季順迎　趙金鳳　狄少丞　孫珊珊

摘要：離散元計算分析軟件對解決環(huán)境力學(xué)中的離散介質(zhì)問題有至關(guān)重要的作用.針對環(huán)境災(zāi)害中的非規(guī)則顆粒單元，以圓球顆粒為基本單元，分別構(gòu)造鑲嵌組合單元、黏結(jié)組合單元、擴(kuò)展圓盤單元和擴(kuò)展多面體單元等，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)基于球形顆粒離散元方法的分析軟件（Software of Spherical Particlebased Discrete Element Method，SDEM）.該軟件可模擬碎冰、巖石和道砟等顆粒材料的力學(xué)行為，能直觀展現(xiàn)這些力學(xué)過程的發(fā)生、發(fā)展和演化；基于GPU的并行計算實現(xiàn)離散元大規(guī)模計算的高效性.對SDEM軟件在地質(zhì)災(zāi)害、工程海冰和鐵路道床等領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行介紹.

關(guān)鍵詞：離散元方法； 環(huán)境力學(xué)； 寒區(qū)工程； 地質(zhì)災(zāi)害； 有砟鐵路道床

中圖分類號： O347.7； TP319

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

0前言

美國學(xué)者CUNDALL等[1]在20世紀(jì)70年代提出的離散元法（Discrete Element Method，DEM） 發(fā)展迅速.特別是近年來，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，該方法已廣泛地應(yīng)用于巖土、化工、生物和環(huán)境等諸多領(lǐng)域.[23]在DEM的工程應(yīng)用中，一直伴隨著相應(yīng)軟件的不斷發(fā)展.CUNDALL和STRACK最早研發(fā)二維圓盤程序BALL和三維圓球程序TRUBAL.[4]1989年英國Aston大學(xué)THORNTON將TRUBAL改進(jìn)為TRUBALAston版，后定名GRANULE.目前，基于DEM的商業(yè)軟件主要有美國Itasca公司的PFC2D和PFC3D，英國DEMSolution公司的EDEM.此外，澳大利亞的相關(guān)學(xué)者也開展出色的工作.

在具有獨立知識產(chǎn)權(quán)的國產(chǎn)軟件研發(fā)中，吉林大學(xué)基于CAD成功解決機(jī)械部件與球體顆粒接觸作用的仿真過程.[5]北京大學(xué)基于DEM的工程計算軟件的前后處理系統(tǒng)，以人機(jī)交互方式實現(xiàn)建模、數(shù)據(jù)傳輸和動畫演示等全部過程，并主要應(yīng)用于沖擊、碰撞和斷裂等動力學(xué)問題中.[6]最近，大連理工大學(xué)面向環(huán)境力學(xué)問題，自行研發(fā)出基于球形顆粒離散元方法的分析軟件（Software of Spherical Particlebased Discrete Element Method，SDEM）.該軟件通過對環(huán)境力學(xué)領(lǐng)域中相關(guān)工程問題的發(fā)生機(jī)理、演化過程進(jìn)行數(shù)值模擬和動態(tài)顯示，為理論分析和工程應(yīng)用提供數(shù)值方法和后處理分析技術(shù).此外，基于GPU并行計算的高性能數(shù)值算法，實現(xiàn)離散元方法的大規(guī)模計算.目前，SDEM已成功應(yīng)用到工程海冰、地質(zhì)災(zāi)害和鐵路道床等環(huán)境力學(xué)領(lǐng)域.

1SDEM中離散單元的構(gòu)造

在自然條件下，鐵路道砟、浮冰和塊石等散體材料都以非規(guī)則形態(tài)存在.為此，在SDEM中通過黏結(jié)、鑲嵌和擴(kuò)展等不同方式進(jìn)行非規(guī)則顆粒構(gòu)造，以精確描述顆粒幾何形態(tài).

1.1鑲嵌式組合顆粒單元

針對巖土材料中塊石顆粒的非規(guī)則性，可采用具有鑲嵌模式的組合顆粒單元進(jìn)行構(gòu)造.該組合顆粒由不同粒徑的球形顆粒按一定組合方式構(gòu)成，見圖1.對于該組合顆粒的質(zhì)量、質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量采用有限分割法確定，并通過四元數(shù)方法進(jìn)行組合顆粒的動力學(xué)分量在整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)換.[7]采用鑲嵌式組合單元可以根據(jù)設(shè)定的顆粒形態(tài)進(jìn)行任意組合，應(yīng)用簡便.

1.2黏結(jié)式組合顆粒單元

對于可破碎的非規(guī)則顆粒單元，可以通過球形顆粒黏結(jié)的模式進(jìn)行構(gòu)造，見圖2.該非規(guī)則單元可在一定作用力下按一定的破壞準(zhǔn)則發(fā)生破碎.單元間的黏結(jié)方式可采用接觸黏結(jié)或平行黏結(jié).[4]在模擬巖石材料的破碎特性時，一般采用平行黏結(jié)方式，通過黏結(jié)球體單元間的作用力和力矩，確定其法向應(yīng)力和切向應(yīng)力.采用該平行黏結(jié)模式不僅可以構(gòu)造非規(guī)則顆粒單元，而且可以對連續(xù)體材料的破壞過程進(jìn)行模擬.[89]

1.3擴(kuò)展多面體單元

擴(kuò)展多面體單元具有計算簡便、精度高的特點，可精確描述自然環(huán)境下顆粒材料的幾何形態(tài).[1011]在一個基礎(chǔ)多面體模型的表面設(shè)置若干個等粒徑的球體顆粒，所有球體顆粒的球心位于基礎(chǔ)多面體的表面.采用該擴(kuò)展模型可將空間上的一個點擴(kuò)展為一個球體，將一條線段擴(kuò)展為一個圓柱及柱端的兩個半球體，將任一平面擴(kuò)展為由圓柱體包絡(luò)的具有一定厚度的板，將任一多面體擴(kuò)展為具有光滑棱邊及棱角的多面體.采用擴(kuò)展多面體模型構(gòu)造的塊石顆粒見圖3.

類似于擴(kuò)展多面體單元，還可構(gòu)造擴(kuò)展圓盤單元：首先對所需要構(gòu)造的圓形單元進(jìn)行函數(shù)定義，然后采用無限多個球型顆粒對其填充，以構(gòu)造出所設(shè)定單元形態(tài)，見圖4.由此，圓盤單元間的相互作用轉(zhuǎn)變?yōu)榍蝮w單元的接觸判斷和作用力計算.

為便于離散元方法在環(huán)境力學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，需要研發(fā)操作簡易、應(yīng)用靈活的前后處理系統(tǒng).SDEM可顯示散體材料內(nèi)部力鏈的分布，直觀地展現(xiàn)結(jié)構(gòu)體與顆粒以及顆粒之間的接觸狀態(tài).

2SDEM在環(huán)境力學(xué)中的應(yīng)用

目前，SDEM已應(yīng)用于工程海冰、鐵路道床和地質(zhì)災(zāi)害等不同研究領(lǐng)域.

2.1SDEM在工程海冰中的應(yīng)用

2.1.1船舶在碎冰區(qū)航行的離散元模擬

近年來，隨著極地科學(xué)考察和油氣資源開發(fā)以及北極夏季通航可行性研究的開展，冰區(qū)船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計和航運性能分析引起人們更多的重視.針對碎冰區(qū)海冰的結(jié)構(gòu)特點，采用三維圓盤單元描述碎冰塊，對其與船體結(jié)構(gòu)的相互作用過程進(jìn)行離散元分析.當(dāng)海冰單元直徑在4.0～6.0 m隨機(jī)分布時，初始密集度為50%，船舶以4.0 m/s的速度行進(jìn)，此時海冰與船體的相互作用的整體狀況見圖5，海冰單元與船體的接觸碰撞見圖6.[12]在不同冰速、冰厚、冰塊尺寸和冰塊密集度等海冰條件下，對海冰與船體動力作用過程進(jìn)行數(shù)值分析，可為冰區(qū)船舶的安全運行和結(jié)構(gòu)設(shè)計提供一定借鑒.

2.1.2海冰與海洋結(jié)構(gòu)相互作用的離散元模擬

在冰區(qū)油氣開發(fā)中，海冰會導(dǎo)致海洋結(jié)構(gòu)的強(qiáng)烈振動，并對結(jié)構(gòu)累積疲勞損傷、上部油氣管線和設(shè)備以及操作人員健康構(gòu)成很大威脅.目前，我國渤海冰區(qū)的導(dǎo)管架海洋平臺主要包括直立、錐體和自升式結(jié)構(gòu)等.采用離散元模型可對海冰與不同類型海洋結(jié)構(gòu)相互作用中的隨機(jī)破碎過程、冰載荷時程和冰激結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值計算.

在海冰與直立腿導(dǎo)管架海洋平臺結(jié)構(gòu)相互作用的離散元模擬中，將海冰離散為若干個規(guī)則排列且具有黏結(jié)破碎功能的顆粒單元，并通過海冰單軸壓縮試驗對單元間的黏結(jié)強(qiáng)度進(jìn)行確定.在此基礎(chǔ)上，對直立海洋平臺結(jié)構(gòu)的隨機(jī)作用過程進(jìn)行數(shù)值計算，獲得不同樁徑下的冰載荷和結(jié)構(gòu)冰振響應(yīng).海冰與直立海洋平臺結(jié)構(gòu)相互作用過程見圖7.由此可以看出顆粒的平均作用力，也反映冰內(nèi)應(yīng)力場分布的大致規(guī)律[8].

在冰區(qū)油氣開發(fā)中，海洋平臺上的錐體結(jié)構(gòu)可以有效降低冰力，避免強(qiáng)烈的冰激振動，是目前渤海油氣平臺的主要結(jié)構(gòu)形式.采用離散元模型可對海冰與錐體結(jié)構(gòu)的相互作用過程進(jìn)行數(shù)值模擬，對比分析上錐體和下錐體冰力的大小和特征.[9]在海冰與錐體結(jié)構(gòu)的相互作用過程中，海冰主要以彎曲破碎為主，顆粒間發(fā)生拉伸和剪切破壞.將錐體平臺簡化為具有等效的質(zhì)量剛度阻尼的計算模型，并且不考慮錐體的變形.海冰與錐體結(jié)構(gòu)相互作用過程見圖8.計算結(jié)果表明，DEM可以有效模擬海冰與錐體結(jié)構(gòu)的相互作用過程，有效確定不同冰厚、冰速和冰強(qiáng)度條件下的冰載荷，并可分析不同錐角和錐徑下的冰載荷.

在海冰與海洋結(jié)構(gòu)相互作用的離散元模擬中，結(jié)構(gòu)尺度的增大對計算規(guī)模和計算效率提出迫切的需求.為此，采用CUDA編程平臺實現(xiàn)基于GPU的大規(guī)模離散元并行計算.為模擬大面積海冰分布，

取顆粒單元數(shù)目為16萬個，其與自升式海洋平臺的作用過程見圖9.由此可確定海冰與多樁腿結(jié)構(gòu)的冰載荷，并分析海冰與海洋結(jié)構(gòu)相互作用過程中的破碎、重疊和堆積特性.

2.2SDEM在地質(zhì)災(zāi)害中應(yīng)用

2.2.1山體滑坡過程的離散元模擬

在地質(zhì)災(zāi)害中，邊坡的破壞形式有很多種.這里采用SDEM對重慶武隆雞尾山的垮塌過程進(jìn)行離散元分析.該垮塌在空間分布上具有明顯的崩滑區(qū)、鏟刮區(qū)、滑坡主堆積區(qū)和碎屑流堆積區(qū)等四部分.[13]針對以上滑坡特性，采用具有破碎特性的黏結(jié)顆粒模型模擬巖體材料.

首先對地質(zhì)體進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，并提取地質(zhì)體表面的三角形節(jié)點坐標(biāo)構(gòu)造地質(zhì)體模型，然后對關(guān)鍵塊體進(jìn)行顆粒填充，見圖10.通過設(shè)置顆粒間的不同黏結(jié)強(qiáng)度以模擬地質(zhì)體的力學(xué)性質(zhì).該山體垮塌過程的離散元模擬見圖11.由此可對該山體垮塌的形成機(jī)理和演化過程進(jìn)行數(shù)值分析.

2.2.2巖石破壞中聲發(fā)射現(xiàn)象的離散元模擬

對于巖質(zhì)邊坡，聲發(fā)射特征是典型的內(nèi)部破壞狀態(tài)與宏觀可測物理量間的指標(biāo).這里采用SDEM軟件對巖石試樣在單軸壓縮破壞過程及其伴隨的聲發(fā)射現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)值分析.[14]巖石試樣在單軸壓縮下的離散元模擬見圖12.巖石試樣在不同壓縮應(yīng)變下的力鏈結(jié)構(gòu)和破壞狀態(tài)見圖13.通過離散元模擬得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線及顆粒間的破碎規(guī)律可確定聲發(fā)射特征.

2.3SDEM在風(fēng)沙區(qū)鐵路有砟道床中的應(yīng)用

為模擬鐵路有砟道床的動力特性，分別采用組合顆粒單元和擴(kuò)展多面體單元模擬道砟碎石顆粒.在此基礎(chǔ)上，分別對風(fēng)沙貫入下的道砟力學(xué)特性和往復(fù)載荷作用下的動力特性進(jìn)行離散元分析.

2.3.1含沙鐵路道砟變形模量的離散元模擬

針對風(fēng)沙區(qū)有砟鐵路道床的結(jié)構(gòu)特性，研究其在細(xì)沙貫入下的有效變形模量，有助于理解風(fēng)沙影

響下的道床動力特性.采用離散單元模型對不同含沙率道砟材料的有效變形模量進(jìn)行數(shù)值分析.

在離散元數(shù)值模擬中，細(xì)沙和道砟顆粒隨機(jī)放置于剛性圓筒內(nèi)，見圖14.計算得到的不同含沙率道砟材料變形模量見圖15.可知，在低含沙率時，沙石混合體的變形模量基本保持不變；在高含沙率時，變形模量隨含沙率的增加呈線性降低.基于離散單元模型的數(shù)值模擬，還可在細(xì)觀尺度上對沙石混合體的力鏈強(qiáng)度、空間分布及配位數(shù)進(jìn)行分析，揭示沙石混合體有效變形模量隨含沙量變化的內(nèi)在機(jī)理.[15]

2.3.2鐵路道砟在往復(fù)載荷下的離散元模擬

對有砟鐵路道床在往復(fù)載荷作用下的動力特性研究有助于道床結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計.采用擴(kuò)展多面體單元可構(gòu)造非規(guī)則的道砟顆粒，并對道砟材料在往復(fù)載荷作用下的動力特性進(jìn)行離散元分析，研究其沉降量和形變剛度的演變過程.

選用12種不同幾何形態(tài)的擴(kuò)展多面體道砟顆粒，對道砟材料在往復(fù)載荷下的動力特性進(jìn)行離散元分析，見圖16.道砟顆粒粒徑在36～63 mm間隨機(jī)分布.

在90個加載周期內(nèi)，軌枕沉降量的變化情況見圖17.結(jié)果表明，軌枕位移在隨往復(fù)載荷上下振蕩過程中，其有效剛度和累積沉降量在初始階段波動較大，然后隨道砟材料的密實過程不斷增加并趨于穩(wěn)定.該擴(kuò)展多面體單元能夠合理地模擬道砟材料的動力行為，由其細(xì)觀作用過程揭示相應(yīng)的宏觀演化規(guī)律.

3結(jié)束語

針對環(huán)境力學(xué)中的顆粒材料計算力學(xué)問題，研制出SDEM軟件.該軟件可通過構(gòu)造鑲嵌組合單元、黏結(jié)組合單元以及擴(kuò)展的圓盤和多面體單元對不同形態(tài)的顆粒單元進(jìn)行相對精確的描述.此外，還開展基于GPU的大規(guī)模離散元數(shù)值計算，以更好地解決環(huán)境力學(xué)問題的計算規(guī)模和計算效率.采用SDEM對工程海冰、地質(zhì)災(zāi)害和風(fēng)沙區(qū)有砟道床的動力特性進(jìn)行離散元數(shù)值分析，有效解決相應(yīng)的工程問題.

在目前SDEM基礎(chǔ)上，將針對環(huán)境力學(xué)中的顆粒材料計算力學(xué)問題，進(jìn)一步開展顆粒滲流、復(fù)雜邊界條件和顆粒形態(tài)等方面的研究.

致謝：SDEM的研發(fā)得到美國Clarkson大學(xué)Hayley H SHEN教授的指導(dǎo)；美國陸軍寒區(qū)研究與工程實驗室（CREEL） Mark A HOPKINS博士對擴(kuò)展多面體離散元模型的程序研發(fā)給予大力支持，在此深表謝意.

參考文獻(xiàn)：

[1]CUNDALL P A， STRACK O D L. A discrete numerical model for granular assembles[J]. Géotechnique， 1979， 29（1）： 4765.

[2]CLEARY P W. DEM prediction of industrial and geophysical particle flows[J]. Particuology Sci & Technol Particles， 2010， 8（2）： 106118.

[3]徐泳， 孫其誠， 張凌， 等. 顆粒離散元法研究進(jìn)展[J]. 力學(xué)進(jìn)展， 2003， 33（2）： 251260.

[4]POTYONDYA D O， CUNDALL P A. A bondedparticle model for rock[J]. Int J Rock Mech & Mining Sci， 2004， 41（8）： 13291364.

[5]付宏， 商慧， 于建群. 三維離散元法軟件開發(fā)研究[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版， 2005， 33（S1）： 345348.

[6]鄭文剛， 劉凱欣. 離散元法工程計算軟件的前后處理系統(tǒng)[J]. 計算機(jī)工程與科學(xué)， 2000， 22（6）： 1416.

[7]YAN Ying， JI Shunying. Discrete element modeling of direct shear tests for a granular material[J]. Int J Numer & Anal Methods Geomechanics， 2010， 34（9）： 978990.

[8]季順迎， 狄少丞， 李正， 等. 海冰與直立結(jié)構(gòu)相互作用的離散單元數(shù)值模擬[J]. 工程力學(xué)， 2013， 30（1）： 463469.

[9]DI Shaocheng， JI Shunying， YUE Qianjin， et al. Ice loads on conical offshore structures based on discrete element simulation[C]// Proc 21st IAHR Int Symp Ice， Dalian， 2012.

[10]HOPKINS M A. Discrete element modeling with dilated particles[J]. Eng Comput， 2004， 21（24）： 422430.

[11]HOPKINS M A， SHEN H H. Simulation of pancakeice dynamics in a wave field[J]. Annals of Glaciology， 2001， 33（1）： 355360.

[12]季順迎， 李紫麟， 李春花， 等. 碎冰區(qū)海冰與船舶結(jié)構(gòu)相互作用的離散元分析[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報， 2013， 30（4）： 520526.

[13]馮振， 殷躍平， 李濱， 等. 重慶武隆雞尾山滑坡視向滑動機(jī)制分析[J]. 巖土力學(xué)， 2012， 33（9）： 27042712.

[14]JI Shunying， DI Shaocheng. Discrete element modeling of acoustic emission in rock fracture[J]. Theor & Appl Mech Lett， 2013， 3（2）： 4852.

[15]嚴(yán)穎， 狄少丞， 蘇勇， 等. 風(fēng)沙影響下鐵路道砟變形模量的離散元數(shù)值分析[J]. 計算力學(xué)學(xué)報， 2012， 29（3）： 439445.

（編輯于杰）

參考文獻(xiàn)：

[1]CUNDALL P A， STRACK O D L. A discrete numerical model for granular assembles[J]. Géotechnique， 1979， 29（1）： 4765.

[2]CLEARY P W. DEM prediction of industrial and geophysical particle flows[J]. Particuology Sci & Technol Particles， 2010， 8（2）： 106118.

[3]徐泳， 孫其誠， 張凌， 等. 顆粒離散元法研究進(jìn)展[J]. 力學(xué)進(jìn)展， 2003， 33（2）： 251260.

[4]POTYONDYA D O， CUNDALL P A. A bondedparticle model for rock[J]. Int J Rock Mech & Mining Sci， 2004， 41（8）： 13291364.

[5]付宏， 商慧， 于建群. 三維離散元法軟件開發(fā)研究[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版， 2005， 33（S1）： 345348.

[6]鄭文剛， 劉凱欣. 離散元法工程計算軟件的前后處理系統(tǒng)[J]. 計算機(jī)工程與科學(xué)， 2000， 22（6）： 1416.

[7]YAN Ying， JI Shunying. Discrete element modeling of direct shear tests for a granular material[J]. Int J Numer & Anal Methods Geomechanics， 2010， 34（9）： 978990.

[8]季順迎， 狄少丞， 李正， 等. 海冰與直立結(jié)構(gòu)相互作用的離散單元數(shù)值模擬[J]. 工程力學(xué)， 2013， 30（1）： 463469.

[9]DI Shaocheng， JI Shunying， YUE Qianjin， et al. Ice loads on conical offshore structures based on discrete element simulation[C]// Proc 21st IAHR Int Symp Ice， Dalian， 2012.

[10]HOPKINS M A. Discrete element modeling with dilated particles[J]. Eng Comput， 2004， 21（24）： 422430.

[11]HOPKINS M A， SHEN H H. Simulation of pancakeice dynamics in a wave field[J]. Annals of Glaciology， 2001， 33（1）： 355360.

[12]季順迎， 李紫麟， 李春花， 等. 碎冰區(qū)海冰與船舶結(jié)構(gòu)相互作用的離散元分析[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報， 2013， 30（4）： 520526.

[13]馮振， 殷躍平， 李濱， 等. 重慶武隆雞尾山滑坡視向滑動機(jī)制分析[J]. 巖土力學(xué)， 2012， 33（9）： 27042712.

[14]JI Shunying， DI Shaocheng. Discrete element modeling of acoustic emission in rock fracture[J]. Theor & Appl Mech Lett， 2013， 3（2）： 4852.

[15]嚴(yán)穎， 狄少丞， 蘇勇， 等. 風(fēng)沙影響下鐵路道砟變形模量的離散元數(shù)值分析[J]. 計算力學(xué)學(xué)報， 2012， 29（3）： 439445.

（編輯于杰）

參考文獻(xiàn)：

[1]CUNDALL P A， STRACK O D L. A discrete numerical model for granular assembles[J]. Géotechnique， 1979， 29（1）： 4765.

[2]CLEARY P W. DEM prediction of industrial and geophysical particle flows[J]. Particuology Sci & Technol Particles， 2010， 8（2）： 106118.

[3]徐泳， 孫其誠， 張凌， 等. 顆粒離散元法研究進(jìn)展[J]. 力學(xué)進(jìn)展， 2003， 33（2）： 251260.

[4]POTYONDYA D O， CUNDALL P A. A bondedparticle model for rock[J]. Int J Rock Mech & Mining Sci， 2004， 41（8）： 13291364.

[5]付宏， 商慧， 于建群. 三維離散元法軟件開發(fā)研究[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版， 2005， 33（S1）： 345348.

[6]鄭文剛， 劉凱欣. 離散元法工程計算軟件的前后處理系統(tǒng)[J]. 計算機(jī)工程與科學(xué)， 2000， 22（6）： 1416.

[7]YAN Ying， JI Shunying. Discrete element modeling of direct shear tests for a granular material[J]. Int J Numer & Anal Methods Geomechanics， 2010， 34（9）： 978990.

[8]季順迎， 狄少丞， 李正， 等. 海冰與直立結(jié)構(gòu)相互作用的離散單元數(shù)值模擬[J]. 工程力學(xué)， 2013， 30（1）： 463469.

[9]DI Shaocheng， JI Shunying， YUE Qianjin， et al. Ice loads on conical offshore structures based on discrete element simulation[C]// Proc 21st IAHR Int Symp Ice， Dalian， 2012.

[10]HOPKINS M A. Discrete element modeling with dilated particles[J]. Eng Comput， 2004， 21（24）： 422430.

[11]HOPKINS M A， SHEN H H. Simulation of pancakeice dynamics in a wave field[J]. Annals of Glaciology， 2001， 33（1）： 355360.

[12]季順迎， 李紫麟， 李春花， 等. 碎冰區(qū)海冰與船舶結(jié)構(gòu)相互作用的離散元分析[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報， 2013， 30（4）： 520526.

[13]馮振， 殷躍平， 李濱， 等. 重慶武隆雞尾山滑坡視向滑動機(jī)制分析[J]. 巖土力學(xué)， 2012， 33（9）： 27042712.

[14]JI Shunying， DI Shaocheng. Discrete element modeling of acoustic emission in rock fracture[J]. Theor & Appl Mech Lett， 2013， 3（2）： 4852.

[15]嚴(yán)穎， 狄少丞， 蘇勇， 等. 風(fēng)沙影響下鐵路道砟變形模量的離散元數(shù)值分析[J]. 計算力學(xué)學(xué)報， 2012， 29（3）： 439445.

（編輯于杰）