譚璐蕓

（鐵嶺師范高等專科學(xué)校師范學(xué)院，遼寧鐵嶺112000）

DOI：10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.02.006

時(shí)-空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的同倫近似解

譚璐蕓

（鐵嶺師范高等專科學(xué)校師范學(xué)院，遼寧鐵嶺112000）

利用同倫分析方法，研究了具有初值條件的空間二維時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。從問(wèn)題本身考慮，通過(guò)構(gòu)造同倫方程，合理選擇輔助參數(shù)，獲得了在較大范圍內(nèi)收斂的級(jí)數(shù)解析解。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該法在求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的近似解析解方面的有效性和優(yōu)越性。

分?jǐn)?shù)階偏微分方程；同倫分析方法；近似解

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分方程在模擬物理、生物、醫(yī)藥、工程、金融等領(lǐng)域中的非線性現(xiàn)象得到廣泛的應(yīng)用。因此，發(fā)展分?jǐn)?shù)階微分方程的理論并給出相應(yīng)的解法是非常必要的。尤其是分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值方法。目前，分?jǐn)?shù)階微積分方程的近似算法主要有：Adomian分解法［1］、變分迭代法［2］、有限元方法［3］、同倫攝動(dòng)法［4］、譜方法［5］、有限差分方法［6］等等。廖世俊在1992年又提出來(lái)一種尋求非線性問(wèn)題解析近似解的方法，即同倫分析方法［7－9］，該方法的基本思想是通過(guò)構(gòu)造零階形變方程和高階形變方程將一個(gè)非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列線性問(wèn)題來(lái)求解的。同倫分析法有別于傳統(tǒng)攝動(dòng)法，可以克服攝動(dòng)方法依賴于小參數(shù)的局限性，并且該方法提供了有效途徑來(lái)控制和調(diào)節(jié)近似級(jí)數(shù)解的收斂性，應(yīng)用起來(lái)簡(jiǎn)單而有效。因此不僅適用于弱非線性問(wèn)題，同樣適用于強(qiáng)非線性問(wèn)題。許多研究者已經(jīng)成功地運(yùn)用此方法解決了很多非線性問(wèn)題。本文在此基礎(chǔ)上，使用同論分析法求解時(shí)－空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。

1 同倫分析方法的基本思想

給定下面一般形式的方程：

其中，T是一個(gè)線性／非線性算子，u（x，y，t）是一個(gè)關(guān)于x，y和t的未知函數(shù)，x，y和t分別表示空間和時(shí)間上的獨(dú)立變量。由同倫方法的思想，首先構(gòu)造如下零階形變方程：

其中，L是輔助線性算子，該算子具有性質(zhì)：L［u（x，y，t）］＝0當(dāng)且僅當(dāng)u（x，y，t）＝0。

u0（x，y，t）是精確解u（x，y，t）的初始猜測(cè)解，h≠0是一個(gè)輔助參數(shù)。p∈［0，1］是嵌入?yún)?shù)。當(dāng)p＝0及p＝1時(shí)，可得：φ（x，y，t；0）＝u0（x，y，0）＝u

因此，當(dāng)p由0漸變到1時(shí)，φ（x，y，t；p）就從給定的初始解u0（x，y，t）漸變到原方程的解u（x，y，t）。將φ（x，y，t；p）關(guān)于嵌入變量p進(jìn)行泰勒展開(kāi)，有

如果輔助線性算子L，初始猜測(cè)解u0（x，y，t）和輔助參數(shù)h選取合適，當(dāng)p＝1時(shí)，

級(jí)數(shù)（4）收斂。因此，

一定是原方程的解。為了計(jì)算（6）式中的未知項(xiàng)um（x，y，t）。定義向量

如果把方程（2）兩邊對(duì)P求m階偏導(dǎo)，并除以m！，最后再令p＝0，則得到如下的形變方程：

只要將L的逆算子L－1作用到方程（8）的兩端，我們可以利用maple或mathematica符號(hào)計(jì)算軟件計(jì)算出um（x，y，t）。

2 同倫分析方法求解時(shí)－空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

具有初值條件的空間二維時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程：

當(dāng)β＝0，1，2時(shí)Weyl分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)化成如下形式：

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例1 考慮如下初值分?jǐn)?shù)階方程：

其中，－∞＜x，y＜∞，t＞0，f（x，y）∈L1（－∞，∞）

我們選取線性算子L如下：

另一個(gè)算子T定義如下：

首先構(gòu)造零階形變方程：（1－p）L［φ（x，y，t；p）－u0（x，y，t）］＝phT［φ（x，y，t；p）］，（19）

當(dāng)p＝0和p＝1時(shí)，可得φ（x，y，t；0）＝f（x，y）及φ（x，y，t；1）＝u（x，y，t）。

針對(duì)實(shí)際工業(yè)過(guò)程中普遍存在的非線性對(duì)象。本文介紹了基于多模型的DMC策略，仿真結(jié)果表明采用基于遞推貝葉斯概率加權(quán)算法的多模型DMC算法能夠較好的適應(yīng)非線性系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性，動(dòng)態(tài)品質(zhì)明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的控制方式。同時(shí)將搭載算法的PLC成功地應(yīng)用到物理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，算法的實(shí)際可行性也為進(jìn)一步應(yīng)用工業(yè)到現(xiàn)場(chǎng)提供了借鑒。

其中，Rm［u→m－1（x，y，t）］＝［um－1（x，y，t）］－［um－1（x，y，t）］－［um－1（x，y，t）］。

用線性算子L的逆算子作用到（20），可得

因f（x，y）∈L1（－∞，∞）所以其二維的Fourier表示，如下：

進(jìn)一步由（21）可得以下結(jié)果：

當(dāng)h＝－1時(shí)，有

上式就是方程（16）的解析解。

例2 考慮如下方程：

如例1的分析，可構(gòu)造如下高階形變方程：

進(jìn)一步可得如下結(jié)果：u0（x，y，t）＝sin（πx）cos（πy），

于是方程的解可表示為：

例2的結(jié)果如下：當(dāng)α和β取不同數(shù)值，在x＝0.25，y＝0.25，t＝0.2時(shí)，u（x，y，t）對(duì)應(yīng)的5－階近似h曲線（如圖1）。輔助參數(shù)h的區(qū)域可以通過(guò)h曲線來(lái)確定，圖1中h在－1到0的水平區(qū)域可以保證解的收斂。通過(guò)合理選擇輔助參數(shù)h值來(lái)調(diào)節(jié)得到的級(jí)數(shù)解的收斂速度。圖2給出了當(dāng)α＝0.99，β＝1.99，不同h時(shí)，方程（26）所對(duì)應(yīng)的5－階近似解以及極限情況下得到的整數(shù)階問(wèn)題的精確解u1，2。由圖2可以看出，在h＝－0.8時(shí)，解的近似程度最好。當(dāng)t＝0.2，－2≤x≤2及－2≤y≤2時(shí)，圖3給出了α＝0.99，β＝1.99及h＝－0.8時(shí)例2的5－階近似解。

圖1 給定α和β時(shí)，u（0.25，0.25，0.2）的5－階近似h曲線

圖2 α＝0.99，β＝1.99，不同h所對(duì)應(yīng)的u（0.25，0.25，t）的5－階近似解

圖3 α＝0.99，β＝1.99及h＝－0.8時(shí)，例2在t＝0.2處的5－階近似解

4 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用同倫分析法研究了時(shí)－空分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程。首先根據(jù)初始條件合理確定基函數(shù)，再依據(jù)廖世俊教授提出的同倫分析方法的三條原則，選擇理想的輔助算子以及輔助函數(shù)等，然后構(gòu)造零階形變方程和高階形變方程，最后通過(guò)計(jì)算，得到方程的近似解析解。數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了同倫分析方法在求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程收斂解析解方面的優(yōu)越性，進(jìn)一步拓展了同倫分析法的應(yīng)用范圍。

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［責(zé)任編輯 賀小林］

Approximate Solutions of Time－Space Fractional Diffusion Equation By Homotopy Analysis M ethod

TAN Lu-yun
（Teachers College，Tieling Normal College，Tieling 112000，China）

The homotopy analysismethod is applied to study the two－dimensional time－space fractional diffusion equation with initial conditions.By constructing homotopy equation and by a reasonable choice of auxiliary parameters，the analytical solutions of a wide range of convergent series are obtained.Numerical results show that this method is effective and superior in solving partial differential equations of fractional.

time－space fractional diffusion equation；Homotopy perturbation method；approximate solutions solution

O175.29

A

1004－602X（2014）02－0006－04

2014 01 15

譚璐蕓（1966—）女，遼寧鐵嶺人，鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校副教授。