王超宇 梅 湄 李洪濤 朱曉華

（南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094）

引 言

近年來，信息論和信號處理領(lǐng)域中提出的壓縮感知［1-3］（Compressive Sensing，CS）理論被廣泛應(yīng)用于雷達、圖像處理、無線通信和生物醫(yī)學(xué)等諸多工程領(lǐng)域［4］，吸引了研究者們的極大關(guān)注.CS理論指出，通過求解一個范數(shù)優(yōu)化問題便可通過少量的非自適應(yīng)隨機測量值以較高精度重構(gòu)可稀疏表征的信號［5］.

實際空間中感興趣目標(biāo)場景的強散射中心僅占據(jù)少量的角度分辨單元，照射區(qū)域內(nèi)目標(biāo)回波信號是稀疏的，由此CS在波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計中的應(yīng)用也得到了廣泛的研究.文獻［6］提出了基于CS的多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIM）雷達DOA估計方法，充分利用雷達回波信號的稀疏性對陣列接收信號進行時域壓縮采樣，降低了陣列接收的時域采樣點數(shù).文獻［7］采用陣元隨機分布的天線陣列對空域信號進行壓縮采樣，降低了接收陣列的前端接收通道個數(shù)，隨后通過CS重構(gòu)算法實現(xiàn)DOA高分辨估計.然而，文獻［6］和［7］將均勻量化感興趣區(qū)域角度范圍得到的超完備基矩陣作為冗余字典，不能保證對應(yīng)感知矩陣滿足約束等容條件（Restricted Isometry Property，RIP）［8］，并且未考慮實際應(yīng)用中接收陣列射頻通道間增益不一致以及感知矩陣和目標(biāo)角度信息的匹配關(guān)系對DOA估計精度的影響，導(dǎo)致目標(biāo)角度信息估計誤差增大.文獻［9］從理論上分析了CSDOA中系統(tǒng)模型失配誤差對目標(biāo)角度信息估計精度的影響，結(jié)果表明稀疏基矩陣與目標(biāo)角度信息匹配關(guān)系不理想時，常見CS算法對目標(biāo)信息重構(gòu)性能劣化非常明顯.文獻［10］提出一種增加稀疏基矩陣分辨力的方法，降低了系統(tǒng)感知模型失配誤差對目標(biāo)角度信息重構(gòu)精度的影響，然而隨著稀疏基矩陣分辨力的提高，感知矩陣的相關(guān)系數(shù)亦會隨之變大，嚴(yán)重影響了CS重構(gòu)稀疏信號的精度；此外，當(dāng)稀疏基矩陣分辨力較高時，感知矩陣規(guī)模過大，導(dǎo)致CS重構(gòu)算法運算量急劇增加.

針對上述問題，本文提出一種單通道CS-DOA估計方法.首先，構(gòu)建系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配背景下的DOA估計模型；其次，引入一種單通道陣列［11］體制，采用0／π移相器對每個陣元進行隨機移相處理，經(jīng)合路器輸出一路數(shù)據(jù)以完成空域隨機采樣，克服了射頻通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對CS-DOA方法的影響；最后，將丹茨格（Dantzig Selector，DS）［12］算法和遺傳算法相結(jié)合，提出一種新的CS-DOA估計方法，實現(xiàn)系統(tǒng)感知模型失配時的高分辨DOA估計.與CS-DOA估計算法RMFOCUSS［13］相比，本文方法有效降低了系統(tǒng)模型失配誤差對DOA估計精度的影響；與傳統(tǒng)的CAPON算法和多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法相比，本文方法能夠?qū)θ我庀嚓P(guān)的信號進行有效估計，具有更高的角度分辨力和更優(yōu)的估計性能.

1 DOA估計信號模型

1.1 DOA估計壓縮感知模型

假設(shè)有K個遠(yuǎn)場窄帶信號入射到由L個陣元組成的均勻線性陣列上，考慮噪聲干擾時，陣列接收信號可表示為

設(shè)感興趣區(qū)域的角度范圍Δθ＝［0°，180°］經(jīng)均勻量化后獲得角度網(wǎng)格矢量為＝，N為網(wǎng)格總數(shù)，φ＝為角度分辨單元，則式（1）可改寫為

式中：s（t）＝［s1（t），…，sN（t）］T是目標(biāo)角度信息矢量；A）＝［a，…，a）］為角度分辨單元相對接收陣列的導(dǎo)向矢量矩陣.

實際中，照射區(qū)域內(nèi)目標(biāo)僅占據(jù)少量角度分辨單元，即‖s（t）‖0＝K?N，‖v‖0表示矢量v的l0范數(shù)，由此陣列接收信號x（t）為K稀疏信號，為稀疏基矩陣，K為目標(biāo)角度信息矢量的稀疏度.

1.2 系統(tǒng)感知模型失配時DOA估計模型

假設(shè)照射區(qū)域內(nèi)K 個目標(biāo)相對接收陣列的角度矢量θ＝［θ1，…，θK］中的第k個元素θk，即第k個目標(biāo)的角度信息與系統(tǒng)預(yù)先設(shè)定的角度網(wǎng)格矢量不匹配，稱系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配.由CS理論可知，系統(tǒng)感知模型失配誤差將導(dǎo)致預(yù)先設(shè)定的角度網(wǎng)格矢量無法準(zhǔn)確表示目標(biāo)場景，造成常見CS-DOA估計方法目標(biāo)角度信息估計誤差變大，角度分辨力降低等問題.

由式（4）可知，當(dāng)系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配時，Φ為真實導(dǎo)向矢量的二階近似；當(dāng)系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息匹配時，Φ為真實導(dǎo)向矢量的零階近似，即β＝［0，…，0］T.

因此，不考慮測量噪聲的近似誤差時，式（2）可近似表示為

1.3 基于單通道陣列的DOA估計模型

由于單通道陣列僅有一個射頻通道（如圖1所示），故除功耗低、成本低、體積小等優(yōu)點，還可以有效避免接收陣列通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對后續(xù)信號處理的影響，具有很強的工程應(yīng)用價值［11，14-15］.

基于上述特點，本文將單通道陣列體制引入基于CS的DOA估計中.首先，將接收陣列中各陣元均連接一個0／π移相器，通過隨機變化各移相器的相位完成對空域的隨機采樣；其次，利用L路合路器將每個陣元加權(quán)后的接收信號合為一路信號輸出；最后，經(jīng)過單路射頻通道和A／D轉(zhuǎn)換器后輸出數(shù)字信號ys（t）：

式中，ψ＝［ψ1，…，ψL］為L組0／π移相器隨機生成的加權(quán)系數(shù)矢量，ψi＝cos（0／π）.

圖1 單通道體制陣列模型

由于目標(biāo)在空間是稀疏的，根據(jù)目標(biāo)信號的時間相關(guān)性，設(shè)在M個快拍期間目標(biāo)未跨角度單元移動，即si（t）與sj（t）（i≠j）非零元素位置相同，那么單通道陣列對感興趣目標(biāo)場景的M個快拍測量值可表示為

通過分析式（8）不難發(fā)現(xiàn)，采用單通道陣列對空間信號進行接收，可看作采用測量矩陣Ψ對回波信號y（t）進行隨機投影測量，并且感知矩陣Θ為元素服從伯努利分布的矩陣Ψ與逆傅里葉變換矩陣的乘積，在很大概率上滿足RIP條件，保證了采用壓縮感知重構(gòu)算法進行DOA估計的有效性和穩(wěn)健性.

2 改進的CS-DOA估計算法

基于CS的DOA估計方法主要有MOMP、MORMP以及RMFOCUSS等.一般情況下，即系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息匹配時，可利用上述方法直接優(yōu)化求解欠定性方程組獲得高分辨DOA估計.在系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配情況下，上述方法無法克服失配誤差對DOA估計精度的影響，導(dǎo)致估計誤差增大.

針對上述問題，本文提出一種適用于系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配情況下的CS-DOA估計方法.該方法將DS算法和遺傳算法相結(jié)合對系統(tǒng)感知模型失配誤差和目標(biāo)角度信息交替迭代優(yōu)化，經(jīng)過有限次迭代后獲得有效的DOA估計結(jié)果，具體步驟如下：

步驟1：初始化迭代次數(shù).p＝0.β（p）＝0，［s（t）］（p）＝ΘHys（t）.

步驟2：當(dāng)?shù)恋趐＋1次時，經(jīng)前p次迭代后估計出的各參數(shù)分別記為［s（t）］（p）和β（p），則校正后的導(dǎo)向矢量矩陣為

由此，在感知矩陣Θ（p）＝ΨΦ（p）已知的條件下，利用DS算法重構(gòu)s（t）的結(jié)果為

式中μ是與噪聲有關(guān)的常量，并且當(dāng)μ＝（1＋η-1）時，s（t）能夠以較高的精度進行重構(gòu)［16］，η為一個正實數(shù)，σ為式（8）中噪聲n的方差，vmax為Θ（p）中各列2范數(shù)的最大值.

需要指出，在低信噪比情況下，DS算法在抑制噪聲的同時也損失了部分目標(biāo)回波信號的能量，使得重構(gòu)目標(biāo)信號的幅值有所下降，故本文采用后向投影的方法對DS算法估計結(jié)果進行校正：

步驟3：當(dāng)［s（t）］（p＋1）已知時，系統(tǒng)感知模型失配誤差β（p＋1）可通過求解一個最優(yōu)范數(shù)問題進行重構(gòu)：

需要說明，步驟3中最小化式（12）的優(yōu)化問題是典型的離散非線性多變量優(yōu)化問題.目前解決此類優(yōu)化問題的方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，粒子群優(yōu)化法（Particle Swarm Optimization，PSO），模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）和遺傳算法等.其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法通常收斂至局部最小值；PSO早期收斂速度較快，但到了尋優(yōu)的后期，其收斂速度減慢，且容易收斂到局部極小值；SA較好地解決了尋求最優(yōu)時陷入局部解的問題，但增加了算法的復(fù)雜度；相比之下，遺傳算法仿照生物進化和遺傳規(guī)律，遵循優(yōu)勝劣汰的自然進化規(guī)則，對解空間不同區(qū)域的多個點進行搜索，保證了在搜索過程中以最大概率尋找到全局最優(yōu)解，因此在實際中得到了廣泛應(yīng)用.本文采用遺傳算法求解式（12）的具體步驟如下：

步驟1：隨機產(chǎn)生若干個系統(tǒng)感知模型失配誤差矢量作為遺傳算法的初始化群體；

步驟2：以式（12）作為適應(yīng)度函數(shù)，計算每個個體的適應(yīng)度值；

步驟3：采用“輪盤賭”的方式，根據(jù)適應(yīng)度值來選擇優(yōu)良個體，同時將適應(yīng)度值最高的個體直接復(fù)制到下一代，保證最優(yōu)個體在遺傳過程中不丟失；

步驟4：以設(shè)定的交叉概率采用兩點交叉方法來產(chǎn)生新個體；

步驟5：以設(shè)定的變異概率在交叉后的種群中進行變異產(chǎn)生后代；

步驟6：當(dāng)完成設(shè)定迭代次數(shù)或得到數(shù)學(xué)期望的適應(yīng)度值時，將最優(yōu)個體取出并進行譯碼得到優(yōu)化后的系統(tǒng)感知模型失配誤差，算法結(jié)束，否則返回步驟2.

3 計算機仿真及分析

本節(jié)分別通過非相干信號和相干信號等信號模型，與傳統(tǒng)的CAPON算法、MUSIC算法以及RMFOCUSS算法進行對比，驗證本文方法的有效性.仿真中假設(shè)接收陣列的陣元個數(shù)為L＝16，陣元間距在［0，Lλ／2］范圍內(nèi)均勻分布，陣列接收回波信號快拍數(shù)為M＝200，DOA估計均方根誤差為

實驗1 非相干信號DOA估計.假設(shè)角度分辨單元φ＝1°，當(dāng)信噪比RSN＝0dB，接收陣列各射頻通道一致性較好，多個非相干信號相對接收陣列的入射角分別 為［31.5°，37.3°，45.5°，50.2°］時，CAPON、MUSIC、RMFOCUSS算法以及本文方法的空域譜估計歸一化輸出結(jié)果對比如圖2所示.不同算法DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化曲線的500次蒙特卡羅實驗結(jié)果如圖3所示.

由圖2可以看出：MUSIC算法和CAPON算法無法對目標(biāo)角度信息進行高分辨估計；RMFOCUSS算法較傳統(tǒng)DOA估計方法具有更高的角度分辨力，然而系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配極大影響了該方法DOA估計的精度；相比之下，本文方法根據(jù)系統(tǒng)模型失配誤差的估計結(jié)果對系統(tǒng)感知模型進行了校正，使得DOA估計精度得到了明顯的改善.通過對比圖3中各算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線可以看出，在低信噪比條件下，由于本文方法迭代過程中采用后向投影的方式持續(xù)對DS估計結(jié)果進行修正，提高了低信噪比下CS-DOA方法的適用性，并且通過抑制系統(tǒng)模型失配誤差，降低了系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配對DOA估計精度的影響，故較其他幾種方法具有更好的估計性能；RMFOCUSS算法稍差，但優(yōu)于傳統(tǒng)的MUSIC和CAPON算法，與圖1的結(jié)果相一致.

圖2 非相干信號的空域譜估計輸出

圖3 非相干信號DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線

實驗2 相干信號DOA估計.假設(shè)本實驗中多個目標(biāo)的RCS相關(guān)，信噪比RSN＝0dB，其他參數(shù)設(shè)置與實驗1中非相干信號DOA估計的參數(shù)相同.圖4為不同算法的空域譜估計歸一化輸出結(jié)果對比.圖5為各算法對相干信號DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線的500次蒙特卡羅實驗結(jié)果對比.從圖4可以看出：傳統(tǒng)DOA估計的MUSIC算法和CAPON算法在相干信號條件下，性能下降明顯，無法對目標(biāo)角度進行高分辨估計；RMFOCUSS算法在相同條件下DOA估計性能存在一定程度的劣化，但是該算法較傳統(tǒng)算法譜估計輸出具有更窄的主峰和更低的旁瓣，優(yōu)于傳統(tǒng)DOA估計方法；本文方法通過對系統(tǒng)感知模型進行校正，降低了系統(tǒng)模型失配誤差的影響，故較RMFOCUSS算法具有更高的估計精度.對比圖5中各算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線，進一步驗證了本文方法在系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配的條件下，具有更高的角度分辨力以及更優(yōu)的DOA估計性能.

圖4 相干信號的空域譜估計輸出

圖6 射頻通道增益不一致時非相干信號的空域譜估計輸出

圖7 射頻通道增益不一致時非相干信號DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線

實驗3 射頻通道增益不一致時，非相干信號DOA估計.假設(shè)本實驗多個非相干信號相對接收陣列的入射角與實驗1相同，接收陣列射頻通道間增益服從均值為1，方差為0.05的復(fù)高斯分布.圖6為各算法在RSN＝0dB時空域譜估計歸一化輸出結(jié)果對比.圖7為不同算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系曲線的500次蒙特卡羅實驗結(jié)果對比.從圖6可以看出：MUSIC算法和CAPON算法在接收陣列通道間增益不一致時已經(jīng)無法進行有效DOA估計；RMFOCUSS算法雖然較傳統(tǒng)DOA方法具有較更高的角度分辨力，但由于無法準(zhǔn)確抑制通道間的不同增益和系統(tǒng)模型失配誤差的干擾，導(dǎo)致DOA的估計精度下降非常明顯；相對而言，本文方法通過引入單通道陣列體制，有效避免了各通道間增益不一致對DOA估計的影響，并且采用改進的DS算法提高了系統(tǒng)模型失配誤差存在時目標(biāo)角度信息的估計精度，保證了DOA估計的有效性.圖7中各算法DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線也驗證了本文方法在接收陣列各射頻通道增益不一致以及系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配等背景下，具有更優(yōu)的DOA估計性能和更好的穩(wěn)健性.

4 結(jié) 論

通過校正系統(tǒng)感知模型改善DOA估計性能是CS-DOA方法研究的一個重要方面，對于有效提高CS在實際中的適用性有著重要的理論和現(xiàn)實意義.本文針對接收陣列射頻通道間不一致以及系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配背景下CS-DOA估計性能下降的問題，提出一種單通道陣列體制下的CSDOA估計算法.與常見DOA估計方法相比，該方法有效避免了接收陣列通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對DOA估計性能的影響，且通過校正系統(tǒng)感知模型顯著降低了目標(biāo)角度信息的估計誤差.本文方法改善了多目標(biāo)波達方向的估計性能，增強了CS-DOA的有效性和穩(wěn)健性，具有較強的工程應(yīng)用價值.

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