楊瑞偉，殷躍強，李東光，2，楊登紅

(1. 北京理工大學 機電學院，北京100081;2. 北京理工大學 機電動態(tài)控制重點實驗室，北京100081)

0 引言

子母彈是以毀傷面目標為主的常規(guī)彈藥，具有瞬時火力密集、覆蓋面積廣、毀傷效能大等特點，主要用于攻擊坦克群、裝甲戰(zhàn)車群、部隊集結地、機場跑道等大面積目標。然而在母彈實際飛行過程中，由于受到發(fā)射初始彈道諸元誤差、氣象條件誤差等的干擾，使得母彈飛行的彈道會偏離預定的理想彈道，如果仍然采用定時開艙，將導致子彈藥的落點散布中心出現(xiàn)偏差，從而降低了子母彈的毀傷效能。因此，提高子彈藥落點散布精度成為了子母彈研究的重點問題之一。本文針對旋轉穩(wěn)定子母彈建立子彈藥的全彈道模型，對母彈彈道軌跡上預定開艙點之前的某位置處彈道諸元實際值與理論值的誤差造成的子彈藥落點精度影響進行仿真分析，提出了一種基于修正開艙點的開艙控制方法，以達到提高子彈藥落點精度的目的。

1 全彈道模型的建立

母彈外彈道模型采用文獻［1］的旋轉穩(wěn)定彈6 自由度的剛體彈道模型，拋撒方式則采用燃氣推動活塞拋撒子彈藥后拋的方式［2］，在母彈到達開艙點后，利用燃氣的推力將子彈藥從母彈尾部逐層推出，并借助母彈高旋轉產(chǎn)生的離心力作用讓子彈分散。

設子彈在母彈中的排列為nl層，每層有ns個子彈，圍繞中間的圓柱形支桿成環(huán)形緊密相接排布。如圖1 所示。

圖1 子彈藥在母彈中的排布Fig.1 Configuration of submunitions in shrapnel

由于在拋撒過程中，子彈只能相對母彈彈體沿彈軸方向滑動。因此在彈軸坐標系中對子彈運動狀況進行分析，在母彈彈軸方向子彈藥運動方程為

式中:mk為第k 層所有子彈的質(zhì)量;Fg，e為重力Fg沿母彈彈軸方向分力;Fp，e為火藥推力Fp沿母彈彈軸方向分力;GM，e為子彈所愛的慣性力GM沿母彈彈軸方向分力;Rg為子彈受重力作用產(chǎn)生的摩擦力;Rs為母彈體內(nèi)所有子彈在離心慣性力作用下產(chǎn)生的軸向摩擦力;第i 層第j 顆子彈藥在離心慣性力作用下產(chǎn)生的軸向摩擦力;S 為母彈橫截面積;p 為火藥氣體產(chǎn)生的壓強。

該內(nèi)彈道模型充分考慮了子彈藥在母彈內(nèi)部運動時主要的受力情況，并且能將每一層子彈藥在出母彈彈體時沿母彈軸向的速度分離出來，較為準確地反映了母彈拋撒時的真實情況。

統(tǒng)一以地面坐標系為參考坐標系。其中母彈的速度vm由文獻［1］中母彈彈道運動方程解算得出。子彈的拋射速度vs始終沿彈體向后，即在彈軸坐標系內(nèi)

將該速度向地面坐標系轉換得到vs［3］.

對于第j 層、第i 個子彈來說，由母彈旋轉引起的子彈切向速度voτ在彈軸坐標系內(nèi)為

式中:vt為該時刻母彈旋轉的切向速度值，由母彈彈道方程求解得出;ε1為隨機值。

將以上各個速度向地面坐標系中投影，最終得到子彈拋撒時的速度矢量為

通過該模型可以精確得到每一發(fā)子彈藥在離開母彈彈體時的速度大小和方向，這樣便可以對所有子彈藥的落點進行仿真計算，得到子彈藥群的落點分布情況。

2 子彈藥落點精度分析

取文獻［3］中旋轉穩(wěn)定子母彈的一組初始諸元值(母彈出炮口時的飛行速度v0=685.3 m/s，轉速n0=175.48 r/s，初始射角為θ0=45°，子彈藥在母彈內(nèi)共有6 層，每層7 發(fā))作為理想值，母彈飛行過程氣象條件為標準條件，開艙點為母彈彈道下降段離地面高度為2 000 m 的位置，此時的子彈藥落點散布為理想散布情況(見圖2 中的圓圈點)。

圖2 母彈拋撒子彈藥落點散布圖Fig.2 Spread of submunitions dispersed from shrapnel

若設這些子彈藥落點的坐標值分別為(x1，z1)、(x2，z2)、…、(xn，zn)，則任意一個點(pn，qn)，它與所有子彈藥落點坐標值的距離sn［4-5］為

sn為一系列數(shù)的集合，若其中存在一個最小值sm，則將其對應的坐標系中的點P0作為子彈藥落點散布的中心位置。P0(x)為該位置x 軸方向坐標值，P0(z)為該位置z 軸方向坐標值。如無特殊說明，下文所提到的子彈藥落點散布中心位置皆為該方法確定的點。

然而實際發(fā)射中，子彈藥出母彈炮口時的初速、射角的實際值與理想值相比存在正態(tài)隨機誤差值。加上氣象實際條件與標準條件之間的誤差，使得每一發(fā)母彈在飛行過程中任意時刻的彈道諸元實際值與該時刻理想值都不相同。如果仍取原來的開艙點，則子彈藥落點散布會偏離理想情況。

在上述理想初始諸元值的基礎上給初始速度與射角分別加上正態(tài)分布的誤差值，取4 組初始發(fā)射數(shù)據(jù)，其實際子彈藥落點散布見圖2 中的三角點。仿真結果圖能看出子彈藥落點的散布受誤差影響較大。因此，為提高子彈藥散布精度需要對開艙點進行修正。

在本文的研究方法中，設母彈彈道下降段2 000 m高度對應的開艙點為預定開艙點，選取母彈彈道的下降段4 000 m 高度(未到達開艙高度)處彈道諸元實際值(包括x 軸方向速度vx、y 軸方向速度vy、z 軸方向速度vz、x 軸方向位置x 以及z 軸方向位置z)與理論值的誤差，分析諸元誤差對子彈藥落點精度的影響，并依據(jù)該誤差值對開艙點進行修正。

給文獻［3］中的理想發(fā)射初始值分別加上滿足各自正態(tài)隨機誤差值變化范圍的最大誤差值以及2 m/s 的橫風、縱風值，得到母彈在下降段4 000 m處實際彈道諸元值的變化范圍如表1.

表1 4 000 m 高度對應的彈道諸元理想值和實際值范圍Tab.1 The ideal and practical value ranges of trajectory data at 4 000 m height

2.1 x 軸方向速度誤差對子彈藥落點精度分析

根據(jù)表1 的各諸元值變化范圍，利用控制變量法對各參數(shù)進行分析。取4 000 m 高度處理想彈道諸元值，將x 軸方向速度值加入微小擾動值，得出的子彈藥落點位置如表2.

由表2 可以看出，x 軸速度越大，子彈藥落點的x 軸均值也越大，每1%的速度誤差造成的子彈藥落點誤差范圍在20 ～28 m 左右。z 軸落點值也有明顯的變化，每1%的速度誤差造成的子彈藥落點誤差范圍在10 ～20 m 之間。

表2 不同x 軸速度下子彈藥在x、z 軸落點均值比較Tab.2 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes at different x-axis velocities

2.2 y 軸方向速度誤差對子彈藥落點精度分析

y 軸方向速度加上擾動誤差后的子彈藥落點位置如表3. 由表中看出每1%的速度誤差使子彈藥x軸方向落點偏差約為7 ～12.5 m 左右，而對z 軸均值偏差約為2 ～4.5 m 左右?？梢妝 軸速度對子彈藥落點的影響比較小。

表3 不同y 軸速度下子彈藥在x、z 軸落點均值比較Tab.3 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes at different y-axis velocities

2.3 z 軸方向速度誤差對子彈藥落點精度分析

由表4 可知，每0.5 m/s 的初始z 軸速度偏差使子彈藥的x 軸落點偏離在3 m 以內(nèi)，即1%的速度誤差造成的子彈藥落點誤差范圍是1.5 m 左右。同時每1%的速度變化帶來的z 軸位置偏差1.2 m 左右。比x、y 軸誤差帶來的影響比重要小。

表4 不同z 軸速度下子彈藥在x、z 軸落點均值比較Tab.4 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes at different z-axis velocities

2.4 x 軸方向位置誤差對子彈藥落點精度分析

表5 反映了不同x 軸位置下子彈藥落點位置坐標。由表格數(shù)據(jù)計算得出每1%的x 軸方向位置偏差產(chǎn)生的子彈藥落點x 軸均值偏差約為100 m 左右，而z 軸均值偏差約為75 m 左右。可見該因素是修正的主要因素之一。

表5 不同x 軸位置下子彈藥在x、z 軸落點均值比較Tab.5 Comparison of impact points of submunitions in x and y axes in different x-axis positions

2.5 z 軸方向位置誤差對子彈藥落點精度分析

z 軸方向位置加上誤差后的子彈藥落點位置如表6. 由表中看出每1%的z 軸位置誤差使子彈藥x軸方向落點偏差在40 m 左右，而對z 軸方向落點偏差約為20 m 左右。由此可見該誤差因素也是對子彈藥落點精度產(chǎn)生重要影響的因素之一。

表6 不同z 軸位置下子彈藥在x、z 軸落點均值比較Tab.6 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes in different z-axis positions

3 開艙點修正量算法

對于確定的子母彈系統(tǒng)而言，子彈藥落點中心位置P0只與母彈飛行過程中的某位置處(本文取母彈下降段飛行高度為4 000 m 處)彈道諸元(速度諸元vx、vy、vz，位置諸元x、z)以及開艙點(因為母彈在下降段開艙點位置與所在高度值一一對應，因此本文將修正開艙點位置轉化為修正開艙高度)有關。當4 000 m 處理想彈道諸元(vx0、vy0、vz0、x0、z0)確定時，子彈落點中心位置便與理想開艙高度h0對應，它們的函數(shù)關系［6-8］為

在實際子母彈發(fā)射過程中，由于初始發(fā)射誤差、風速等誤差因素的存在，使得每一發(fā)子母彈在4 000 m高度處彈道諸元實際值與理想值并不相同。若P1為實際子彈藥落點中心位置，那么存在一個開艙高度差值Δh，使得修正后的P1離預定落點位置最近。即

式中:vx、vy、vz、x、z 為實際4 000 m 高度處母彈彈道諸元。

由于預定落點位置對應的母彈飛行下降段4 000 m 高度彈道諸元值是固定的，所以(7)式中的開艙高度的差值只與4 000 m 處彈道諸元值相關，即有

將(8)式在理想彈道諸元值附近按泰勒公式展開得［9］

(9)式中c0值為0，表示當所有彈道諸元值都為理想值時，不用修正開艙高度。由(9)式可知，只需要分別求出每一個母彈下降段4 000 m 處彈道諸元值與理論值的誤差值對開艙點修正量的大小，再將這些修正函數(shù)相加即可得到總的修正量。修正函數(shù)的系數(shù)可由大量的仿真數(shù)據(jù)擬合所得。

仍以第2 節(jié)提到的子母彈理想發(fā)射初始條件對應的4 000 m 高度處理想彈道諸元值(詳細數(shù)值見表1)為例，在保持其他諸元誤差值不變的情況下，對x 軸方向坐標值x=14 894.4 m 加上誤差值，通過仿真找到對應落點偏差量最小的開艙高度，得到的結果如表7.

表7 x 軸位置誤差對應的最佳開艙高度Tab.7 The best dispersing altitudes corresponding to different x-axis positions

由開艙高度修正值Δh 與其對應的x 軸方向坐標偏差值Δx，利用函數(shù)擬合得到對應的函數(shù)關系為

擬合結果如圖3.

圖3 P0(x)偏差值與高度修正值擬合圖Fig.3 Fitting chart of corrected altitude values and x-axis deviation values

保持其他彈道諸元值不變，z 軸位置z = -848 m加上誤差值，仿真得到的結果如表8.

表8 z 軸位置誤差對應的最佳開艙高度Tab.8 The best dispersing altitudes corresponding to different z-axis positions

由開艙高度修正值與其對應的z 軸方向坐標偏差值，利用函數(shù)擬合得到對應的函數(shù)關系為

擬合結果如圖4.

圖4 P0(z)偏差值與高度修正值函數(shù)擬合圖Fig.4 Fitting chart of corrected attitude values and Z-axis deviation values

用同樣的方法分別求得4 000 m 高度處x、y、z軸方向上速度大小誤差值與修正高度的關系，分別為

將(10)式～(14)式簡單相加，得到所求的修正公式

此外在修正過程中，還需要考慮到子彈藥散布情況，散布范圍過大或者過小都會降低子彈藥的毀傷效率，因此對應的修正后開艙點也應該有個最大最小的范圍。以本文為例，對于(15)式需要加上條件限制［10-11］

式中:Δhmax、Δhmin值視具體需要的子彈藥散布效果而定;Δh 為最終的開艙點修正量。

為驗證修正方案的準確性，以第2 節(jié)的理想發(fā)射初始諸元為例，給初始速度和射角分別加上合理的服從正態(tài)分布的誤差值正態(tài)隨機變量，并在母彈飛行過程中加上合理的風速隨機變化值，利用(15)式的修正方法，對7 發(fā)子母彈的開艙點進行修正，得到的未修正前子彈藥散布中心位置分布與修正后子彈藥散布中心位置分布見圖5.

圖5 修正前后子彈藥落點散布圖Fig.5 Distribution diagram of center positions of submunitions impact points before and after correction

圖中三角點表示未修正的子彈藥散布位置，圓圈點表示修正后的子彈藥散布位置。由仿真結果計算可得未修正的子彈藥落點的橫向密集度為縱向密集度為修正后的子彈藥落點的橫向密集度為縱向密集度為則修正后橫向密集度提高的百分比為

縱向密集度提高的百分比為

4 結論

本文通過對子母彈飛行過程的動力學分析，建立了從母彈飛行到開艙拋撒子彈藥再到子彈藥飛行的全彈道模型，并采用該模型對子彈藥落點進行了仿真分析。通過母彈彈道開艙點前某位置處諸元誤差值對子彈藥落點精度影響的分析，得出了各個諸元差值對子彈藥落點精度的影響情況，并提出了一種高旋轉子母彈的自適應開艙方案，通過實例仿真計算得出了適用于該類子母彈的高度修正公式。結果表明修正后的橫向密集度提高了26.3%，縱向密集度提高了53.8%.

References)

［1］楊啟仁. 子母彈飛行動力學［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，1999.YANG Qi-ren. Flight dynamics of cluster munition［M］. Beijing:National Defense Industry Press，1999. (in Chinese)

［2］譚大成，袁曾鳳. 子母彈拋撒技術及其內(nèi)彈道計算［J］. 北京理工大學學報，2000，9(3):273 -277.TAN Da-cheng，YUAN Ceng-feng. Cluster warhead dispering technique and its interior ballistic calculation［J］. Transactions of Beijing Institute of Technology，2000，9(3):273 -277. (in Chinese)

［3］Khalil M，Abdalla H，Kamal O. Dispersion analysis for spinning artillery projectile［C］∥13th International Conference on Aerospace Sciences and Aviation Technology. Egypt:Military Technical College，2009:ASAT-13.

［4］楊世榮，李小強，王才宏. 子母彈子彈落點模擬計算方法［J］.火力與指揮控制，2008，33(4):87 -89.YANG Shi-rong，LI Xiao-qiang，WANG Cai-hong. Calculation method about placement simulation of submunitions dispersed from cluster munition［J］. Fire Control and Command Control，2008，33(4):87 -89. (in Chinese)

［5］趙水平，楊瑞偉，李東光，等. 子母彈自適應開艙引信控制系統(tǒng)設計［J］.電子測量技術，2013，36(8):28 -32.ZHAO Shui-ping，YANG Rui-wei，LI Dong-guang，et al. Design of cluster bomb self-adaptive breaking out fuze control system［J］. Electronic Measurement Technology，2013，36(8):28 - 32. (in Chinese)

［6］王兆勝. 子母彈開艙高度的高低散布研究［J］.火炮發(fā)射與控制學報，2012(2):21 -24.WANG Zhao-sheng. Research on vertical dispersion of opening height of carrier projectile［J］.Journal of Gun Launch ＆ Control，2012(2):21 -24. (in Chinese)

［7］游寧，馬寶華. 火炮子母彈拋撒段子彈運動規(guī)律初探［J］.兵工學報，1997，18(4):302 -307.YOU Ning，MA Bao-hua. Motion low of submunitions during dispersal time of cluster munition［J］. Acta Armamentarii，1997，18(4):302 -307. (in Chinese)

［8］楊正輝，李臣明，王曉鳴. 子母彈拋撒精度仿真分析［J］. 系統(tǒng)仿真學報，2009，21(9):2482 -2484.YANG Zheng-hui，LI Chen-ming，WANG Xiao-ming. Analysis andsimulation on cast precision of rocket with sub-warheads［J］.Journal of System Simution，2009，21(9):2482-2484. (in Chinese)

［9］Verma V，Somani B.Accurate computation of ballistic trajectory using least square approximation with Crout’s method［C］∥International Advance Computing Conference. Patiala:IEEE，2009:305 -310.

［10］王兆勝，劉志強，劉全文. 子母彈射擊精度的仿真研究［J］.火力與指揮控制，2007，32(3):76 -78.WANG Zhao-sheng，LIU Zhi-qiang，LIU Quan-wen. Simulationstudy on firing accuracy of cargo-projectile［J］. Fire Control and Command Control，2007，32(3):76 -78. (in Chinese)

［11］唐克，崔衛(wèi)兵，王存威，等. 基于Matlab 的影響子母彈拋撒精度的因素研究［J］.指揮控制與仿真，2010(2):59 -61.TANG Ke，CUI Wei-bing，WANG Cun-wei，et al. Research on thefactor of influencing shrapnel spreading precision based on Matlab［J］. Command Control and Simulation，2010(2):59 -61. (in Chinese)