彭清風(fēng)，王德禹，王紅霞

上海交通大學(xué)海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240

0 引 言

魯棒性，是指目標(biāo)函數(shù)對于解的設(shè)計(jì)參數(shù)或環(huán)境參數(shù)微小變化的不敏感性，即當(dāng)解的設(shè)計(jì)參數(shù)或環(huán)境參數(shù)有較小的變化時(shí)，變化后的點(diǎn)仍屬于可行解，且相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的變化量未超出許可范圍。自1978年日本的田口博士提出魯棒設(shè)計(jì)思想以來，魯棒性設(shè)計(jì)在鋼鐵、汽車和控制等工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)效益。

雖然魯棒性思想已被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，但其在船舶領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用卻并不多。周繼勝和張圣坤［1］將自適應(yīng)步長搜索法與魯棒設(shè)計(jì)相結(jié)合，以客船為研究對象，以甲板縱桁屈曲和中內(nèi)龍骨屈曲失效模式對材料彈性模量與板厚的變異系數(shù)為目標(biāo)函數(shù)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行了魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)；于利磊等［2-3］提出了基于理想點(diǎn)法的雙目標(biāo)魯棒設(shè)計(jì)；程遠(yuǎn)勝等［4-6］針對不確定量，對不符合概率性分布的情況做了大量研究；駱偉等［7］以主甲板處的最小剖面模數(shù)對主甲板的厚度的偏導(dǎo)數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)，對浮式生產(chǎn)儲油船的中橫剖面進(jìn)行了基于魯棒性的優(yōu)化設(shè)計(jì)；Diez 和Peri［8］提出了一種基于不可控變量的散貨船魯棒優(yōu)化的概念設(shè)計(jì)，給出了魯棒設(shè)計(jì)的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，約束采用最壞情況分析法，最后將其與粒子群算法相結(jié)合。

但是，作為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，船體結(jié)構(gòu)特性和載荷響應(yīng)若采用經(jīng)驗(yàn)公式則過于簡單，無法精確考慮結(jié)構(gòu)各部分之間的相互影響和局部特性，因此，有必要采用有限元方法進(jìn)行船體結(jié)構(gòu)分析，精確分析其結(jié)構(gòu)特性和結(jié)構(gòu)響應(yīng)，并將其作為船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)或約束特性值。本文擬將魯棒優(yōu)化的思想與有限元分析相結(jié)合，提出一種基于高精度近似模型的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，利用多目標(biāo)優(yōu)化中的Pareto 思想，將魯棒性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)子目標(biāo)優(yōu)化問題，即優(yōu)化問題的最優(yōu)性和魯棒性。并以一艘多用途船為優(yōu)化對象，選取多用途船的橫剖面尺寸作為離散設(shè)計(jì)變量進(jìn)行魯棒性優(yōu)化，然后將結(jié)果與傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 結(jié)構(gòu)魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)原理

魯棒性優(yōu)化的一般描述如定義1。

定義1：魯棒性優(yōu)化問題。

魯棒性優(yōu)化的目的就是尋找X'，以使式（1）達(dá)到最優(yōu)。式中：X=(x1，x2，x3，…，xn)，為決策向量，其中Ω ∈Rn， Ω為可行空間 ；δ=(δ1，δ2，δ3，…，δn)，為擾動向量，其中n 為決策向量的維數(shù)。

定義2：魯棒最優(yōu)解。

魯棒性優(yōu)化的魯棒最優(yōu)解包含兩方面的含義：魯棒性（Robustness）和最優(yōu)性（Optimality），

因此，魯棒性優(yōu)化問題實(shí)際上是多目標(biāo)優(yōu)化問題。 它可以描述為：

式中：f（X）為解的最優(yōu)性；fR（X）為解的魯棒性；X，XU和XL分別為設(shè)計(jì)變量及其上、下界；gj（X）為m 個(gè)約束中的第j個(gè)約束。

解的魯棒性通常可以采用蒙特卡羅積分在解的附近進(jìn)行抽樣，用樣本的平均值近似表示出魯棒性函數(shù)。具體表示如下［9］：

式中：ξj為第j 個(gè)樣本；N 為樣本的規(guī)模。

在實(shí)際生產(chǎn)中，受各種因素的影響，板厚和梁截面尺寸等結(jié)構(gòu)參數(shù)均呈概率分布，因此對基于魯棒性的船舶結(jié)構(gòu)中剖面結(jié)構(gòu)優(yōu)化而言，決策向量即為結(jié)構(gòu)的縱向板材板厚和梁截面尺寸等結(jié)構(gòu)參數(shù)。而魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)則為在魯棒性最佳與解最優(yōu)之間尋求折中的結(jié)構(gòu)性能函數(shù)，例如，結(jié)構(gòu)重量或在一定載荷下的應(yīng)力等。

2 優(yōu)化算法的基本原理

2.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是一種新的全局優(yōu)化進(jìn)化算法，最早被應(yīng)用到設(shè)計(jì)變量為連續(xù)型的優(yōu)化問題中。其位置和速度更新公式為：

式中：xi為第i 個(gè)粒子的位置；vi為第i 個(gè)粒子的速度；k 為迭代次數(shù)為粒子i 直至第k 次迭代的歷史最優(yōu)位置；pk，g為所有粒子直至第k 次迭代的歷史最優(yōu)位置；w 為慣性權(quán)重；r1，r2為介于［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；c1，c2為學(xué)習(xí)因子。

受工程制造的標(biāo)準(zhǔn)化等方面的限制，船舶的板厚等結(jié)構(gòu)參數(shù)均取離散值，因而中剖面結(jié)構(gòu)優(yōu)化從本質(zhì)上來說就是一種離散變量優(yōu)化問題。對離散設(shè)計(jì)變量優(yōu)化問題而言，其算法需要在每次迭代之后對位置取整［10］，即其速度更新公式與式（5）相同，位置更新公式修改為下式：

2.2 支持向量機(jī)概念

支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）是由Vapnik 等［11-12］首先提出的一種新型機(jī)器學(xué)習(xí)方法。支持向量機(jī)最初應(yīng)用于模式識別工作，后來引入“不敏感損失函數(shù)”，發(fā)展出用于函數(shù)估計(jì)的支持向量回歸（Support Vector Regression）方法。下面，將簡要介紹支持向量回歸方法的基本原理。

給定樣本集D={(xi，yi)|i=1，2，···，l}，其中：xi∈Rn，為n 維輸入樣本；yi∈R，為輸出樣本。支持向量回歸的目的是通過訓(xùn)練樣本，用回歸函數(shù)f(x)=wx+b 擬合輸入樣本與輸出樣本之間的關(guān)系，考慮允許擬合誤差，引入非負(fù)松弛因子ξi和將函數(shù)的擬合問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題：

式中，C 和ε 為控制逼近函數(shù)VC 維的自由參數(shù)。

利用最優(yōu)化方法的對偶原理，可以轉(zhuǎn)換得到對偶形式為：

式中，α 和α*為拉格朗日乘子。

由式（9）和式（10）可以得到支持向量機(jī)擬合函數(shù)為

非線性回歸使用非線性映射，將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間進(jìn)行線性回歸，在高維特征空間用核函數(shù)替代線性問題中的內(nèi)積運(yùn)算，即

最后得到的支持向量機(jī)擬合函數(shù)為

2.3 優(yōu)化過程

將以上方法相結(jié)合，針對設(shè)計(jì)變量均為離散型的特點(diǎn)，本文基于MATLAB 軟件編寫了一種搜索魯棒最優(yōu)解的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。其具體算法如下：

1）初始化粒子群，將初始位置作為每個(gè)粒子的歷史最佳pi。

2）計(jì)算每個(gè)粒子的目標(biāo)函數(shù)值，并將目標(biāo)函數(shù)值作為適應(yīng)度值。本文采用蒙特卡羅積分原理，在每代中每個(gè)粒子的每一維的±5%區(qū)間進(jìn)行均勻取樣，得到100 個(gè)樣本值，利用式（3）構(gòu)造出了每個(gè)粒子的魯棒性函數(shù)fR(X)。

3）篩選粒子群中的非劣解放入精英群中。當(dāng)?shù)螖?shù)小于最大迭代次數(shù)時(shí)：

（1）按照式（5）和式（6）對速度和位置進(jìn)行更新，若某一維超過了邊界，則重新對該維進(jìn)行初始化；

（2）以一定的幾率對當(dāng)前粒子的所有維進(jìn)行變異處理，然后依據(jù)第2）條得出目標(biāo)函數(shù)值及適應(yīng)度值；

（3）篩選本次迭代結(jié)果中的非劣解集，并將其與之前的非劣解集合并；

（4）對合并得到的非劣解集進(jìn)行篩選，得出新的非劣解集；

（5）從非劣解集中挑選出相對較優(yōu)的非劣解放入精英集中。本文中，控制精英集的個(gè)體數(shù)不超過40。

4）從最終的精英集中挑選出符合實(shí)際需要的魯棒性最優(yōu)解。

圖1 所示為粒子群優(yōu)化算法的基本流程。

圖1 粒子群優(yōu)化算法基本流程Fig.1 Basic process of PSO algorithm

3 多功能船的中剖面魯棒性優(yōu)化

3.1 多功能船的主要參數(shù)

本文研究所建立的模型為618TEU 多用途船貨艙區(qū)域的一個(gè)艙段，此多用途船主要裝載集裝箱和礦石等散裝貨物，船總長132.9 m，型寬19.3 m，型深9.9 m，設(shè)計(jì)吃水7.4 m，航速12 kn，共3 個(gè)貨艙區(qū)域。艙段所受載荷及約束均根據(jù)船舶參數(shù)和載貨情況按照《中國船級社散貨船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度直接計(jì)算指南》確定。

圖2 設(shè)計(jì)變量分布圖Fig.2 Distribution of design variables

3.2 設(shè)計(jì)變量

考慮到船體板對船體強(qiáng)度和船體重量的影響較大，同時(shí)船體縱向骨材較多，為簡化問題，本文將主要探究船體板厚尺寸不確定性的影響。取中剖面中板的厚度為設(shè)計(jì)變量，每種板材以其原始厚度為中心，步長為1 mm，取5 種離散厚度作為設(shè)計(jì)變量的取值范圍，板厚設(shè)計(jì)變量共16 個(gè)，而骨材的尺寸和間距則作為已知量。設(shè)計(jì)變量的基本信息如表1 和圖2 所示。

3.3 約束條件

當(dāng)約束條件為板的中面應(yīng)力和梁的軸向力時(shí)，均需小于許用應(yīng)力。依照規(guī)范選取，對板和梁分別按許用應(yīng)力大小進(jìn)行歸類，共得到6 個(gè)約束條件，同時(shí)，控制船體的總重量不得超過設(shè)定的值。令每次有限元計(jì)算所得的應(yīng)力值與許用應(yīng)力值之差為g(X)，與總重量和設(shè)定的總重量的值之差為m(X)，即要求

表1 設(shè)計(jì)變量信息表Tab.1 The information table of design variables

在程序中，對上述違反約束的情況將通過罰函數(shù)的形式表現(xiàn)出來。

3.4 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)前期的分析，得出該艙段的最大應(yīng)力非常大，且非常接近于許用應(yīng)力，而由于生產(chǎn)誤差和腐蝕老化的影響，易導(dǎo)致板厚的尺寸偏離初始設(shè)計(jì)值，板厚尺寸的變化將直接影響艙段的最大應(yīng)力值，甚至有可能會出現(xiàn)最大應(yīng)力值變大超出許用應(yīng)力的情況。為了降低最大應(yīng)力對板厚尺寸變化的敏感性，選擇將最大應(yīng)力值fσ(X)和與其對應(yīng)的魯棒性函數(shù)fR(X)作為多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。即

3.5 支持向量機(jī)近似模型

在求解本次優(yōu)化問題時(shí)，每次迭代都需要進(jìn)行長時(shí)間的有限元分析，以獲得目標(biāo)函數(shù)值和約束特性值。為了提高效率，可以建立結(jié)構(gòu)的近似模型，以代替有限元分析進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了建立支持向量機(jī)近似模型，需要采用有限元分析獲取一定數(shù)目樣本的輸入—輸出關(guān)系。有限元分析由Isight 驅(qū)動MSC.Patran 修改模型，驅(qū)動MSC.Nastran 自動計(jì)算。采用拉丁方法收集2 100 個(gè)樣本點(diǎn)，前2 000 個(gè)樣本用來建立支持向量機(jī)近似模型，后100 個(gè)樣本用于檢驗(yàn)近似模型的精度，計(jì)算檢驗(yàn)樣本有限元分析值與支持向量機(jī)近似值的相對平均誤差（Relative Mean Error，RME）。近似模型的精度分析結(jié)果如表2 所示。

表2 近似模型精度分析Tab.2 Precision analysis of approximation model

從表2 中可以看出，近似模型的精度較高，可為下一步的優(yōu)化提供良好基礎(chǔ)。

3.6 基于魯棒性的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

本次優(yōu)化基于支持向量機(jī)近似模型與多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，設(shè)置迭代次數(shù)為50 次。其中，每代粒子數(shù)目取為50，采用慣性權(quán)重遞減的策略，初始慣性權(quán)重為0.9，最終慣性權(quán)重為0.4，變異的幾率設(shè)為5%。一共得到了40 個(gè)Pareto 最優(yōu)解，Pareto 解用散點(diǎn)表示在圖3 中。通過分析，從以上非劣解前沿曲線中選擇5 組設(shè)計(jì)方案作為魯棒最優(yōu)解，對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)以及設(shè)計(jì)變量的結(jié)果如表3 所示。最后，采用傳統(tǒng)的粒子群優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對船體結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行以船體總重量和最大應(yīng)力為目標(biāo)的單目標(biāo)確定性優(yōu)化，其優(yōu)化結(jié)果亦如表3 所示。其中，Mopt表示以船體總重量為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果，Sopt表示以最大應(yīng)力為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。

由表3 中的各優(yōu)化方案可以看出，經(jīng)過魯棒性優(yōu)化設(shè)計(jì)后，中橫剖面的魯棒性能變得更好，艙段的最大應(yīng)力對設(shè)計(jì)變量的敏感性均有較大程度的降低，特別是方案5 的魯棒性得到了極大的提高，同時(shí)，各個(gè)方案的最大應(yīng)力相對于初始設(shè)計(jì)值也有所減小。另外，值得注意的是，經(jīng)過以上5 種優(yōu)化設(shè)計(jì)方案優(yōu)化后，得到的船體總重量相對于初始設(shè)計(jì)的船體總重量也有少許的減小。然后，通過評估傳統(tǒng)單目標(biāo)優(yōu)化方法得出的優(yōu)化結(jié)果可以知道，和前面的5 種設(shè)計(jì)方案相比，船體中剖面的魯棒性變得較差，艙段的最大應(yīng)力對設(shè)計(jì)變量很敏感，容易發(fā)生最大應(yīng)力超出許用應(yīng)力的情況?？傮w而言，以上5 種方案的優(yōu)化效果均較明顯，達(dá)到了優(yōu)化目的。

圖3 Pareto 解集圖Fig.3 Pareto solution sets

表3 優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results

4 結(jié) 論

1）本文將有限元分析與魯棒性思想相結(jié)合，以有限元分析得出的結(jié)構(gòu)響應(yīng)值為基礎(chǔ)，采用支持向量機(jī)的方法建立了高精度的近似模型。利用近似模型，得出魯棒性優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)值或約束特性值。同時(shí)，通過采用蒙特卡羅積分模擬魯棒性指標(biāo)函數(shù)，采用編寫的粒子群多目標(biāo)優(yōu)化算法完成對船舶中橫剖面的魯棒性優(yōu)化，得到了滿意的魯棒解，說明此方法可行。

2）常規(guī)優(yōu)化解多處于可行域的邊界上，或者不具有足夠的魯棒性，設(shè)計(jì)變量發(fā)生微小的波動，目標(biāo)函數(shù)即會發(fā)生變化，其優(yōu)化解有可能不在可行域中，而變?yōu)榉强尚薪狻Ｒ虼?，傳統(tǒng)的優(yōu)化中需要考慮設(shè)計(jì)方案的魯棒性問題。

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