鄒德永王家駿于金平郭玉龍趙 健盧 威

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院， 山東青島 266580；2.華北油田公司，河北任丘 062552）

定向鉆井PDC鉆頭切削參數(shù)計(jì)算方法

鄒德永1王家駿1于金平1郭玉龍1趙 健1盧 威2

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院， 山東青島 266580；2.華北油田公司，河北任丘 062552）

定向鉆井PDC鉆頭的優(yōu)化設(shè)計(jì)和導(dǎo)向性能分析需要準(zhǔn)確計(jì)算PDC切削齒的切削面積、切削體積和切削弧弧長(zhǎng)等切削參數(shù)。針對(duì)彎外殼螺桿馬達(dá)或推靠式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)，運(yùn)用空間解析幾何理論和數(shù)值計(jì)算方法，分析了PDC鉆頭在井底的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，建立了切削齒的運(yùn)動(dòng)軌跡方程和切痕曲線方程。綜合考慮了鉆頭偏轉(zhuǎn)角、鉆頭的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)、鉆頭結(jié)構(gòu)參數(shù)及切削齒切削的先后次序等因素的影響，建立了切削齒的切削面積、切削體積和切削弧弧長(zhǎng)等切削參數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法，為PDC鉆頭的計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)和定向鉆井PDC鉆頭的導(dǎo)向性能分析提供了一種分析手段。實(shí)例計(jì)算表明，模型和方法具有實(shí)用性，可進(jìn)一步推廣應(yīng)用。

PDC鉆頭；切削齒；切削參數(shù)；運(yùn)動(dòng)軌跡；定向鉆井

在定向鉆井PDC鉆頭的優(yōu)化設(shè)計(jì)和導(dǎo)向性能分析中，需要準(zhǔn)確計(jì)算出每個(gè)切削參數(shù)。文獻(xiàn)［1］假設(shè)鉆頭軸線始終與井眼軸線重合，并且沿著井眼軸線（鉛垂線）方向運(yùn)動(dòng)，建立了垂直鉆井時(shí)PDC鉆頭的切削參數(shù)計(jì)算方法。而在定向鉆井過(guò)程中，鉆頭軸線與初始井眼軸線之間有鉆頭偏轉(zhuǎn)角，并且鉆頭在鉆壓和側(cè)向力作用下有沿著井眼軸線向前運(yùn)動(dòng)和垂直于井眼軸線的側(cè)向運(yùn)動(dòng)，因此直井中的切削參數(shù)計(jì)算方法并不適用于定向井。筆者在綜合考慮了鉆頭偏轉(zhuǎn)角、鉆頭的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)、鉆頭結(jié)構(gòu)參數(shù)及切削齒切削的先后次序等因素的基礎(chǔ)上，運(yùn)用空間解析幾何理論和數(shù)值計(jì)算方法，建立了PDC切削齒的運(yùn)動(dòng)軌跡方程和切痕曲線方程，給出了切削參數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法。

1 鉆頭在井底的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析

定向鉆井時(shí)，使用的鉆具通常有：?jiǎn)螐澩鈿ぢ輻U馬達(dá)雙穩(wěn)定器鉆具組合（見(jiàn)圖1a）和推靠式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)（見(jiàn)圖1b）。用縱橫彎曲梁法對(duì)上述2種鉆具組合受力分析，求出鉆頭上的鉆壓W、側(cè)向力Fl和鉆頭偏轉(zhuǎn)角λ（側(cè)向力Fl是變井斜力Fα和變方位力FΦ的合力，λ可以分解為變井斜平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角λ1和變方位平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角λ2），分析鉆頭在鉆進(jìn)前后與井眼的幾何關(guān)系。在圖1中，初始時(shí)鉆具組合用藍(lán)色線畫(huà)出，鉆進(jìn)后的鉆具組合用紅線畫(huà)出。設(shè)鉆頭在鉆壓W和側(cè)向力Fl作用下分別向下鉆進(jìn)了ha，向側(cè)向鉆進(jìn)了hl。

圖1 底部鉆具組合的簡(jiǎn)化模型

當(dāng)使用彎外殼螺桿馬達(dá)滑動(dòng)導(dǎo)向鉆井時(shí)，初始時(shí)鉆頭軸線O3X3與井眼軸線O2X2之間的夾角為鉆頭偏轉(zhuǎn)角λ。設(shè)近鉆頭扶正器與井壁接觸點(diǎn)從A點(diǎn)到B點(diǎn)是一段圓弧，其曲率半徑為R，則鉆進(jìn)后的鉆頭軸線O4H與初始鉆頭軸線O3X3夾角為δ。δ可以分解為變井斜平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角δ1和變方位平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角δ2。

當(dāng)使用推靠式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)導(dǎo)向鉆井時(shí)，初始時(shí)鉆頭軸線O3X3與井眼軸線O3X3之間的夾角為鉆頭偏轉(zhuǎn)角λ。鉆進(jìn)過(guò)程中鉆頭軸線O4H與初始時(shí)鉆頭軸線O3X3平行。

由于使用不同種類的鉆具，鉆頭在井底的運(yùn)動(dòng)不同，所以需要針對(duì)這2種情況分別建立的切削齒運(yùn)動(dòng)軌跡方程。

2 PDC切削齒的運(yùn)動(dòng)軌跡方程

設(shè)某鉆頭共有N個(gè)切削齒，其切削齒號(hào)碼記為i∈（1，N）。如圖2所示，建立6套坐標(biāo)系來(lái)描述切削齒與鉆頭和井眼的坐標(biāo)關(guān)系。

圖2 PDC鉆頭的復(fù)合坐標(biāo)系統(tǒng)

（1）直角坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1為大地坐標(biāo)系。

（2）直角坐標(biāo)系O2-X2Y2Z2為初始井眼坐標(biāo)系。原點(diǎn)O2為初始井底中心，Z2軸為井眼軌跡在O2的切線方向。平面O2-X2Y2為變井斜平面，平面O2-Y2Z2為變方位平面。

（3）直角坐標(biāo)系O3-X3Y3Z3為當(dāng)前井眼坐標(biāo)系。在定向鉆進(jìn)過(guò)程中，原點(diǎn)O3隨著鉆頭中心一起移動(dòng)，Z3軸與鉆頭軸線O4H始終重合，而X3和Y3軸不隨鉆頭旋轉(zhuǎn)而改變方向。當(dāng)使用彎外殼螺桿馬達(dá)滑動(dòng)導(dǎo)向鉆井時(shí)，初始時(shí)，Z3軸與Z2軸的夾角為鉆頭偏轉(zhuǎn)角λ，鉆進(jìn)過(guò)程中Z3軸與Z2軸的夾角為 。當(dāng)使用推靠式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)導(dǎo)向鉆井時(shí)，初始時(shí)鉆頭軸線O3X3與Z2軸的夾角為λ+δ，鉆進(jìn)過(guò)程中Z3軸與Z2軸的夾角始終為λ。

（4）圓柱坐標(biāo)系O4-RHθ為鉆頭坐標(biāo)系。原點(diǎn)O4為鉆頭中心，初始時(shí)與原點(diǎn)O2重合，鉆進(jìn)過(guò)程中與原點(diǎn)O3重合。H軸為鉆頭軸線，始終與Z3軸重合。R軸與鉆頭基準(zhǔn)線夾角為周向角θ，設(shè)鉆頭在X2、Y2、Z2方向上每轉(zhuǎn)進(jìn)尺分別為hx、hy、hz，鉆頭基準(zhǔn)線與X3軸的夾角為鉆頭旋轉(zhuǎn)角ω。初始時(shí)鉆頭基準(zhǔn)線與X2軸重合，鉆進(jìn)中的t時(shí)刻的鉆頭旋轉(zhuǎn)角為ωt。此刻原點(diǎn)O4在O2坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x0，y0，z0）

（5）平面直角坐標(biāo)系O5-X5Y5為切削齒工作面坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系在切削齒切削面上，原點(diǎn)O5為切削齒中心。令第i號(hào)切削齒的半徑為ri，將切削齒工作面邊緣稱為切削刃，設(shè)切削刃上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xc，yc）

（6）平面直角坐標(biāo)系O5-X6Y6為切削齒剖面坐標(biāo)系。過(guò)第i號(hào)切削齒中心O5和鉆頭軸線建立切削齒的剖面。X6軸與X5軸夾角為切削齒的側(cè)轉(zhuǎn)角βi，Y6軸與Y6軸夾角為切削齒的后傾角αi，Y6軸與Z3軸的夾角為切削齒的法向角γi。設(shè)點(diǎn)P在O5-X6Y6中的坐標(biāo)為（xd，yd）

由式（1）~式（4）可得，使用螺桿馬達(dá)滑動(dòng)導(dǎo)向鉆井時(shí)，切削刃上任意一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡方程

由式（2）~式（4）可得，使用推靠式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)時(shí)，切削刃上任意一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡方程

當(dāng)R=Ri，H=Hi時(shí)，為第i號(hào)切削齒中心的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。

3 PDC切削齒的切痕曲線方程

在初始井眼坐標(biāo)系O2-X2Y2Z2中，當(dāng)t=t1時(shí)刻，鉆頭基準(zhǔn)線與X3軸夾角為ω1，將第i號(hào)切削齒中心坐標(biāo)（Ri、Hi、Qi、）代入式（5、6）中得該齒中心為Xg1，Yg

1，Zg

1，將此時(shí)刻的第i號(hào)切削齒剖面O5-X5Y5稱為Ⅰ平面（下文簡(jiǎn)稱為Ⅰ平面）。在初始井眼坐標(biāo)系中Ⅰ平面的方程為

將第i號(hào)齒和其鄰齒的齒中心坐標(biāo)代入式（5）或式（6）中，可得切削刃上任意一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。用迭代法求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡到Ⅰ平面的距離為0的數(shù)值解，即與Ⅰ平面的交點(diǎn)，將交點(diǎn)連成線就是切削刃的切痕曲線。使用最小二乘法，將切痕曲線擬合成非標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程，方程形式為

式中，a、b、c、d、e、f為系數(shù)，稱式（9）為切削齒的切痕曲線方程。

4 切削參數(shù)計(jì)算

當(dāng)鉆頭中心O4在初始井底O2時(shí)，各切削齒在Ⅰ平面上的切痕曲線稱為該齒的初始切痕曲線。當(dāng)鉆頭中心O4在當(dāng)前井底O3時(shí)，各切削齒在Ⅰ平面上的切痕曲線稱為該齒的當(dāng)前切痕曲線。第i號(hào)切削齒的切削面積是初始切痕曲線與當(dāng)前切痕曲線所圍成圖形的面積。設(shè)在某布齒密度下，第i號(hào)切削齒的切削面積只與左邊2個(gè)鄰齒和右邊兩個(gè)鄰齒有關(guān)。

如圖3，紅色區(qū)域?yàn)榈趇號(hào)切削齒的切削面積，其不僅與該切削齒的尺寸、吃入深度、位置及空間方向有關(guān)，還取決于相鄰切削齒的重疊切削作用。采用數(shù)值積分的方法求各個(gè)切削齒的切削面積。

第i號(hào)切削齒切痕曲線在X6軸上覆蓋的范圍為（ni，mi），切削面積的計(jì)算方法如下。

（1）將（ni，mi）劃分為j個(gè)等長(zhǎng)的小區(qū)間，取每個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)坐標(biāo) 作為計(jì)算點(diǎn)，小區(qū)間的寬度為w。

圖3 切削齒初始切痕曲線和當(dāng)前切痕曲線

（2）按式（9）計(jì)算每個(gè)小區(qū)間內(nèi)與中點(diǎn)坐標(biāo)xj對(duì)應(yīng)的有效y坐標(biāo)。當(dāng)且僅當(dāng)xj∈（ni，mi）時(shí)，直線x=xj必然與該切痕曲線相交于上、下2個(gè)交點(diǎn)，由于切削齒的切削面積總是位于Ⅰ平面坐標(biāo)系O5-X6Y6的Y6軸正半軸，所以y值取正值。將射線x=x與各齒初始切痕曲線的交點(diǎn)記為yd（xj），將射線x=xj與各齒當(dāng)前切痕曲線的交點(diǎn)記為yu（xj），比較這些值的大小和各切削齒的切削次序，得到最大值，則有

其中第i號(hào)切削齒的第j個(gè)小區(qū)間的切削深度為dij，小區(qū)間的面積為ΔAij，第i號(hào)切削齒的切削面積為Ai。接觸弧長(zhǎng)的計(jì)算方法同文獻(xiàn)［1］。

根據(jù)文獻(xiàn)［2］中的PDC切削齒力學(xué)模型，輸入切削參數(shù)、巖石可鉆性和后傾角求出小區(qū)間的正壓力Fn

j和切削力Fcj。所有小區(qū)間的合力是整個(gè)切削齒的正壓力Fn和切削力F。根據(jù)文獻(xiàn)［2］中鉆頭合力計(jì)算方法，由各切削齒的受力和布齒參數(shù)可以求出鉆頭的鉆壓和側(cè)向力。這就建立了鉆頭鉆速與受力之間的關(guān)系模型。

計(jì)算流程首先假設(shè)鉆速，求出切削參數(shù)，進(jìn)而求出鉆頭受力，如果計(jì)算出的鉆頭受力與實(shí)際鉆頭受力相等，則假設(shè)鉆速就是該力作用下的鉆速，否則重新假設(shè)鉆速，這樣就可以根據(jù)受力預(yù)測(cè)鉆速。根據(jù)上述模型和計(jì)算方法，編寫(xiě)了定向鉆井PDC鉆頭的切削參數(shù)計(jì)算及鉆速預(yù)測(cè)軟件。

5 驗(yàn)證實(shí)例

5.1 設(shè)備和方法

為了驗(yàn)證上述切削參數(shù)計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，在中國(guó)石油大學(xué)（華東）XY-2B型定向鉆井平臺(tái)上進(jìn)行了定向鉆進(jìn)實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)圖4）。用軸向加壓裝置給鉆頭提供鉆壓，用側(cè)向加壓裝置給鉆頭提供側(cè)向力。用壓力傳感器、扭矩傳感器測(cè)定鉆頭的鉆壓、側(cè)向力和扭矩，用位移傳感器測(cè)定鉆頭的鉆速。

圖4 定向鉆井實(shí)驗(yàn)裝置

5.2 計(jì)算實(shí)例

在定向鉆井平臺(tái)上使用不同布齒的3種鉆頭，當(dāng)鉆壓為30 kN，側(cè)向力為3 kN時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的軸向和側(cè)向鉆速見(jiàn)表1。

表1 實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值的比較

表2是當(dāng)軸向鉆速為1 mm/r，側(cè)向鉆速為0.1 mm/r時(shí)，計(jì)算出A鉆頭1號(hào)刀翼上各切削齒的切削參數(shù)。由圖5可知，內(nèi)錐上的1、3、5號(hào)切削齒的切削面積隨鉆頭旋轉(zhuǎn)角度Ω的變化趨勢(shì)呈余弦函數(shù)形式，切削面積在Ω=180°時(shí)達(dá)到最大值，在Ω=0°或360°時(shí)達(dá)到最小值。同一刀翼上外錐上的10、15、20號(hào)切削齒的切削面積變化規(guī)律正好相反。這與實(shí)驗(yàn)觀察到的情況吻合。

圖5 1號(hào)刀翼各齒切削面積隨旋轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系

表2 試驗(yàn)鉆頭1號(hào)刀翼各切削齒的參數(shù)

6 結(jié)論

（1）運(yùn)用空間解析幾何理論和數(shù)值計(jì)算方法，分析了定向鉆井PDC鉆頭在井底的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，給出了切削齒的運(yùn)動(dòng)軌跡方程和切痕曲線方程。

（2）綜合考慮了鉆頭的剖面形狀、切削齒的布置、切削齒的工作角、切削齒的尺寸及切削齒切削的先后次序等因素的影響，提出了切削參數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法。實(shí)例計(jì)算表明，模型和方法具有實(shí)用性。

［1］鄒德永，王瑞和.PDC鉆頭的軌跡方程及切削參數(shù)計(jì)算方法［J］.石油鉆采工藝，2003，25（5）：34-38.

［2］鄒德永，張將海，王瑞和.PDC鉆頭力學(xué)模型試驗(yàn)研究［J］.石油鉆探技術(shù)，2005，33（2）：41-43.

［3］MENAND S,SELLAMI H,SIMON C.How the bit profile and gages affect the well trajectory［R］.SPE 74459,2002.

［4］MENAND S,SELLAMI H.PDC bit classification according to anisotropic［R］.SPE 87837,2004.

［5］GERBAUD L,MENAND S,SELLAMI H.PDC bits： all comes from the cutter rock interaction［R］.SPE 98988,2006.

［6］DAGRAIN F,TSHIBANGU J P.Use of the D3 model for the estimation of forces acting on a cutter in rock cutting and drilling［R］.SPE 78242,2002.

（修改稿收到日期 2014-09-03）

〔編輯 薛改珍〕

Computing method for cutting parameters of PDC bit in directional drilling

ZOU Deyong1,WANG Jiajun1,YU Jinping1,GUO Yulong1,ZHAO Jian1,LU Wei2
（1.Petroleum Engineering College,China University of Petroleum（East China）,Qingdao266580,China;2.Huabei Oilfield Company,CNPC,Renqiu062552,China）

The optimized design of PDC bit for directional drilling and steering performance analysis need accurate calculation of cutting parameters like cutting area,cutting volume and cutting arc length of PDC cutting teeth.In line with different drilling tools-bent housing screw motor or pushing rotational steering system,this paper analyzed the motion status of PDC bit at bottom hole,established the trajectory of cutting teeth and cutting curvilinear equation.Also the numerical computing method was established for cutting area,cutting volume and cutting arc length of the cutting teeth according to bit deflection angle,complex bit motion,bit structure parameters and the sequence of cutting teeth,providing a analysis method for computerized optimal design of PDC bit and the analysis of steering performance of PDC bit.Practical calculation shows that the model and method are practical and can be further promoted.

PDC bit;cutting teeth;cutting parameters;trajectory;directional drilling

鄒德永，王家駿，于金平，等.定向鉆井PDC鉆頭切削參數(shù)計(jì)算方法［J］.石油鉆采工藝，2014，36（5）：5-9.

TE249

：A

1000–7393（2014） 05–0005–05

10.13639/j.odpt.2014.05.002

國(guó)家“十二五”科技重大專項(xiàng)“薄互層低滲透油藏水平井優(yōu)快鉆井技術(shù)”的子課題“薄互層水平井導(dǎo)向PDC鉆頭優(yōu)化設(shè)計(jì)及導(dǎo)向特性研究”（編號(hào)：05Z12020300）；中國(guó)石油大學(xué)（華東）校自主創(chuàng)新基金（編號(hào)：12CX06025A）。

鄒德永，1962年生。2004年獲得中國(guó)石油大學(xué)（華東）油氣井工程專業(yè)博士學(xué)位，現(xiàn)從事油氣井工程方面的教學(xué)與科研工作，教授、博士生導(dǎo)師。電話：18561409382。E-mail：upc-zoudy@163.com。