王佳偉， 楊亞非， 錢玉恒

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 飛行器控制實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

扭轉(zhuǎn)振動簡稱扭振，是一種常見的機(jī)械振動物理現(xiàn)象，當(dāng)彈性體繞其縱軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，就會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動。扭振大多見于電力系統(tǒng)的汽輪發(fā)電機(jī)組[1-4]、汽車發(fā)動機(jī)的曲軸系[5-8]、軋鋼機(jī)的傳動機(jī)組[9-11]，以及石化行業(yè)的煙機(jī)等應(yīng)用場合。

Model205a型扭轉(zhuǎn)振動裝置是由世界知名的教學(xué)設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)美國ECP公司生產(chǎn)制造的，已經(jīng)在世界上500所大學(xué)中推廣應(yīng)用，其功能和性能都明顯優(yōu)于國內(nèi)單位使用或設(shè)計(jì)的扭振實(shí)驗(yàn)臺[12-14]。該裝置可以模擬單自由度、雙自由度和三自由度系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動特性，分析激勵頻率對系統(tǒng)固有頻率的影響，即分析扭振裝置的頻率響應(yīng)。該裝置的另外主要功能在于，它是一個數(shù)字控制的閉環(huán)控制系統(tǒng)，機(jī)械部分是一個真實(shí)的控制對象，控制器則通過計(jì)算機(jī)來進(jìn)行設(shè)計(jì)，整體相當(dāng)于一個半實(shí)物的仿真平臺，可以對其進(jìn)行各種控制器的設(shè)計(jì)和仿真驗(yàn)證。本文將其機(jī)械部分配置成四階的雙自由度的被控對象，通過受力分析推導(dǎo)其等價的數(shù)學(xué)模型，然后將為其設(shè)計(jì)一種LQR控制器，最后將經(jīng)過實(shí)驗(yàn)仿真來驗(yàn)證控制器的作用效果。

1 裝置簡介

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 扭轉(zhuǎn)振動裝置組成

(1) 扭轉(zhuǎn)振動裝置的機(jī)械部。如圖2所示，扭轉(zhuǎn)振動裝置由扭轉(zhuǎn)機(jī)械部分、執(zhí)行器和傳感器構(gòu)成。扭轉(zhuǎn)機(jī)械部分是由底座、框架、扭轉(zhuǎn)軸、圓盤、慣量砝碼等組件構(gòu)成；執(zhí)行器采用了無刷直流伺服電機(jī)；傳感器選用了高分辨率的編碼器。機(jī)械部分的彈性軸垂直懸掛在抗摩擦球形軸承上，用來連接3個圓盤。伺服電機(jī)通過剛性皮帶(僅存在微小拉伸形變)來驅(qū)動底層圓盤和彈性軸，滑輪系統(tǒng)的減速比為3∶1，每個圓盤都配有一個編碼器來測量圓盤的位置。

圖2 扭轉(zhuǎn)振動裝置的機(jī)械部分

(2) M56000系列的DSP控制器板卡和輸入輸出電箱組成的控制系統(tǒng)。如圖3所示，DSP控制器能夠以高采樣率來執(zhí)行控制律，解釋軌跡命令，并支持?jǐn)?shù)據(jù)采集、軌跡生成、系統(tǒng)狀態(tài)及安全檢測等功能。板卡中還包括可以實(shí)現(xiàn)編碼器脈沖解碼邏輯門陣列和2個進(jìn)行實(shí)時模擬信號測量的輔助數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)。控制器的板卡與實(shí)際工業(yè)控制中使用的板卡相同。電箱主要功能是為機(jī)械部提供驅(qū)動電壓，同時接收編碼器的反饋信號，返回到控制器的板卡上，進(jìn)而為執(zhí)行程序提供測試數(shù)據(jù)。

圖3 控制系統(tǒng)部分

(3) 系統(tǒng)執(zhí)行軟件。系統(tǒng)執(zhí)行軟件即應(yīng)用軟件和用戶界面，它支持控制器指定、軌跡定義、數(shù)據(jù)采集、繪圖系統(tǒng)執(zhí)行指令等功能。執(zhí)行軟件支持使用直觀的“類C”語言來編寫控制器算法程序，并且運(yùn)行控制器。內(nèi)置的自動編譯器為執(zhí)行程序代碼的提供有效傳送和運(yùn)行。此外，該執(zhí)行軟件還提供了與其他應(yīng)用軟件的接口，可以與Matlab軟件進(jìn)行連接調(diào)試。執(zhí)行軟件的運(yùn)行窗口如圖4所示。

圖4 執(zhí)行軟件的運(yùn)行窗口

用戶可以編寫執(zhí)行程序中的控制算法，然后將其加載到基于DSP的實(shí)時控制板卡上，DSP在每個指定的采樣周期執(zhí)行此算法，讀取參考輸入和反饋傳感器(光電編碼器)的值，經(jīng)過計(jì)算將數(shù)字控制效果信號輸出到DAC，DAC將數(shù)字流轉(zhuǎn)換為一個模擬電壓，然后通過一個伺服放大器轉(zhuǎn)換為電流，再通過電機(jī)變?yōu)檗D(zhuǎn)矩，電機(jī)根據(jù)設(shè)備動力學(xué)特性將電機(jī)的輸入轉(zhuǎn)變?yōu)樗谕妮敵?。設(shè)備完成指定的動作后，傳感器的測試數(shù)據(jù)通過電箱回傳到執(zhí)行軟件中，用于繪圖和存儲。

2 雙自由度對象的模型推導(dǎo)

實(shí)驗(yàn)裝置可配置為雙自由度的系統(tǒng)，如圖5所示(忽略摩擦)。輸入為轉(zhuǎn)矩T(t)，輸出為第1個圓盤的角度θ1(t)和第2個圓盤的角度θ2(t)，2個圓盤的慣量分別為J1和J2，彈簧的彈性系數(shù)為k1。

對2個圓盤進(jìn)行受力分析及根據(jù)牛頓第二定律得到運(yùn)動方程為：

(1)

對上式兩邊取拉普拉斯變換，并假設(shè)初始條件為零，得到傳遞函數(shù)為：

(2)

用狀態(tài)空間法表示為

(3)

其中：

當(dāng)Y=Xi(i=1,2,3,4),且其余量為零時，ci=1(i=1,2,3,4)。

通過數(shù)學(xué)模型可知，該模型為四階二型的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)可以看成是剛體加一階振蕩模態(tài)組成，可以模擬單輸入單輸出、單輸入多輸出的系統(tǒng)。對于該模型的進(jìn)行控制算法的研究，具有重要的應(yīng)用意義。

3 LQR控制器的設(shè)計(jì)及仿真驗(yàn)證

LQR(Linear Quadratic Regulator)最優(yōu)設(shè)計(jì)指的是設(shè)計(jì)出的狀態(tài)反饋控制器K要使二次型目標(biāo)函數(shù)J達(dá)到最小值，其中K由權(quán)矩陣Q與R唯一決定，因此對于參數(shù)Q和R的選擇十分重要。通過LQR方法，可以得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。對于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這種動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡稱為線性二次型最優(yōu)控制問題或線性二次問題。其最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式以實(shí)現(xiàn)求解過程的規(guī)范化，并可簡單地采用狀態(tài)線性反饋控制律構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)，同時能夠兼顧多項(xiàng)性能指標(biāo)，因此受到控制界學(xué)者的廣泛關(guān)注，并且在一些實(shí)驗(yàn)裝置中獲得了應(yīng)用[15-16]。

針對雙自由度的扭轉(zhuǎn)控制裝置，設(shè)計(jì)LQR控制器來對其進(jìn)行控制，并通過在裝置上的實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證控制律的有效性。

3.1 LQR控制器設(shè)計(jì)

利用式(2)雙自由度對象傳遞函數(shù)可得到LQR控制的閉環(huán)系統(tǒng)頻域結(jié)構(gòu)框圖，見圖6(a)。系統(tǒng)的輸出為第2個圓盤的角度θ2(t)，反饋信號選擇為θ1(t)和θ2(t)，對應(yīng)反饋通道的為2個一階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為k1+k2s和k3+k4s，閉環(huán)回路傳遞函數(shù)為：

(4)

圖6(b)給出了雙自由度對象的全狀態(tài)反饋控制的閉環(huán)時域結(jié)構(gòu)圖，對象使用式(3)給出的狀態(tài)空間模型描述，khw表示裝置的硬件增益，狀態(tài)選擇為圓盤1和2的角度和速度，輸出選擇為θ2(t)，系統(tǒng)為單入單出系統(tǒng)，則輸出矩陣選擇：

(5)

利用全狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)一個LQR控制器，設(shè)計(jì)反饋率：

u=-Kx

(6)

其中：K=[K1K2K3K4]，線性二次型性能指標(biāo)函數(shù)選擇為

(7)

設(shè)計(jì)目標(biāo)是對于給定已知的Q和R，找到能最大限度減小指標(biāo)函數(shù)的控制器K，

K=R-1BTP

(8)

其中，P滿足如下代數(shù)黎卡提方程：

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(9)

通過求解黎卡提方程就可以得到P和K，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)LQR控制。至此，針對雙自由度對象完成了LQR控制器的設(shè)計(jì)。

3.2 LQR控制器參數(shù)計(jì)算

在圖6(b)中，對象狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣A，B由式(3)給出，其中,J1,J2表示圓盤的轉(zhuǎn)動慣量;k1表示彈簧系數(shù)，均為已知參數(shù)，則:

(10)

(11)

根據(jù)式(5)，參數(shù)Q選取為

(12)

這種參數(shù)選擇可以使出現(xiàn)在輸出θ2(t)誤差減小，并且可以降低控制量的損耗。然后設(shè)定6種情況下的控制量權(quán)值R：R=100，10，1.0，0.1，0.01和0.001。

為求解黎卡提方程，使用Matlab軟件中的函數(shù)

[K,P,E]=LQR(A,B,Q,R)

(13)

將參數(shù)A,B,Q,R代入上式，可得出每種情況下的K值以及閉環(huán)極點(diǎn)E，即[A-BK]的特征值。繪制出6種不同情況對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)的圖形。

從所得數(shù)據(jù)中選擇一個最低極點(diǎn)頻率位于2.75～3.25 Hz間的閉環(huán)極點(diǎn)。使用該極點(diǎn)對應(yīng)的K值，要求分量中K1和K3的值不要大于1，K2和K4的值不要大于0.12。得到的符合上述要求的合適的控制器是R=10時的情況，計(jì)算的控制器K為

K=[0.717 0 0.029 4 0.283 0 0.084 7]

3.3 仿真驗(yàn)證

通過系統(tǒng)辨識的實(shí)驗(yàn)，可以確定khw的值。將計(jì)算得到的控制器K參數(shù)輸入到軟件中，得到一個閉環(huán)的控制系統(tǒng)。

仿真步驟：設(shè)置輸入幅值為1 000，持續(xù)時間為2 s，重復(fù)次數(shù)為1的階躍信號；選擇控制器類型為State Feedback，分別輸入控制器K1、K2、K3、K4的參數(shù)，并加載到控制器中，設(shè)置數(shù)據(jù)采集，繪制編碼器1、2和給定位置的數(shù)據(jù)，得到對象的階躍響應(yīng)曲線如圖8所示。由響應(yīng)圖形可知，系統(tǒng)響應(yīng)速度較快，超調(diào)量也比較小，證明所設(shè)計(jì)的LQR控制器具有良好的控制性能。

4 結(jié) 語

本文首先對美國ECP公司的扭轉(zhuǎn)振動裝置的系統(tǒng)組成、性能和所能實(shí)現(xiàn)的功能進(jìn)行概要介紹。然后對于該裝置的一種等效的雙自由度系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)了LQR控制器，并驗(yàn)證了控制器的效果。本實(shí)驗(yàn)加深了對現(xiàn)代控制理論中的控制器設(shè)計(jì)方法的理解，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)更復(fù)雜的控制方法打下基礎(chǔ)。

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