柯 磊， 楊黨強(qiáng)， 袁艷紅

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理研究所， 上海 201306)

0 引 言

導(dǎo)熱系數(shù)是表征物質(zhì)熱傳導(dǎo)性質(zhì)的物理量，材料的導(dǎo)熱系數(shù)與材料的組分和結(jié)構(gòu)有關(guān)，通常需要采用實(shí)驗(yàn)的方法精確確定[1-4]。穩(wěn)態(tài)法測(cè)量不良導(dǎo)體的導(dǎo)熱系數(shù)的目的是讓學(xué)生應(yīng)用穩(wěn)態(tài)法進(jìn)行導(dǎo)熱系數(shù)的測(cè)量，同時(shí)學(xué)習(xí)用物體的散熱速率求傳導(dǎo)速率的實(shí)驗(yàn)方法[5-8]。但我們?cè)诮┠甑膶?shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中，出現(xiàn)了一系列誤操作行為，導(dǎo)致測(cè)量的導(dǎo)熱系數(shù)產(chǎn)生較大偏差。本文模擬實(shí)驗(yàn)中一些常見(jiàn)的誤操作，并對(duì)大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)的比較，分析引起導(dǎo)熱系數(shù)出現(xiàn)偏差的主要因素，為實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供參考。

1 穩(wěn)態(tài)法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)

1898年，Lees首先使用平板法測(cè)量不良導(dǎo)體的導(dǎo)熱系數(shù)。實(shí)驗(yàn)中，樣品制成平板狀，其上端面與一個(gè)穩(wěn)定的均勻發(fā)熱體充分接觸;下端面與一均勻散熱體相接觸。由于平板樣品的側(cè)面積比平板面積小很多，可以認(rèn)為熱量只沿著上下方向垂直傳遞，橫向由側(cè)面散去的熱量可以忽略不計(jì)，即可以認(rèn)為，樣品內(nèi)只有在垂直樣品平面的方向上有溫度梯度，在同一平面內(nèi)，各處的溫度相同[9-10]。

設(shè)穩(wěn)態(tài)時(shí)，樣品上、下平面溫度分別為θ1、θ2，根據(jù)傅里葉傳導(dǎo)方程[11]，在Δt內(nèi)通過(guò)樣品的熱量ΔQ為

(1)

式中：λ為樣品的導(dǎo)熱系數(shù)；h0為樣品的厚度；S為樣品的平面面積；實(shí)驗(yàn)中樣品為圓盤(pán)狀，直徑為D。

圖1為穩(wěn)態(tài)法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)的示意圖，當(dāng)傳熱達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，樣品上下表面的θ1和θ2不變，這時(shí)可以認(rèn)為加熱盤(pán)通過(guò)樣品傳遞的熱流量與散熱盤(pán)向周?chē)h(huán)境的散熱量相等[12]。因此，可以通過(guò)散熱盤(pán)在穩(wěn)定溫度θ2時(shí)的散熱速率來(lái)求出熱流量：

式中:m為散熱盤(pán)的質(zhì)量;c為散熱盤(pán)的比熱容。

圖1 穩(wěn)態(tài)法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)示意圖

在達(dá)到穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，散熱盤(pán)的上表面并未暴露在空氣中，而物體的冷卻速率與它的散熱表面積成正比，故穩(wěn)態(tài)時(shí)散熱盤(pán)散熱速率表達(dá)式應(yīng)作面積修正[13]：

(2)

式中:R為散熱盤(pán)的半徑;h為散熱盤(pán)的厚度。

由式(1)、(2)可得樣品的導(dǎo)熱系數(shù)為

(3)

2 誤操作影響分析

在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生存在實(shí)驗(yàn)誤操作，導(dǎo)致測(cè)量的導(dǎo)熱系數(shù)出現(xiàn)偏差，主要誤操作包括：樣品與加熱、散熱盤(pán)未對(duì)齊；樣品與加熱、散熱盤(pán)接觸過(guò)緊；未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試；未進(jìn)行強(qiáng)迫對(duì)流換熱；熱電偶與加熱、散熱盤(pán)接觸不充分等。本文將模擬上述誤操作，分析穩(wěn)態(tài)法實(shí)驗(yàn)中誤操作對(duì)測(cè)量的導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)值的影響。

2.1 樣品與加熱、散熱盤(pán)未對(duì)齊

學(xué)生操作時(shí)最常見(jiàn)的一類(lèi)誤操作是未將橡皮樣品與加熱、散熱盤(pán)對(duì)齊，通常未對(duì)齊的表面積比例在10%以?xún)?nèi)。分別將橡皮樣品與兩盤(pán)未對(duì)齊比例設(shè)置在5%和10%，并設(shè)置極端比例50%進(jìn)行誤操作對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)如圖2所示。從圖2可見(jiàn)，未對(duì)齊實(shí)驗(yàn)的曲線(xiàn)和參考曲線(xiàn)相比出現(xiàn)了明顯的偏移，在散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度附近的曲率存在一定的偏差。結(jié)合表1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，隨著樣品與兩盤(pán)未對(duì)齊比例的增加，散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度和導(dǎo)熱系數(shù)均逐漸下降；在常見(jiàn)的未對(duì)齊比例10%的實(shí)驗(yàn)中，導(dǎo)熱系數(shù)的百分差為6.7%，偏差較大。

圖2 樣品與加熱、散熱盤(pán)未對(duì)齊對(duì)比實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)

2.2 樣品與加熱、散熱盤(pán)接觸過(guò)緊

為了定量模擬樣品與加熱、散熱盤(pán)接觸過(guò)緊的誤操作，采取在加熱盤(pán)上方添加砝碼的方式。實(shí)驗(yàn)中，添加的砝碼質(zhì)量分別為0.5、1.0、2.0 kg，3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高度一致。僅以2.0 kg的額外壓力為例來(lái)分析樣品與兩盤(pán)接觸過(guò)緊的誤操作，實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)如圖3所示。從圖3可見(jiàn)，壓力實(shí)驗(yàn)的曲線(xiàn)和參考曲線(xiàn)在散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度附近的曲率較一致，表1中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，導(dǎo)熱系數(shù)的百分差為2.2%，偏差較小。這也表明，2 kg以?xún)?nèi)的額外壓力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響不大，樣品的導(dǎo)熱系數(shù)誤差較小。

2.3 未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試

在操作中未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試也是較常見(jiàn)的一類(lèi)誤操作。根據(jù)穩(wěn)態(tài)法的原理，必須得到穩(wěn)定的溫度分布，這就需要較長(zhǎng)的時(shí)間等待。不少學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中缺乏耐心，在散熱盤(pán)的溫度尚未穩(wěn)定便進(jìn)行數(shù)據(jù)的采集和記錄。圖4為未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試實(shí)驗(yàn)的對(duì)比曲線(xiàn)圖，圖中分別模擬了低于穩(wěn)態(tài)溫度1、2、3 ℃的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖中可以看出，雖然未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試的曲線(xiàn)相對(duì)于參考曲線(xiàn)的偏移不是很大，但在散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度附近的曲率有明顯的偏差。結(jié)合表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，隨著散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度的降低，樣品導(dǎo)熱系數(shù)大幅度下降；當(dāng)散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度為44 ℃時(shí)，樣品的導(dǎo)熱系數(shù)降低到0.115 W/(m·K)，降低了35.8%，偏差非常大。

圖3 樣品與加熱、散熱盤(pán)接觸過(guò)緊對(duì)比實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)

模擬誤操作名稱(chēng)θ2/℃Δθ2/℃λ/(W·m-1·K-1)導(dǎo)熱系數(shù)百分差η/%樣品與加熱、散熱盤(pán)未對(duì)齊5%4700．177-1．1樣品與加熱、散熱盤(pán)未對(duì)齊10%45-20．167-6．7樣品與加熱、散熱盤(pán)未對(duì)齊50%38-90．093-48．0施加2kg額外壓力4810．1832．2未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試(θ2=46℃)46-10．163-8．9未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試(θ2=45℃)45-20．158-11．7未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試(θ2=44℃)44-30．115-35．8全程未開(kāi)風(fēng)扇59120．1863．9加熱過(guò)程未開(kāi)風(fēng)扇58110．26648．6熱電偶與加熱、散熱盤(pán)接觸不充分45-20．111-38．0

注：負(fù)值表示低于參考值

未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試，一方面使溫差θ1-θ2增加，另一方面較低的θ2值引起散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)向低溫處偏移，曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2減小，這兩方面都會(huì)導(dǎo)致導(dǎo)熱系數(shù)降低。

圖4 未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試對(duì)比實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)

2.4 未進(jìn)行強(qiáng)迫對(duì)流換熱

在分析未進(jìn)行強(qiáng)迫對(duì)流換熱對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響時(shí)，采取兩種不同的方式進(jìn)行：全程未開(kāi)風(fēng)扇、加熱過(guò)程未開(kāi)風(fēng)扇。這兩種方式分別模擬整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程忘記進(jìn)行強(qiáng)迫對(duì)流換熱，以及實(shí)驗(yàn)過(guò)程中記起后再進(jìn)行強(qiáng)迫對(duì)流換熱的情況，實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)如圖5所示。從圖5可見(jiàn)，兩種方式均對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成了影響，使曲線(xiàn)向高溫方向產(chǎn)生了較大的偏移。從表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出，兩種方式使散熱盤(pán)的穩(wěn)態(tài)溫度值升高了11～12℃，其中全程未開(kāi)風(fēng)扇引起導(dǎo)熱系數(shù)的百分差只有3.9%，而加熱過(guò)程未開(kāi)風(fēng)扇對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響很大，百分差達(dá)到48.6%。

圖5 未進(jìn)行強(qiáng)迫對(duì)流換熱對(duì)比實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)

造成上述偏差的原因同樣可以從溫差θ1-θ2的變化和散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2的變化兩方面來(lái)分析。全程未開(kāi)風(fēng)扇和加熱過(guò)程未開(kāi)風(fēng)扇均會(huì)使散熱盤(pán)的穩(wěn)態(tài)溫度θ2升高，因此溫差θ1-θ2減小，導(dǎo)熱系數(shù)變大。然而，全程未開(kāi)風(fēng)扇的散熱過(guò)程變緩，散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處的曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2減小，導(dǎo)熱系數(shù)變小，縮小了溫差引起的偏差；而加熱過(guò)程未開(kāi)風(fēng)扇的散熱過(guò)程較快，曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2較大，導(dǎo)熱系數(shù)變大，加劇了溫差引起的偏差。

2.5 熱電偶與加熱、散熱盤(pán)接觸不充分

實(shí)驗(yàn)中需在熱電偶上均勻涂抹硅脂[15]，并要求插到加熱、散熱盤(pán)洞孔底部，以保證接觸良好，提高測(cè)試的準(zhǔn)確性。但是不少學(xué)生忽略了這一點(diǎn)，在實(shí)際操作中經(jīng)常出現(xiàn)熱電偶的硅脂涂抹部分裸露在兩盤(pán)洞孔外。將熱電偶搭在兩盤(pán)的邊緣模擬接觸不充分的實(shí)驗(yàn)操作，實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)如圖6所示。從圖6可見(jiàn)，熱電偶接觸不充分曲線(xiàn)和參考曲線(xiàn)位置比較接近，但曲線(xiàn)斜率偏差較大。從表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，散熱盤(pán)的穩(wěn)態(tài)溫度為45℃，但是導(dǎo)熱系數(shù)百分差為38.0%，偏差非常大。熱電偶與兩盤(pán)接觸不充分，導(dǎo)致測(cè)試靈敏度降低，測(cè)得的散熱盤(pán)溫度變化數(shù)據(jù)變緩，曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2減小，計(jì)算出的導(dǎo)熱系數(shù)值偏低。

圖6 熱電偶與加熱、散熱盤(pán)接觸不充分對(duì)比實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)

3 結(jié) 語(yǔ)

上述穩(wěn)態(tài)法測(cè)量導(dǎo)熱系數(shù)的模擬誤操作實(shí)驗(yàn)表明，誤操作影響散熱盤(pán)的穩(wěn)態(tài)溫度和樣品的導(dǎo)熱系數(shù)。其中，樣品與兩盤(pán)未對(duì)齊10%時(shí)，散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度降低2℃，導(dǎo)熱系數(shù)減小6.7%；施加2 kg額外壓力時(shí)，散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度升高1℃，導(dǎo)熱系數(shù)增大2.2%；散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度降低3℃時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)減小35.8%；加熱過(guò)程未開(kāi)風(fēng)扇時(shí)，散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度升高11℃，導(dǎo)熱系數(shù)增大48.6%；熱電偶與兩盤(pán)接觸不充分時(shí)，散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)溫度降低2℃，導(dǎo)熱系數(shù)減小38.7%。實(shí)驗(yàn)中，誤操作對(duì)兩盤(pán)的溫差θ1-θ2和以及散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處的曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2影響較大。在未達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)測(cè)試、熱電偶與兩盤(pán)接觸不充分的誤操作中，散熱盤(pán)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處的曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2大幅減小，導(dǎo)致導(dǎo)熱系數(shù)明顯減??；在加熱過(guò)程未開(kāi)風(fēng)扇的誤操作中，散熱盤(pán)的穩(wěn)態(tài)溫度以及穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處的曲率(Δθ/Δt)|θ=θ2均有大幅增加，導(dǎo)致導(dǎo)熱系數(shù)明顯增大。

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