陳昌富，曹 虹，王純子，吳燕泉

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

下臥傾斜硬層對非均布荷載下地基沉降的影響＊

陳昌富?，曹 虹，王純子，吳燕泉

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

從沉降計(jì)算的彈性理論出發(fā)，結(jié)合有限元數(shù)值分析，以地基表面到下臥硬層的深度與基礎(chǔ)寬度之比（深寬比）和下臥硬層傾斜角（假設(shè)硬層傾向在所取分析截面內(nèi)）為變量，探討了下臥傾斜硬層對非均布荷載下地基沉降的影響。以數(shù)值計(jì)算結(jié)果為根據(jù)，得到不同形式荷載作用下的沉降（差）影響系數(shù)，并繪出圖表以輔助工程實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)就計(jì)算參數(shù)對沉降的影響、最大沉降點(diǎn)位置隨深寬比和傾斜角的變化而偏移的現(xiàn)象進(jìn)行了參數(shù)分析。最后，給出具體應(yīng)用示例，驗(yàn)證了該方法的可行性.

沉降；地基；淺基礎(chǔ)；下臥傾斜硬層

彈性地基上基礎(chǔ)梁、板的沉降（撓度）計(jì)算是土木建筑和水利工程中一個(gè)重要而又復(fù)雜的課題［1］.對于地基模型的選擇，應(yīng)用最為廣泛的是文克爾（Winkle）地基.文克爾假設(shè)使彈性地基上結(jié)構(gòu)物的計(jì)算大為簡化，因而在實(shí)際工程中常被使用［2］.但是文克爾假設(shè)本身沒有反映地基變形的連續(xù)性，因而不能全面反映彈性地基與結(jié)構(gòu)物的相關(guān)作用.

前蘇聯(lián)學(xué)者普羅克托爾于1919年提出半無限彈性體理論，假設(shè)地基是半無限彈性體，應(yīng)用彈性理論計(jì)算地基沉降，他選擇地基沉降為位置函數(shù)，求解了短梁受集中荷載問題［3］.錢令希等［4］學(xué)者提出取反力函數(shù)為冪級(jí)數(shù)、取反力為高次冪多項(xiàng)式求解基礎(chǔ)板.應(yīng)該指出，采用半無限彈性體假設(shè)，地基必須是很厚的土層，即要求土層的厚度遠(yuǎn)大于基礎(chǔ)梁的長度，這時(shí)地基才能看作半無限大.但即使對于土層很厚的地基，從國內(nèi)外的實(shí)測資料可以看出，地基沉降主要是由于地表面以下有限深度范圍內(nèi)的土壤變形所引起的.

根據(jù)上述事實(shí)，以及存在的成層地基的實(shí)際情況，引出了有限深彈性層地基上基礎(chǔ)梁、板的計(jì)算問題.對于平面問題，20世紀(jì)60年代初期，前蘇聯(lián)學(xué)者薩馬林由舍赫切爾公式出發(fā)求出了有限深彈性層上基礎(chǔ)梁解答［3］；90年代，我國徐漢忠［5］用ψ函數(shù)推導(dǎo)得到了有限深彈性層表面的位移公式.對于空間問題，郭爾布諾夫－伯沙道夫計(jì)算了中厚度地基表面矩形面積上作用均布荷載時(shí)的沉降系數(shù)［3］.需要著重指出的是，上述沉降公式都是假定有限彈性層與剛性下臥層之間光滑接觸，即假定剛性下臥層與彈性層之間只傳遞正應(yīng)力，不傳遞剪應(yīng)力.而這一假定并不符合一般天然地基的實(shí)際情況，實(shí)際的彈性層與剛性下臥層之間應(yīng)當(dāng)是趨近于完全黏合情況.

對此，趙光恒和張子明［3，6］分別導(dǎo)出了平面、空間問題情況下，彈性層與剛性層完全黏合的地基模型的沉降公式，并且編制出便于設(shè)計(jì)應(yīng)用的表格.在此基礎(chǔ)上，丁大鈞［7］從壓力分布角的概念出發(fā)，提出了彈性地基沉降的近似統(tǒng)一計(jì)算方法.Mayne和Poulos［8］通過近似方程和圖表說明了水平不可壓縮邊界、基礎(chǔ)的尺寸、形狀、剛性以及土體的均勻性和泊松比對地基沉降的影響.

上述沉降分析都是建立在剛性下臥層水平的假定上.而工程實(shí)際中，土層下方的不可壓縮層（基巖或硬土層），通常都有一定的傾斜角（如圖1所示），地面上不同點(diǎn)到下部硬層的深度H（即壓縮層厚度）是不同的.顯然，壓縮層厚度的差異會(huì)導(dǎo)致沉降差，而硬層傾斜對沉降的影響并不是很清楚.因此，有必要對下臥傾斜硬層的地基沉降進(jìn)行深入研究.

為此，Han等［9］用有限差分軟件FLAC2D探討了柔性均布荷載作用下基巖傾斜對淺基礎(chǔ)沉降的影響，并給出了基巖傾斜時(shí)的沉降影響系數(shù)圖.但Han等的分析只針對均布荷載作用的情況，而工程實(shí)際中可能存在各種不同形式的荷載.

圖1 下臥傾斜硬層地基示意圖Fig.1 Illustration of foundation with inclined bedrock

因此，本文以彈性理論為計(jì)算模型，結(jié)合有限元分析軟件ANSYS［10］，來探討不同柔性荷載（包括梯形分布荷載、三角形分布荷載及均布荷載）作用下，下臥硬層傾斜對淺基礎(chǔ)沉降的影響.為了便于工程運(yùn)用，本文繪出了下臥硬層傾斜時(shí)基礎(chǔ)中心o及邊緣兩點(diǎn)（a和b）的沉降（差）影響系數(shù)圖，并對計(jì)算參數(shù)對沉降的影響、沉降最大點(diǎn)的位置因下臥硬層傾斜而偏離基礎(chǔ)中點(diǎn)的情況進(jìn)行了參數(shù)分析.最后，給出一個(gè)計(jì)算實(shí)例來說明相關(guān)圖表的應(yīng)用.

1 計(jì)算模型的建立

圖2 局部柔性荷載下的地面沉降計(jì)算Fig.2 Calculation of subface settlement under local flexible load

眾多學(xué)者的研究證明，壓縮層厚度及下臥硬層傾斜都會(huì)對沉降產(chǎn)生影響，但理論推導(dǎo)中還無法得到具體計(jì)算式.常用的幾種沉降計(jì)算方法中，彈性力學(xué)法是基礎(chǔ)方法；分層總和法基于彈性力學(xué)法，將有限壓縮深度、土層參數(shù)等因素考慮進(jìn)去；建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范推薦方法則是在分層總和法基礎(chǔ)上增加了修正系數(shù).3種方法的計(jì)算結(jié)果相差不是很大.經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，彈性力學(xué)法能更好地反映下部硬層及其與土體接觸邊界對沉降的影響，因此，本文以彈性力學(xué)方法作為理論基礎(chǔ)進(jìn)行相關(guān)研究.

結(jié)合式（15），并考慮到硬層傾斜的影響，可得到計(jì)算沉降影響系數(shù)ωα的表達(dá)式：

式中：ωα為沉降影響系數(shù)，依基礎(chǔ)剛度、底面形狀、荷載作用形式、深寬比、硬層傾角及計(jì)算點(diǎn)位置而定.文中將根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果繪出硬層傾斜時(shí)不同荷載作用下沉降（差）影響系數(shù)圖以便于工程應(yīng)用.

對于地基不均勻沉降，則采用a，b和o三點(diǎn)中的沉降最大值減去沉降最小值得到.即用中心處（o點(diǎn)）的沉降減去邊緣點(diǎn)（a點(diǎn)或b點(diǎn)）的沉降來計(jì)算.類似可得到沉降差影響系數(shù)Δωα的計(jì)算式：

2 數(shù)值模擬分析

考慮到計(jì)算精度及網(wǎng)格劃分等因素，本文選擇ANSYS進(jìn)行相關(guān)模擬分析.取條形基礎(chǔ)的橫截面作為分析面，模型邊界條件及網(wǎng)格劃分如圖3所示.

圖3 ANSYS模型圖Fig.3 Model for ANSYS analysis

現(xiàn)有工程中，巖土計(jì)算模型通常都采用線彈性模型，再根據(jù)各地區(qū)的實(shí)際工程情況及復(fù)雜程度，引入系數(shù)來調(diào)整偏差.本文著重考慮硬層傾斜對沉降的影響，為滿足數(shù)值計(jì)算的收斂性，土層和硬層都采用線彈性模型進(jìn)行研究.相關(guān)參數(shù)如下：土層E1＝4 MPa，μ＝0.3；硬層E2＝100GPa，μ＝0.3；基礎(chǔ)寬度B＝5m.相對土體而言，硬層的模量大很多，因此硬層的變形可以忽略.假定土層與硬層的接觸面充分黏結(jié)（即無相對位移），均布荷載值為30kPa，三角形荷載最大值為60kPa.

取模型寬度為51m（＞10B），其足夠大以忽略邊界對模擬結(jié)果的影響，模型高度隨深寬比而變化.分別取深寬比0.5，1.0，1.5，2.5，3.5，5.0，7.5，10，15，20；傾斜角0°，15°，30°，45°和60°來研究沉降影響系數(shù)ωα和沉降差影響系數(shù)Δωα.

前面理論積分得到：梯形分布荷載作用下的沉降值是均布荷載作用效果和三角形分布荷載作用效果的疊加.下面用實(shí)際模擬來驗(yàn)證（以o點(diǎn)沉降為例）.

硬層傾斜時(shí)，其他條件一樣，假設(shè)傾斜角α＝30°，計(jì)算結(jié)果為：

直接模擬計(jì)算所得的沉降值略小于均布荷載和三角形分布荷載作用效果的疊加，誤差為6.6%，在合理誤差范圍內(nèi).因而對于下臥傾斜硬層梯形分布荷載作用下的沉降計(jì)算，可用均布荷載和三角形分布荷載下計(jì)算所得值疊加而得.

下面分別對均布荷載及三角形分布荷載作用下，地基沉降隨深寬比和下臥硬層傾斜角的變化進(jìn)行數(shù)值模擬分析.

2.1 均布荷載作用下沉降分析

為了驗(yàn)證數(shù)值模擬結(jié)果，將硬層水平時(shí)計(jì)算所得ωα值作為基準(zhǔn)，并與理論方法計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行對比（見表1）.從表1中可看到，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論值的誤差不超過2%.

表1 沉降影響系數(shù)基準(zhǔn)情況（α＝0°）Tab.1 Settlement influence factors，ωα，for baseline cases（α＝0°）

圖4 均布荷載下沉降（差）影響系數(shù)Fig.4 （Differential）settlement influence factor under distributed load

均布荷載作用下，地基隨深寬比和硬層傾斜角變化的沉降（差）影響系數(shù)如圖4所示.

分析中發(fā)現(xiàn)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果以土層較厚處深度Hd代替基礎(chǔ)中點(diǎn)下土層深度H，得到的圖形效果更好，因而以ln（Hd／B）為橫坐標(biāo)作圖.

由圖4可知，ωα隨著傾斜角的增大和深寬比的減小而減小.當(dāng)深寬比一定且傾斜角小于45°時(shí)，ωα隨傾斜角的變化很??；當(dāng)傾斜角大于45°時(shí)，其對ωα的影響就會(huì)增大.另外，當(dāng)傾斜角為60°而深寬比小于1.0時(shí)，土層較薄處的基礎(chǔ)可能已經(jīng)與硬層接觸，因此這種情況的結(jié)果不予采用.

由沉降差影響系數(shù)圖可看到：當(dāng)傾斜角小于等于15°時(shí)，沉降差影響系數(shù)隨著深寬比增大而增大；當(dāng)傾斜角大于15°時(shí)，沉降差影響系數(shù)先隨著深寬比增大而增大，后又隨著深寬比增大而減小.而硬層傾斜角的增大也會(huì)使沉降差影響系數(shù)隨之增大.

2.2 三角形分布荷載作用下沉降分析

三角形分布荷載下的沉降分析，要分2種情況：1）荷載最大值在土層較厚側(cè)；2）荷載最大值在土層較薄處，如圖5所示.

圖5 三角形分布荷載作用下的2種情況Fig.5 Two situations under the triangular distributed load

用ANSYS數(shù)值模擬后計(jì)算可得沉降（差）影響系數(shù)，分別繪制成圖6和圖7.

圖6 沉降（差）影響系數(shù)（情況1）Fig.6 （Differential）settlement influence factors（situation 1）

圖7 沉降（差）影響系數(shù)（情況2）Fig.7 （Differential）settlement influence factors（situation 2）

由圖6和圖7可知，荷載最大值作用在土層較厚側(cè)時(shí)，其ωα受傾斜角α變化的影響較小；而作用于土層較薄側(cè)時(shí)，其ωα隨α的變化更為明顯.比較2種情況可知，下臥硬層傾斜對土層較薄側(cè)影響顯著.當(dāng)荷載最大值作用在土層較薄一側(cè)時(shí)，沉降差隨傾斜角增大會(huì)顯著增大，因而工程中要避免這種情況.

2.3 參數(shù)分析

2.3.1 計(jì)算參數(shù)（p，B，E0及μ）分析

前文提到，式（15）是在彈性半空間假設(shè)下推導(dǎo)而得到的.在下臥傾斜硬層（土層有限厚）的情況下，通過大量數(shù)值模擬數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，沉降s與p，B及E0的比例關(guān)系仍基本成立（最大誤差不超過1%），即p，B，E0的變化對沉降影響系數(shù)沒有明顯影響.因而本文提供的沉降影響系數(shù)圖表可以用于實(shí)際工程（p，B及E0與本文設(shè)定不同）的沉降計(jì)算.

而泊松比與沉降并不是簡單的線性比例關(guān)系.模擬中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)μ的變化范圍控制在0.20～0.35內(nèi)時(shí)，以本文圖表中沉降影響系數(shù)求得的沉降誤差不超過5%.在此范圍內(nèi)，本文提供的圖表仍然適用.

2.3.2 深寬比及硬層傾斜角對最大沉降點(diǎn)位置的影響

以深寬比和硬層傾斜角為基本參數(shù)，分別對均布荷載及三角形分布荷載作用（兩種情況）下最大沉降點(diǎn)的位置變化進(jìn)行分析，如圖8所示，Δx＜0表示最大沉降點(diǎn)位置向a點(diǎn)偏移.

圖8 最大沉降點(diǎn)位置的變化Fig.8 Position variation of the largest settlement

當(dāng)硬層傾斜角不變且深寬比在0.5～2.0范圍內(nèi)變化時(shí)，偏離最為明顯；當(dāng)深寬比不變時(shí)，沉降最大點(diǎn)偏離中點(diǎn)的距離隨傾斜角線性變化.

3 計(jì)算示例

根據(jù)本文所給圖表進(jìn)行下臥傾斜硬層地基沉降的計(jì)算步驟如下：

1）根據(jù)深寬比H／B及硬層傾斜角α計(jì)算得到ln（Hd／B）；

2）由圖4、圖6及圖7查詢得到均布荷載及三角形分布荷載（2種情況）下的沉降（差）影響系數(shù)；

3）代入式（16）即可得到均布及三角形分布荷載作用下的沉降（差）值；

4）將均布及三角形分布荷載作用下的沉降值疊加即為梯形分布荷載作用下的沉降值.

需要注意的是，梯形分布荷載作用下，由于荷載最大值的作用位置及硬層走向的影響，計(jì)算最大沉降差時(shí)要分別算出中心與基礎(chǔ)兩端的沉降差，比較得出最大值.直接根據(jù)沉降差影響系數(shù)的結(jié)果疊加計(jì)算，可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.

某建筑基礎(chǔ)下形成梯形分布地基反力，兩端荷載值分別為150kPa和100kPa，荷載最大值作用在土層較厚側(cè).基礎(chǔ)寬為20m，下臥傾斜硬層，其傾角為25°，硬層上為均質(zhì)砂土，砂土的彈性模量和泊松比分別為20MPa和0.3.基礎(chǔ)中心到基巖的垂直距離是20m.要求估算此梯形分布反力作用范圍內(nèi)的總沉降和最大沉降差.

計(jì)算思路如下：把梯形荷載分解為均布荷載和三角形分布荷載分別計(jì)算，再疊加.

4 結(jié) 語

本文證明了下臥硬層傾斜會(huì)對淺基礎(chǔ)的沉降和沉降差產(chǎn)生影響，并對工程實(shí)際中可能出現(xiàn)的荷載形式（均布荷載、三角形分布荷載及梯形分布荷載）分別進(jìn)行了沉降分析.研究發(fā)現(xiàn)：

1）當(dāng)下部硬層傾斜時(shí)沉降差會(huì)顯著增大；硬層傾斜對基礎(chǔ)不同位置的影響也不同.

2）當(dāng)硬層傾角小于45°時(shí)，硬層傾斜對基礎(chǔ)的中心點(diǎn)的影響較小，但對沉降差的影響很明顯.

3）三角形分布荷載作用時(shí)，當(dāng)下部硬層傾斜角較大時(shí)，要避免在土層較薄處施加荷載最大值，以避免沉降差增大.

對于下臥傾斜硬層的柔性條形淺基礎(chǔ)（像路堤、擋土墻等）的沉降計(jì)算（泊松比在0.2～0.35范圍內(nèi)），可以直接從本文給出的圖表查值進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.

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Influence of Inclined Bedrock on Subgrade Settlements under Non-uniformly Distributed Load

CHEN Chang-fu?，CAO Hong，WANG Chun-zi，WU Yan-quan

（Geotechnical Engineering Institute，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China）

Based on the elastic theory of settlement analysis，a finite element method was employed to investigate the influence of inclined bedrock on foundation settlements under non-uniformly distributed load in terms of two key variables：the depth-width ratio and the bedrock inclination.The first variable refers to the ratio between the depth from the compressible soil to the bedrock and the width of the foundation，while the second assumes the dip perpendicular to the direction of the strip foundation.According to the numerical results，the design charts of settlement influencing factors and differential settlement influencing factors under different load conditions were given to help practice application.Besides，parameter analysis of the influence of calculating parameters on settlements and the position variation of the largest settlement with the change of the depth-width ratio and the bedrock inclination were given.Morover，a design example was presented to illustrate the use of the design charts.

settlement；subgrade；shallow foundations；inclined bedrock

TU471

A

1674-2974（2014）06-0077-08

2013-11-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51278186）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20110161110018）

陳昌富（1963－），男，湖南祁東人，湖南大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師

?通訊聯(lián)系人，E-mail：cfchen＠163.com