符云錦

一類一階變系數(shù)線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)

符云錦

（鳳凰縣兩林學(xué)區(qū)，湖南鳳凰 416211）

變系數(shù)；微分方程組；解法；通解

解一階變系數(shù)線性非齊次微分方程組

關(guān)鍵是能否求出其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組

的通解。本文基于文獻(xiàn)〔10〕的條件上，給出了一類變系數(shù)線性微分方程組的求解方法。為了說明的方便，先給出一個(gè)定義。

定義設(shè)矩陣A、B為n階方陣，若AB=BA，則稱矩陣A與B可以交換。下面給出2個(gè)引理。

1 引理

引理1 設(shè)n階方陣A、B可以交換，則

其中 f(χ)為可積函數(shù)。

證明:由條件 BA=AB，易得 BA2=A2B，BA3=A3B，BA4=A4B…

根據(jù)指數(shù)矩陣的定義，可有

則有

引理2 設(shè)n階方陣C分別與n階方陣A、B可以交換，則

其中f(χ)、g(χ)為可積函數(shù)。

由引理1，可得

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)Y1、Y2分別是一階線性齊次微分方程組

的通解，且滿足BA=AB，則一階線性齊次微分方程組

的通解為

其中 f(χ)、g(χ)為可積函數(shù)。

證明:

由引理1，易得

所以

定理2 設(shè)n階方陣Y1，Y2，…，Yn分別是一階線性齊次微分方程組

的通解，且滿足A1，A2，…，An可以兩兩交換，則一階線性齊次微分方程組

離子液體是由離子組成的有機(jī)鹽化合物，在室溫下多為流動(dòng)狀態(tài)的液體，對(duì)纖維素等聚合物具有良好的溶解性能。在纖維素向5-HMF的催化轉(zhuǎn)化過程中，離子液體被廣泛采用[12]。

的通解為

證明：

由引理2，易得

所以

根據(jù)定理1和定理2，容易得出下面2個(gè)推論。

推論1 設(shè)Y1、Y2分別是一階變系數(shù)線性齊次微分方程組

的通解，則一階變系數(shù)線性齊次微分方程組

的通解為

其中f(χ)、g(χ)為可積函數(shù)。

推論2 設(shè)n階方陣Y1，Y2，…，Yn分別是一階變系數(shù)線性齊次微分方程組

的通解，且滿足A1，A2，…，An可以兩兩交換，則一階變系數(shù)線性齊次微分方程組

的通解為

〔1〕化存才，趙奎奇，楊慧，等.常微分方程解法與建模應(yīng)用選講〔M〕.北京：科學(xué)出版社，2009：86-116.

〔2〕錢祥征，黃立宏.常微分方程〔M〕.長沙：湖南大學(xué)出版社，2008：73-80.

〔3〕阿布力米提·米吉提.幾類變系數(shù)線性微分方程組的可解型〔J〕.伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（3）：30-33.

〔4〕阿布力米提·米吉提.變系數(shù)齊線性微分方程組的又一類可解型〔J〕.伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（4）：81-83.

〔5〕曹玉平.一階線性變系數(shù)微分方程組的矩陣解法〔J〕.河北理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，27（2）：111-114.

〔6〕韓京苑.函數(shù)矩陣eA（t）與變系數(shù)線性微分方程組初值解的表達(dá)式〔J〕.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，22（2）：20-22.

〔7〕李長江，陳軍，郝慧偉.一類一階變系數(shù)線性微分方程組的通積分〔J〕.科技通報(bào)，2010，26（4）：486-488.

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〔9〕陽凌云，符云錦.一階線性微分方程組的解法新探〔J〕.湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，24（1）：16-19.

（責(zé)任編輯 袁 霞）

The Structure on Solution of a Kind of First-order Variable Coefficient Linear Differential System of Equations

FU Yunjin
（Lianglin School District of Fenghuang，F(xiàn)enghuang,Hunan 416211，China）

Based on the general solution of the first order variable coefficient linear homogeneous differential equations of（f(χ)is an integral function），the solutions of first order variable coefficient linear differential equations are further explored，and the structure theorem of the general solution is provided.

variable coefficients；differential equation systems；solving method；general solution

O175.1

A

1672-2345（2014）06-0004-03

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.002

2013-09-16

符云錦，主要從事初等數(shù)學(xué)、微分方程、分析學(xué)和教育理論及其應(yīng)用研究.