豐 祥， 萬旺根

1.上海大學通信與信息工程學院，上海200444

2.上海大學智慧城市研究院，上海200444

信號處理的依據是奈奎斯特采樣定理，即如果要精確地重構原始信號，必須使用大于信號最高頻率兩倍的頻率進行信號采樣，這就導致信號采樣過程中產生大量冗余數據，而最終只有部分重要的信息被應用.文獻[1]在可壓縮信號的稀疏分解與信號恢復基礎上提出了壓縮感知理論框架，隨后該理論迅速發(fā)展，為解決瓶頸問題提供了理論基礎.在此基礎上，Candes等人正式提出了壓縮感知這一術語.此后，人們在稀疏表示的稀疏性[2]與不相干性、壓縮采樣的穩(wěn)健性、感知測量等[3]方面開展了許多研究工作，并將壓縮感知作為測量技術應用于天文學、核磁共振、模式識別等領域，取得了較好的研究成果[4].

壓縮感知理論是對經典信號處理領域的補充和完善，引起了眾多學者和組織機構的關注，其應用領域包含圖像處理與重建、數據融合和醫(yī)學信號檢測等.文獻[5]研究了壓縮感知稀疏表示算法；文獻[6-7]詳細探討了壓縮感知理論中約束等距性（restricted isometry property,RIP）矩陣的構造問題；文獻[8]研究了壓縮感知理論在探地雷達三維成像中的應用；文獻[9]探索了感知測量矩陣在實際應用中的設計問題；文獻[10-11]將壓縮感知理論用于解決醫(yī)學圖像重建和圖像去噪等問題.

文獻[12]提出了基于多觀測向量和稀疏貝葉斯學習的重建算法，并將壓縮感知理論用于圖像重建，但沒有考慮圖像分塊和稀疏表示方法對圖像重建的影響.文獻[13]基于多種稀疏變換基和觀測矩陣研究圖像重建，但沒有考慮圖像分塊和采樣率對圖像稀疏重建的影響.本文分析比較了離散余弦變換和離散小波變換兩種稀疏表示算法，通過調節(jié)分塊大小和采樣率大小對標準測試圖像進行重建實驗，并在運行時間、重構誤差和視覺效果方面綜合比較兩種算法對稀疏重構效果和效率的影響，指出了各自算法的優(yōu)缺點，分析了分塊大小和采樣率大小對圖像重建效果的影響.

1 壓縮感知的研究內容

壓縮感知理論采用低于奈奎斯特采樣定理要求的頻率采樣、編碼和重構，適用于更廣泛的信號類型.該理論主要涉及稀疏變換、觀測測量和恢復重建3個基本核心問題[14]，其流程圖見圖1.壓縮感知要求原始信號為可壓縮信號，即首先可以通過稀疏變換把原始信號轉化為稀疏信號，然后使用觀測矩陣對稀疏變換進行觀測測量，得到低維的觀測信號，經傳輸和存儲等過程后，根據恢復重建算法將觀測信號重構出原始信號.

稀疏變換是在假設自然信號可以被壓縮表示時對多維數據進行線性分解的一種表示方法，它具有過完備性和稀疏性兩個基本特征.過完備性表示字典的行數大于列數，稀疏性表示信號非零元數目足夠少.本文針對離散余弦變換和離散小波變換這兩種稀疏變換進行研究.觀測測量指的是：對信號的線性投影采用一個與稀疏變換矩陣不相關的測量矩陣得到感知測量值，以確保精確地重構原始信號.測量矩陣應滿足非相干性和限制等容性兩個基本原則.常用的隨機性測量矩陣包括隨機高斯測量矩陣、隨機伯努利矩陣、部分正交矩陣、稀疏隨機矩陣等，本文則采用正交歸一化的隨機高斯矩陣進行觀測測量.信號重構算法是指用壓縮測量的低維數據精確地重構高維的原始信號或圖像，即利用M維測量值重建N維信號（M遠小于N）的過程.信號重構是壓縮感知研究中最重要而關鍵的部分.目前主流的重構算法分為3類：基于最小l范數的凸優(yōu)化算法、貪婪算法、非凸優(yōu)化算法，其中貪婪算法在保證重建精度的同時具有較快的重建速度，于是本文采用貪婪算法中的正交匹配追蹤算法進行恢復重建.

圖1 壓縮感知理論流程圖Figure 1 Flowchart of compressed sensing theory

2 圖像的稀疏表示與恢復重建

為了對圖像信號進行稀疏表示，應先把信號變換到稀疏域.本文在圖像稀疏表示階段采用離散余弦變換和離散傅里葉變換進行對比性研究，在圖像恢復重建階段采用正交匹配追蹤算法進行重建.

2.1 圖像的稀疏表示

2.1.1 離散小波變換

若ψ(t)∈ L2(R)，（L2(R)為ψ(t)的矢量 空間，R為實數集），a0＞1為擴張步長，ψj,k(t)=則定義一維信號x(t)的離散小波變換（DWT變換）為

當a0=2且τ0=1時，所有的采樣點所形成的圖形被稱為二進網格，此類離散小波變換被稱為二進小波變換.它只選擇部分縮放因子和平移參數進行離散小波變換，大大減少了分析的數據量.

假設一幅圖像大小為N×N，該圖像可以用長度為N的二維方陣X進行表示，w w表示長度為N的一維離散小波變換所對應的正交規(guī)范化變換矩陣，則矩陣X的二維離散小波變換為

該變換可以分解為以下兩步來執(zhí)行：1）對矩陣X的每一行數據序列進行一維離散小波變換Xi=X·w w′；2）對變換后矩陣Xi的每一列進行離散一維小波小波Xo=ww·Xi.Xo往往是稀疏的，它屬于稀疏矩陣；X屬于可壓縮信號.在實際過程中，為了提高稀疏重構效率，通常將整體圖像分成若干個大小為Nb×Nb的小塊進行處理，每一分塊在水平方向和垂直方向的索引號分別為x和y，對應的正交小波變換為=w w·Xx,y·w w′.記M為測量數據量大小，η=M/N0.測量矩陣取為行正交規(guī)范化的隨機高斯矩陣R，各個分塊的測量值為Y=R·Xx,yo，采用正交匹配追蹤法求得重構值^Xx,yo，經過小波逆變換計算出圖像域的數據值=ww··w w′，最后根據分塊的順序合成整體圖像并進行顯示.

圖像經過DWT變換后得到低頻部分系數和高頻部分系數，低頻部分系數通常具有非稀疏性，而高頻部分系數具有良好的稀疏性.如果低頻部分系數與高頻部分系數都作為原始信號進行感知測量，往往會導致重構圖像質量嚴重下降[15].尺度越小分辨率越高，則高頻成分越多，小波分解的尺度對重構結果具有重要的影響.

2.1.2 離散余弦變換

離散余弦變換將數據線性地變換到頻域，并用一系列系數來表示數據，其優(yōu)點是可以把原始數據的能量集中在少數低頻成分，因為原始數據的相關性越強，能量越集中.離散余弦變換（discrete Cosine transform,DCT）常用于圖像數據的壓縮，經過DCT變換后的數據能量非常集中，主要集中于離散余弦變換后的直流部分和低頻部分.

對于N×N的二維圖像信號f(x,y),0≤x,y≤N-1，其二維離散余弦變換的正變換公式為

2018年9月10日習總書記在全國教育大會上強調：“教師是人類靈魂的工程師，是人類文明的傳承者，承載著傳播知識、傳播思想、傳播真理，塑造靈魂、塑造生命、塑造新人的時代重任”。由此可見，高校輔導員肩負著立德樹人的神圣使命，只有謹記教育之初心，率先垂范，為人師表，立德、立言、立行，不斷提高自身學識修養(yǎng)，才能做好學生健康成長的人生導師。筆者認為，高校輔導員具體可以從如下四個方面著手努力：

相應的二維DCT變換的反變換公式為

式（3）和（4）中的系數為

2.2 信號的恢復重建

正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit,OMP）重構算法的原理如下[16]：以貪婪迭代的方法選擇恢復矩陣R的列，使得每次迭代中所選擇的列與當前的殘差向量最大程度地相關，再從測量向量中減去相關部分，反復迭代直到迭代次數達到稀疏度K時停止迭代.該算法的輸入參數為恢復矩陣R、測量向量y、稀疏度K，輸出參數為原始信號x的K稀疏逼近^x.算法的主要步驟如下：

步驟1 初始化殘差r0=y，索引集Λ0=?，迭代次數t=1，循環(huán)執(zhí)行步驟2～5.

步驟2 找出殘差r和感知矩陣的列φj積中最大值所對應的角標λt，即λt=argmaxj=1,···,N|〈rt-1,φj〉|，記錄最大值所對應的列向量.

步驟3 更新索引集Λt=Λt-1∪{λt}，記錄找到的感知矩陣中的重構原子集合Φt=[Φt-1,φλt].

步驟5 判斷迭代次數是否滿足t＞K，若滿足，則停止迭代并跳轉到步驟6；若不滿足，則執(zhí)行步驟2.

步驟6 將最終的^x值作為稀疏重構向量.

3 實驗仿真與分析

3.1 實驗說明

本文采用大小為N×N(N=512)的灰度圖像Lena、Cameraman和Peppers作為標準測試圖像，圖像分塊時的分塊邊長Nb取值為32、64、128，采樣率η取值為0.3、0.4、0.5.本文將比較DCT變換和DWT變換在圖像稀疏表示時的性能，采用正交歸一化的隨機高斯測量矩陣進行感知測量，根據正交匹配追蹤算法進行圖像信號的恢復重建，以時間消耗t和重建誤差σ表征不同分塊大小Nb和采樣率η條件下的重建效率和性能.其中，時間消耗包含信號分解、感知測量和信號重建整個過程中所花的時間.令Xerror為整體重建圖像與整體原始圖像X之間各個像素差值的平方和，則重建誤差為

所有實驗均在MATLAB R2011b環(huán)境下完成，計算機的CPU性能參數為i5-2400 3.10 GHz，內存大小為2.00 GB.

3.2 實驗仿真比較與數據分析

當改變采樣率和分塊大小時，記錄時間消耗和重建誤差，采用DCT變換和DWT變換得到的實驗數據如表1和2所示.由表1和2可以發(fā)現，無論是采用DCT變換還是采用DWT變換，都滿足以下結論：在分塊大小固定的條件下，時間消耗隨著采樣率的提高而增加，而重建誤差隨著采樣率的提高而降低；在采樣率固定的條件下，運行時間隨著分塊大小的增加而增加，而重建誤差隨著分塊大小的增加而降低.本文以Lena圖像和DCT變換為例，在不同采樣率和分塊大小時分別比較重建誤差和時間消耗，結果如圖2所示.在實際應用中，往往難以同時獲得最短的時間消耗和最小的重建誤差，這就需要根據實際需求合理地選擇分塊大小和采樣率，以實現最佳的重建效果.

表1 采用DCT變換時的重建性能Table 1 Reconstruction performance using DCT transform

表2 采用DWT變換時的重建性能Table 2 Reconstruction performance using DWT transform

對比表1和2的重建誤差和時間消耗數據容易發(fā)現：在相同的分塊大小和采樣率條件下，對相同的標準圖像進行測試，采用DCT變換時重建誤差和時間消耗都比采用DWT變換時小，采用CT稀疏表示在圖像重建方面往往表現出更優(yōu)的性能.圖3為原始標準的測試圖像，圖4表示在Nb=128,η=0.5時分別采用DCT變換和DWT變換時所對應的測試圖像重建效果圖.對比圖3和4可以發(fā)現，采用DWT變換時的重建圖像往往大部分區(qū)域較清晰，而在小部分區(qū)域會出現明顯的局部帶狀條紋；采用DCT變換重建圖像的整體清晰度比采用DCT變換時重建圖像的整體清晰度較差，但不會出現明顯的帶狀條紋.

圖2 以Lena圖像和DCT變換為例，重建誤差和時間消耗比較圖Figure 2 Comparison of reconstruction error and time consuming with Lena image and DCT for example

分析表1、表2、圖3、圖4可知，采樣率的適當選取與測量信號的稀疏程度密切相關，而對于非稀疏信號，較低的采樣率則會嚴重影響重建圖像的質量.相比于DWT變換，DCT變換因不受小波分解尺度的影響而在圖像的稀疏化表達方面表現得更加穩(wěn)定.本文采用sym8作為小波基，保持小波分解尺度不變，并且可以調整分塊大小，此時分塊大小越小，重構圖像質量則越差.在采樣率為0.5、分塊大小為128的情況下，小波分解尺度對稀疏度的影響相對較小，采用DWT變換時的重建誤差與采用DCT時的重建誤差相比差異也較??；而當分塊大小減小或采樣率下降時，采用DWT變換時的重建效果則明顯降低.

圖3 原始標準測試圖像Figure 3 Original standard test images

圖4 分別為使用DCT變換和DWT變換時的稀疏重建圖像Figure 4 Reconstructed images using DCT transform and DWT transform respectively

4 結論

本文將壓縮感知理論應用于圖像的稀疏重建，在圖像的感知測量和恢復重建過程中分別采用了正交歸一化的隨機高斯矩陣和正交匹配追蹤算法，在圖像的稀疏表示過程中采用DCT變換和DWT變換，并在不同的分塊大小和采樣率條件下，根據時間消耗和重建誤差兩個性能參數對各自的性能進行了綜合比較.在分塊大小固定的條件下，時間消耗隨著采樣率的提高而增加，而重建誤差隨著采樣率的提高而降低；在采樣率固定的條件下，運行時間隨著分塊大小的增加而增加，而重建誤差隨著分塊大小的增加而降低，在圖像的稀疏表示與重建方面，DCT變換整體上比DWT變換表現出相對更優(yōu)的性能.在實際應用中需根據對重建圖像的要求，結合分塊大小和采樣率等關鍵因素對重建性能的影響，合理地選擇分塊大小和采樣率，以實現整體最優(yōu)的重建效果.下一步我們將針對不同的圖像進行自適應分塊，希望在時間消耗和重建質量等方面取得更好的效果.

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