel（B）（?A?Θ） （3）

從這種意義上說，基本概率賦值和信任函數(shù)精確地傳遞同樣的信息。如果識別框架Θ的一個子集為A，且m（A）>0，則稱Θ的子集A為信任函數(shù)Bel的焦元。信任函數(shù)的全部焦元的并集成為信任函數(shù)的核（Core）。設Θ為一識別框架，定義函數(shù)Pl：2Θ→[0，1]。

pl（A）=m（B）=1-Bel（） （4）

則稱函數(shù)Pl為Θ上的似真函數(shù)，稱Pl（A）為命題A的似真度。Pl（A）表示不否定A的信任度，是所有與A相交的集合的信任分配之和。它與信任函數(shù)傳遞的是同樣的信息。當證據(jù)拒絕A時，Pl（A）=0；當沒有證據(jù)反對A時，Pl（A）=1。于是我們有

Bel（A）≤pl（A） （5）

2.幾種證據(jù)組合規(guī)則

2.1 D-S組合規(guī)則

D-S組合規(guī)則采用了稱作正交和的規(guī)則。

設Bel1和Bel2是同一識別框架Θ上的信任函數(shù)，m1和m2分別是對應的基本概率分配函數(shù)，焦元分別是A1，…，Ak和B1，…Br，則組合后新的基本概率分配函數(shù) ， 定義為組合算子：

（6）

其中：。在式中，若K≠1，則m確定一個基本信任分配函數(shù)；若K=1，則認為m1和m2完全矛盾的。

D-S組合規(guī)則為了保持基本概率分配函數(shù)的歸一性，在處理矛盾因子時，使兩個證據(jù)的公共焦元的基本概率賦值變?yōu)樵瓉淼?/（1-K），這意味著把局部的沖突放在全局中去分配。這里的“沖突”是指證據(jù)之間所支持命題的不一致性。

2.2 Yager組合規(guī)則

對于證據(jù)沖突的問題，Yager修改D-S組合規(guī)則，提出了一個與基本概率分配函數(shù)（Basic Probability Assignment Function，用m表示）不同的概念：基礎概率分配函數(shù)（Ground Probability Assignment Function，用q表示）。這兩者的主要區(qū)別有兩點：一是歸一化因子；二是m（Θ）的確定，它代表了由不知道所引起的不確定性。基礎概率分配q（A）的定義如下[3]：

（7）

其中B和C是冪集2Θ的子集，A是B和C的交集。注意這個公式里沒有歸一化因子，它是通過讓q（Φ）≥0，（這里的Φ表示的是空集），從而避免了歸一化的問題，而在D-S組合公式1中，有m（Φ）=0這個條件，為滿足bpa之和等于1，就必須進行歸一化。q（Φ）的計算式與D-S組合規(guī)則中的K的一樣，即：

在處理由不知道所引起的不確定性的基本概率賦值時，Yager把代表沖突的q（Φ）加到了q（Θ）上，從而轉(zhuǎn)化成Yager規(guī)則下的基本概率賦值mY（Θ）。這樣做的后果顯然是增大了不確定性。則Yager規(guī)則下的組合公式如下：

mY（Φ）=0 （9）

mY（A）=q（A） （10）

mY（Θ）=q（Θ）+ q（Φ） （11）

顯然，就可以得到在Yager證據(jù)組合規(guī)則下的函數(shù)q與在D-S證據(jù)組合規(guī)則下的函數(shù)m之間的關系：

m（Φ）=0 （12）

m（A）=q（A）/（1-q（Φ）），A≠Φ，Θ （13）

m（Θ）=q（Θ）/（1-q（Φ）） （14）

當q（Φ）=0時，也就是證據(jù)沒有沖突的情況下，Yager規(guī)則的結果與D-S規(guī)則的相等。

2.3 Inagaki組合規(guī)則

Inagaki利用Yager定義的基礎信任分配函數(shù)q的概念，定義一個連續(xù)型參數(shù)w（Continuous Parametrized Class），提出了一種統(tǒng)一的（Unified）組合規(guī)則，它包含了D-S和Yager兩種組合規(guī)則。Inagaki認為所有的組合規(guī)則可以表達為如下形式[4]：

m（C）=q（C）+f（C）q（Φ），C≠Φ （15）

（16）

f（C）≥0 （17）

其中：函數(shù)f可以解釋為q（Φ）的比例函數(shù)（Scaling Function）。參數(shù)w表示沖突，定義如下：

w=，?C≠Θ，Φ （18）

把公式18帶入到公式15可得：

m（C）=q（C）+wq（C）q（Φ）=q（C）（1+q（Φ））

同樣有：

m（D）=q（D）+wq（D）q（Φ）=q（D）（1+q（Φ））

兩式相比則有：

=，?C，D≠Θ，Φ （19）

上式表明m和q的比率是一致的，這也是Inagaki規(guī)則的限制條件，說明在Inagaki組合規(guī)則中，認為所有的信息源（包括傳感器和專家的知識、判斷等）都是可靠的，不存在關于其可靠性和可信度的判斷。如果對證據(jù)的可靠性進行判斷，就必然增加權重系數(shù)，m和q的比率就會變化，等式19就不再成立。從公式15、16和18可知，Inagaki證據(jù)組合規(guī)則如下：

mw（C）=[1+wq（Φ）]q（C），C≠Φ，Θ （20）

mw（Θ）=[1+wq（Φ）]q（Θ）+[1+wq（Φ）-w]q（Φ） （21）

0≤w≤ （22）

在公式中參數(shù)w的確定是重要的一步，其取值將直接影響組合后的結果，但現(xiàn)有文獻中并沒有給出一個合理明確的方法，一般只能從專家經(jīng)驗或者仿真實驗中得到。在Inagaki組合規(guī)則中，當參數(shù)w取某些特定值時，就會相應轉(zhuǎn)換成D-S規(guī)則和Yager規(guī)則。當w=0時，公式22就轉(zhuǎn)化成公式12，公式23就轉(zhuǎn)化成公式13；當w=1/1-q（Φ）時，公式22就轉(zhuǎn)化成公式15，公式23就轉(zhuǎn)化成公式16。在公式22中，若參數(shù)w取其上限值時，即：wext=1/（1-q（Φ）-q（Θ）），就得到另一種組合規(guī)則，稱為極限規(guī)則（Extreme Rule or Extra Rule）。

mext（C）=q（C），for C≠Θ （23）

mext（Θ）=q（Θ） （24）

從公式23可知，（1-q（Φ））/（1-q（Φ）-q（Θ））可以理解為q（C）的比例因子，也就是說，最后的組合結果包含了沖突q（Φ）和由不知道所引起的不確定q（Θ），其作用是對證據(jù)進行了選擇。從以上可知，參數(shù)w如何選擇，其本質(zhì)就是如何處理沖突信息。Yager證據(jù)組合規(guī)則（w=0）把沖突那部分概率全部賦予了識別框架Θ，沒有改變證據(jù)；D-S組合規(guī)則（w=1/1-q（Φ））忽略所有的沖突信息，采用歸一化方法把沖突信息按比例分配給了其它命題，因此對證據(jù)進行了較大程度的選擇；Inagaki極限組合規(guī)則（wext=1/1-q（Φ）-q（Θ）），既包含了沖突q（Φ）又包含了由不知道所引起的不確定q（Θ），對證據(jù)的選擇程度由q（Φ）和q（Θ）的大小決定。w值越大，對證據(jù)的選擇作用也越大。

3.不同組合規(guī)則的比較

本文采用具有高沖突證據(jù)的例子來比較各種組合規(guī)則的處理結果。

假定引起故障的原因有A、B和C三種情況，有兩組證據(jù)，

m1（A）=0.9，m （B）=0.1，m1（C）=0.0；

m2（A）=0.0，m2（B）=0.1，m2（C）=0.9；

3.1 D-S組合規(guī)則

根據(jù)D-S組合規(guī)則可以得到如下表1的信任分配組合結果。

表1 D-S 組合規(guī)則的信任分配組合結果

根據(jù)公式6，由表1可知：

K=∑m（Φ）=0.09+0.81+0.09=0.99，

1-K=1-0.99=0.01；

m12（A）=m（A）/（1-K）=0；

m12（B）=m（B）/（1-K）=0.01/0.01=1；

m12（C）=m（C）/（1-K）=0；

m12（Θ）=m（Θ）/（1-K）=0；

例子中可以看出，兩個證據(jù)支持都很低的命題B經(jīng)過合成之后的支持度是1，而支持很高的命題A和C合成后的支持度卻都是0，即使再增加新的證據(jù)，無論新證據(jù)對A和C的支持度是多少，組合后的支持度都為0，說明只要有一條證據(jù)否定某一命題，則組合后將始終被否定。產(chǎn)生這種有悖于常理結果的原因是D-S組合公式把空集m（Φ）的值舍去，并采用歸一化因子K來保證所有基本信任分配m之和等于1，實質(zhì)上是把沖突的那部分值按各自比重的不同分配給了其它命題，顯然只有命題B不為0，所以這部分值都分配給命題B。

3.2 Yager組合規(guī)則

利用Yager組合規(guī)則計算也會得到與D-S組合規(guī)則相同的中間運算結果矩陣，見表1，但是在沖突的處理上有明顯的不同，并且采用一個新的概念，就是基礎概率分配函數(shù)q。根據(jù)公式10可得：

q12（A）=m12（A）=0；

q12（B）=m12（B）=0.01；

q12（C）=m12（C）=0；

q12（Φ）=m12（Φ）=K=∑m（Φ）=0.99；

q12（Θ）=m12（Θ）=0

根據(jù)公式11、12和13則有：

mY（A）=0；mY（B）=0.01；mY（C）=0；

mY（Θ）=q12（Φ）+q12（Θ）=0.99

Yager組合規(guī)則雖然沒有采用歸一化因子K，但是把沖突那部分概率賦值分配給了未知命題mY（Θ），從而增大了未知命題的概率分配，因此其最終結果是降低了命題的信任度，提高了命題的似真度，而且也比原始證據(jù)對命題的判斷要小的多。當證據(jù)沖突越嚴重，似真度提高的越顯著。所以Yager組合規(guī)則的應用也有其局限性。

3.3 Inagaki組合規(guī)則

Inagaki規(guī)則也需要用到D-S規(guī)則的中間運算結果，并且使用了Yager組合規(guī)則中的基礎信任分配函數(shù)q的概念。從Inagaki規(guī)則的組合公式中可知，m12（B）的值跟參數(shù)w有直接的關系。當w=0時，Inagaki組合規(guī)則就變成了Yager證據(jù)組合規(guī)則。當w=1/1-q（Φ）=1/（1-0.99）=100時，Inagaki組合規(guī)則就變成了D-S證據(jù)組合規(guī)則，此時m12（B）=1。當w=wup=1/（1-q（Φ）-q（Θ）），就是Inagaki上限規(guī)則，但在本例中q（Θ）=0，此時就變成D-S規(guī)則。當w取不同值時，Inagaki規(guī)則是對D-S規(guī)則的擴展和延伸。當w的取值不斷增加時，對證據(jù)的選擇作用也不斷加強。

4.討論

總之，通過對D-S理論的證據(jù)組合規(guī)則的研究，我們發(fā)現(xiàn)，在沖突很小或者沖突不相關時，并且所有的信息源被認為是可靠的情況下，D-S組合可以認為是合理的，Yager規(guī)則、Inagaki規(guī)則和D-S規(guī)則得出基本相似的結果。隨著相關的沖突水平增加，沖突不被忽略，則可以采用Yager規(guī)則和Inagaki組合規(guī)則。在選擇采用哪個組合運算時，首先要考慮的問題是沖突的程度和關聯(lián)度，以及如何用某一個組合規(guī)則處理這些問題。 [科]

【參考文獻】

[1]Shafer，G..A mathematical theory of evidence Princeton，NJ，Princeton University Press，1976.

[2]Dempster，A.P.Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping.The Annals of Statistics，1967，28：25-339.

[3]Yager， R.On the Dempster-Shafer Framework and New Combination Rules. Information Sciences 41，1987：93-137.

[4]Inagaki，T.Interdependence between Safety-Control Policy and Multiple-Sensor Schemes via Dempster-Shafer Theory.IEEE Transactions on Reliability 40（2），1991：182-188.