李佳桐+張春熹+張指揮+薛龍生+徐雪潔

摘 要： 為了減小動(dòng)態(tài)環(huán)境下光纖陀螺信號(hào)的隨機(jī)誤差，采取振動(dòng)試驗(yàn)對(duì)光纖陀螺的動(dòng)態(tài)誤差進(jìn)行激發(fā)，通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的Allan方差分析，得到了振動(dòng)過程中光纖陀螺信號(hào)隨機(jī)誤差的變化特性。采用基于AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對(duì)光纖陀螺信號(hào)進(jìn)行消噪處理，分析結(jié)果顯示上述兩種方法都能夠有效地消除振動(dòng)基座下FOG信號(hào)的隨機(jī)誤差，并且小波濾波方法要優(yōu)于Kalman濾波方法。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)基座； Allan方差分析； Kalman濾波； 小波濾波； 消噪

中圖分類號(hào)： TN911?34； U666.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）04?0156?03

Contrast and study on de?noising methods for FOG signals under condition of vibrating base

LI Jia?tong1， ZHANG Chun?xi1， ZHANG Zhi?hui2， XUE Long?sheng3， XU Xue?jie3

（1. school of Instrument Science and Optoelectronics Engineering， Beijing University of Aeronautics and Astronautics， Beijing 100083， China；

2. Unit 61135 of PLA， Beijing 102211， China； 3. Unit 95801 of PLA， Beijing 100076， China）

Abstract： In order to reduce the random error of FOG signal in dynamic environment， a vibration test was done to arouse the dynamic error of FOG. The change characteristics of random error of FOG signal in vibration process was got by means of the Allan variance analysis of the test data. Kalman filtering method based on the AR（2） model and wavelet filtering method were used to execute the de?noising of the FOG signal. The analysis results show that both of the methods can eliminate the random error of the FOG signal under the condition of vibrating base effectively and the wavelet filtering method is better than Kalman filtering method.

Keywords： vibrating base； Allan variance analysis； Kalman filtering； wavelet filtering； de?noising

光纖陀螺FOG（Fiber Optic Gyroscope）具有其他陀螺無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，在航空、航天、航海、機(jī)器人控制、石油鉆井等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。FOG的誤差包括確定性誤差和隨機(jī)誤差[2?3]。確定性誤差可通過轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定進(jìn)行精確補(bǔ)償，因此，無法精確補(bǔ)償?shù)碾S機(jī)誤差就成為了影響儀表精度的主要因素。對(duì)于FOG信號(hào)進(jìn)行濾波處理可以明顯地減小隨機(jī)誤差，常用的濾波主要方法有Kalman濾波方法和小波濾波方法。

1 Allan方差分析法

1.1 Allan方差分析法原理

Allan方差分析是由美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局的David Allan提出的數(shù)據(jù)處理方法，國(guó)際上研制光纖陀螺的單位大多沿用了這一數(shù)據(jù)處理技術(shù)[4?5]。Allan方差分析法是測(cè)量和評(píng)價(jià)光纖陀螺儀各類誤差和噪聲特性的一種重要手段[6]，其突出特點(diǎn)是能夠細(xì)辨識(shí)和表征FOG信號(hào)的噪聲源和噪聲統(tǒng)計(jì)特性，并有效地分離出噪聲源的噪聲系數(shù)。設(shè)有N個(gè)采樣時(shí)間為[τ0]的數(shù)據(jù)，建立時(shí)間為[τ0]，[2τ0]，…，[nτ0k

[θ（t）=Ω（t′）dt′] （1）

使用離散時(shí)間段[t=kτ0，k=1，2，???，N]作為角度測(cè)量，其表達(dá)式可以表述為[Θk=Θ（kτ0）]。用[Ωk（τ）=θk+m-θkττ=mτ0]來表示時(shí)間[tk]和[tk+τ]間的平均速率，則Allan方差可以定義為如下形式：

[σ2（τ）=12（Ωk+m-Ωk）2=12τ2（θk+2m-2θk+m+θk）2] （2）

并可以按照式（3）進(jìn)行估算：

[σ2（τ）=12τ2（N-2m）k=1N-2m（θk+2m-2θk+m+θk）2] （3）

如果FOG信號(hào)各個(gè)噪聲源的統(tǒng)計(jì)特性獨(dú)立，則各個(gè)誤差的平方和即為Allan方差，因此可以將Allan方差表示為式（4）的形式[8]：

[σ2τ=σ2Nτ+σ2Bτ+σ2Kτ+σ2Rτ+ σ2Qτ+σ2Mτ+σ2Sτ+...] （4）

對(duì)FOG信號(hào)的隨機(jī)誤差進(jìn)行分離計(jì)算，就能夠獲得游走系數(shù)N、零偏穩(wěn)定性系數(shù)B、速率隨機(jī)游走系數(shù)K、斜坡速率R和量化噪聲Q這五項(xiàng)主要的隨機(jī)誤差。

1.2 FOG信號(hào)的Allan方差分析

將FOG固定在振動(dòng)臺(tái)上，采集靜止數(shù)據(jù)900 s，隨后啟動(dòng)設(shè)備，開始振動(dòng)，做加速度為1 g，掃頻為5～200 Hz的振動(dòng)，采集振動(dòng)數(shù)據(jù)900 s，采樣時(shí)間為10 ms。靜基座和振動(dòng)基座下FOG的輸出信號(hào)分別如圖1和圖2所示。

圖1 靜態(tài)條件下FOG輸出信號(hào)

圖2 振動(dòng)條件下FOG輸出信號(hào)

Allan方差對(duì)上述的兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析結(jié)果如表1所示。由表1分析可知，振動(dòng)基座會(huì)導(dǎo)致FOG信號(hào)隨機(jī)誤差的數(shù)值大幅增加。

2 基于ARMA模型的Kalman濾波方法

2.1 FOG信號(hào)的建模

對(duì)FOG信號(hào)隨機(jī)誤差的建立通常使用使用時(shí)間序列法，它可以準(zhǔn)確地描述FOG信號(hào)隨機(jī)誤差的過程變化，常用的模型有AR模型和ARMA模型兩種。建模的過程如下：

（1） 辨識(shí)數(shù)據(jù)。應(yīng)用時(shí)間序列建模，要求待建模的數(shù)據(jù)必須是正態(tài)、平穩(wěn)和零均值序列，如果數(shù)據(jù)沒有沒達(dá)到要求，必須進(jìn)行相應(yīng)處理才可以使用時(shí)間序列法對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模。

（2） 估計(jì)參數(shù)。對(duì)于辨識(shí)后達(dá)到建模要求的數(shù)據(jù)建模，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。在實(shí)際建模工作中，通常模型的階次都不會(huì)超過2到3階，因此需要選擇模型一般就只有AR（1）、AR（2）、AR（3）、ARMA（1，1）、ARMA（2，1）五種。

（3） 適用檢驗(yàn)。使用檢驗(yàn)準(zhǔn)則對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果來選擇合適的模型，常用的檢驗(yàn)準(zhǔn)則有：AIC準(zhǔn)則、殘差平方和檢驗(yàn)等。

表1 FOG信號(hào)隨機(jī)誤差項(xiàng)數(shù)值比較

本文使用AIC準(zhǔn)則對(duì)建立的振動(dòng)基座下FOG信號(hào)隨機(jī)誤差的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 FOG隨機(jī)噪聲各模型參數(shù)及AIC值

比較分析后可知， AR（2）模型的AIC值最小，因此AR（2）模型可以作為合適的數(shù)學(xué)模型。

2.2 FOG信號(hào)的Kalman濾波

為了達(dá)到減小振動(dòng)基座下FOG信號(hào)隨機(jī)誤差的目的，使用已經(jīng)確立的AR（2）模型對(duì)FOG信號(hào)進(jìn)行Kalman濾波。狀態(tài)方程如式（5）所示：

[Xk=AXk-1+BWk] （5）

式中：[A=-1.645 30.917 910]；[Xk=xkxk-1]；[Wk=αk0]；[B=1000]。

設(shè)[Zk]為FOG信號(hào)的量測(cè)量，式（6）為量測(cè)方程：

[Zk=HXk+Vk] （6）

式中，[H=10]；[Vk]為量測(cè)誤差。

對(duì)于上述系統(tǒng)方程，式（7）為離散卡爾曼濾波方程：

[Xk，k-1=AXk-1Pk，k-1=APk-1ATk-1+BQBTPk=I-KkHPk，k-1Xk=Xk，k-1+KkZk-HXk，k-1Kk=Pk，k-1HTHPk，k-1H+R-1] （7）

其中，選取測(cè)量值初值作為狀態(tài)量初值， FOG零偏穩(wěn)定性的平方作為量測(cè)噪聲方差。

濾波后的FOG振動(dòng)信號(hào)如圖3所示。

圖3 Kalman濾波后的FOG輸出信號(hào)

3 小波濾波方法

小波濾波方法能夠在輸出信號(hào)中提取有用信號(hào)，并去掉干擾信號(hào)。閾值去噪法、波變換模極大值去噪法和空域相關(guān)去噪法是三種比較常用的小波濾波方法，其中的閾值去噪法以去噪效果良好，算法簡(jiǎn)單且計(jì)算量小的特點(diǎn)得到廣泛的應(yīng)用。本文使用閾值去噪法的FOG的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行濾波消噪處理，步驟如下：

（1） 信號(hào)分解。為減少信號(hào)損失，本文選擇Daubechies小波對(duì)FOG振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波分解；

（2） 閾值確定。采取VisuShink閾值選取準(zhǔn)則：計(jì)算公式為[λ=σ2lnN]，式中[σ]為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，N為信號(hào)的長(zhǎng)度。對(duì)于大于[λ]的系數(shù)保留下來，而小于[λ]的系數(shù)設(shè)置為零。

（3） 小波重構(gòu)。以小波分解的各高頻系數(shù)和最低層次的低頻系數(shù)為依據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。

為滿足對(duì)慣組采樣數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)處理，采用遞推滑動(dòng)窗的小波變換快速算法[9?10]。設(shè)FOG的采樣值為[xi]，當(dāng)[i2j0]時(shí)，[ai=xi，i=1，2，…，k]。初始階段選取較小的[j0]，當(dāng)[xi]取到[i=2j0+1]時(shí)，濾波的窗口寬度為[2j0+1]，對(duì)窗口寬度進(jìn)行更新，處理輸出數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度增加到[k=27=128]時(shí)，固定窗口寬度。

當(dāng)[k2j0]時(shí)，有：

[ai=xk-L+i， i=1，2，…，Lxk+L+i， i=L+1，L+2，…，2L] （8）

周期延拓?cái)?shù)據(jù)序列，就可以得到長(zhǎng)度為[2j0+1]的數(shù)據(jù)序列。對(duì)[ai]進(jìn)行Mallat分析，選取Daubechies小波，小波基選取db4，得到各個(gè)小波層的分解系數(shù)，選擇合適的閾值，濾波尺度選取為5，然后使用相同的小波基和分解尺度對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，最后把重構(gòu)后的數(shù)據(jù)[sk]作為[k=2j0]時(shí)刻的輸出值，在[k=2j0+1]時(shí)刻，取得最新得到的[2j0]個(gè)采樣值，延拓對(duì)稱周期，進(jìn)行去噪處理，將[sk+1]作為[2j0+1]時(shí)刻的輸出，依次類推實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)窗口的實(shí)時(shí)濾波。小波濾波后的FOG輸出信號(hào)如圖4所示。

圖4 小波濾波后的FOG輸出信號(hào)

4 FOG濾波后數(shù)據(jù)的比較分析

對(duì)濾波前和兩種方法濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較，結(jié)果如表3所示。

表3 濾波前后慣組信號(hào)均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較

Allan方差分析兩種方法濾波后數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示。

表4 Kalman濾波和小波濾波FOG信號(hào)隨機(jī)誤差系數(shù)比較

由圖3和圖4比較可知，兩種濾波方法都能夠有效減小FOG信號(hào)的噪聲，小波濾波方法對(duì)于噪聲減小的幅度更為明顯；由表3對(duì)比分析可知，濾波前后的FOG信號(hào)的均值基本沒有改變，濾波后的FOG信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差有明顯的減小，小波濾波后FOG信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度更大；由表4對(duì)比分析可知，兩種濾波方法都能明顯降低振動(dòng)條件下FOG信號(hào)的各隨機(jī)誤差數(shù)值，且小波濾波效果更為明顯。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文分別使用基于時(shí)間序列AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對(duì)振動(dòng)基座下FOG信號(hào)進(jìn)行濾波消噪，對(duì)濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值、標(biāo)準(zhǔn)差和Allan方差分析，分析可知，Kalman濾波方法和小波濾波方法都能夠明顯減小振動(dòng)基座下FOG信號(hào)的噪聲，小波濾波方法的消噪效果要明顯優(yōu)于Kalman濾波方法的消噪效果。

參考文獻(xiàn)

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對(duì)濾波前和兩種方法濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較，結(jié)果如表3所示。

表3 濾波前后慣組信號(hào)均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較

Allan方差分析兩種方法濾波后數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示。

表4 Kalman濾波和小波濾波FOG信號(hào)隨機(jī)誤差系數(shù)比較

由圖3和圖4比較可知，兩種濾波方法都能夠有效減小FOG信號(hào)的噪聲，小波濾波方法對(duì)于噪聲減小的幅度更為明顯；由表3對(duì)比分析可知，濾波前后的FOG信號(hào)的均值基本沒有改變，濾波后的FOG信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差有明顯的減小，小波濾波后FOG信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度更大；由表4對(duì)比分析可知，兩種濾波方法都能明顯降低振動(dòng)條件下FOG信號(hào)的各隨機(jī)誤差數(shù)值，且小波濾波效果更為明顯。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文分別使用基于時(shí)間序列AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對(duì)振動(dòng)基座下FOG信號(hào)進(jìn)行濾波消噪，對(duì)濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值、標(biāo)準(zhǔn)差和Allan方差分析，分析可知，Kalman濾波方法和小波濾波方法都能夠明顯減小振動(dòng)基座下FOG信號(hào)的噪聲，小波濾波方法的消噪效果要明顯優(yōu)于Kalman濾波方法的消噪效果。

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對(duì)濾波前和兩種方法濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較，結(jié)果如表3所示。

表3 濾波前后慣組信號(hào)均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較

Allan方差分析兩種方法濾波后數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示。

表4 Kalman濾波和小波濾波FOG信號(hào)隨機(jī)誤差系數(shù)比較

由圖3和圖4比較可知，兩種濾波方法都能夠有效減小FOG信號(hào)的噪聲，小波濾波方法對(duì)于噪聲減小的幅度更為明顯；由表3對(duì)比分析可知，濾波前后的FOG信號(hào)的均值基本沒有改變，濾波后的FOG信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差有明顯的減小，小波濾波后FOG信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度更大；由表4對(duì)比分析可知，兩種濾波方法都能明顯降低振動(dòng)條件下FOG信號(hào)的各隨機(jī)誤差數(shù)值，且小波濾波效果更為明顯。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文分別使用基于時(shí)間序列AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對(duì)振動(dòng)基座下FOG信號(hào)進(jìn)行濾波消噪，對(duì)濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值、標(biāo)準(zhǔn)差和Allan方差分析，分析可知，Kalman濾波方法和小波濾波方法都能夠明顯減小振動(dòng)基座下FOG信號(hào)的噪聲，小波濾波方法的消噪效果要明顯優(yōu)于Kalman濾波方法的消噪效果。

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