趙云

（中國民航大學設備處，天津 300300）

不確定模糊系統(tǒng)的H∞魯棒動態(tài)輸出反饋控制

趙云

（中國民航大學設備處，天津 300300）

研究不確定T-S模糊系統(tǒng)的H∞魯棒控制問題，選取全局動態(tài)輸出反饋控制器，得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。在此基礎上，為方便運用計算機進行求解，對矩陣進行非奇異分解，將條件轉(zhuǎn)化為求解線性矩陣不等式的問題，并進一步通過變量之間的關系求得動態(tài)輸出反饋控制器的待確定矩陣。選取了全局動態(tài)輸出反饋控制器來研究不確定模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并考慮了加入外界干擾后，系統(tǒng)滿足H∞魯棒控制性能。最后的數(shù)值算例說明方法的可行性與有效性。

不確定系統(tǒng)；動態(tài)輸出反饋控制器；線性矩陣不等式；H∞性能指標

在工業(yè)建模過程中，非線性、不確定性是普遍存在的現(xiàn)象。T-S作為一種有效解決非線性問題穩(wěn)定性的有效方法，自其提出以來，便取得了眾多學者的關注。在非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的研究取得了巨大的成就。對于模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究主要為狀態(tài)反饋和輸出反饋的研究，然而，系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律的應用要求系統(tǒng)的狀態(tài)可測，所以對于狀態(tài)不可測的系統(tǒng)不適合運用狀態(tài)反饋研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果用系統(tǒng)的輸出反饋可以達到閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則更適合運用輸出反饋的控制方式。目前的研究多為靜態(tài)輸出反饋控制，文獻[1-3]均為系統(tǒng)的輸出反饋控制。

動態(tài)輸出反饋能夠動態(tài)地把握系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)穩(wěn)定性的魯棒性。所以動態(tài)輸出反饋控制的研究更具有實際意義。文獻[4]研究了一類不確定離散模糊的H∞魯棒動態(tài)輸出反饋控制；文獻[5]則研究了分布時滯系統(tǒng)的輸出動態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題，運用Lyapunov-Krasovskii泛函的構造和解析技巧，建立了與時滯相關的控制器存在性判據(jù)；文獻[6]研究了不確定脈沖系統(tǒng)動態(tài)輸出反饋H∞控制問題。文獻[5-6]均不是模糊系統(tǒng)，文獻[4]是模糊離散系統(tǒng)且動態(tài)輸出反饋控制器的設計有所局限。本文在已有的理論基礎上，選取動態(tài)輸出反饋控制器，考慮不確定模糊連續(xù)系統(tǒng)的H∞控制問題。通過對正定對稱矩陣進行非奇異分解，得到滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的線性矩陣不等式的充分條件。最后用數(shù)值算例驗證了方法的可行性。

1 問題描述

考慮到由模糊T-S模型所描述的不確定非線性系統(tǒng)：

第i條模糊推理規(guī)則：如果z1（t）是Fi1且z2（t）是Fi2……且zn（t）是Fin，則

其中：Fij（i=1，2，…，r，j=1，2，…，n）是模糊集合；r是模糊規(guī)則數(shù)；z1（t），z2（t），…，zn（t）是依賴可測量變量的前件變量；x（t）∈Rn是狀態(tài)變量；u（t）∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入；z（t）∈Rl是系統(tǒng)的控制輸出；y（t）∈Rm是觀測變量；w（t）∈Rm是系統(tǒng)的外界干擾；Ai，Bi，B2i，C1i，C2i，Di，D1i，D2i是適當維數(shù)的矩陣；ΔAi，ΔBi是適當維數(shù)的矩陣，在系統(tǒng)模型中表示結構不確定。

應用單點模糊化、成績推理和中心加權反模糊化推理方法，得到全局模糊系統(tǒng)（1）模型

Fij（zj（t））是zj（t）關于模糊集Fij的隸屬函數(shù)，αi（z（t））滿足

假設假設不確定系統(tǒng)參數(shù)不確定的矩陣是模有界的，其形式為

其中：Mi，N1i和N2i是已知適當維數(shù)矩陣；Fi（t）是未知函數(shù)矩陣，其每個元素是Lebesgue可測的函數(shù)，并滿足FiT（t）Fi（t）≤I，其中I是單位陣。

對于模糊系統(tǒng)（1），根據(jù)模糊平行分布補償算法（PDC），設計全局動態(tài)模糊輸出反饋控制器如下：

模糊規(guī)則i：如果z1（t）是Fi1且z2（t）是Fi2……且zn（t）是Fin，則

將全局動態(tài)模糊輸出反饋控制器（2）應用到模糊系統(tǒng)（1），得到閉環(huán)系統(tǒng)（3）如下

引理1 對具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣D、E及對稱常數(shù)矩陣S，矩陣不等式[7]

成立的充要條件是，?ε＞0滿足下面的矩陣不等式

引理2 對具有適當維數(shù)的矩陣X，Y則?ε＞0，有下列不等式[8]

定義1 對任意非零w（t）∈L2[0，∞）成立，滿足

2 主要結論

本文的目的是設計全局動態(tài)模糊輸出反饋控制器（2）使得系統(tǒng)（1）穩(wěn)定且滿足H∞控制。首先考慮系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，繼而根據(jù)矩陣的非奇異分解，將充分條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，以方便借助計算機進行求解。

定理1 對于給定的γ＞0，如果存在ε＞0和正定對稱矩陣P滿足下列矩陣不等式，則閉環(huán)系統(tǒng)（3）魯棒漸近穩(wěn)定且滿足H∞控制性能

證明取Lyapunov函數(shù)V（ξ（t））=ξT（t）Pξ（t），首先考慮w（t）=0

由Schur分解可得

根據(jù)式（5）可得式（7）成立，所以式（6）成立。

下面考慮加入外界干擾后，系統(tǒng)（3）的H∞控制性能。取

根據(jù)引理1，上式小于0的充分必要條件是：?ε＞0，滿足下面的矩陣不等式

根據(jù)Schur分解可得式（5），由式（5）成立可得

同理，由（4）成立可得

由式（9）和式（10）易得J（t）＜0。

由J（t）=V˙（x（t））+zT（t）z（t）-γ wT（t）w（t）＜0，兩邊對t積分得

因為V（x（t））＞0，所以

系統(tǒng)（3）滿足H∞控制性能。

定理2 對于給定的γ＞0，如果存在ε＞0，正定對稱矩陣X、Y和矩陣滿足下列矩陣不等式，則存在全局動態(tài)模糊控制器（2）使得模糊系統(tǒng)（1）魯棒漸近穩(wěn)定且滿足H∞控制性能。

i＜j=1，2，3，…，r，*表示相對位置的轉(zhuǎn)置矩陣。其中

更進一步，全局動態(tài)模糊輸出反饋控制器的待確定參數(shù)可以通過下式求得

其中S和M是非奇異矩陣，且滿足SMT=I-XY。

證明取Lyapunov函數(shù)V（ξ（t））=ξT（t）Pξ（t），先對矩陣P和P-1進行如下分塊

其中：X，Y是對稱矩陣。由PP-1=I易得更進一步可得

對式（11）左右分別乘diag[F1-T，I，I，I，I]和diag [F1-1，I，I，I，I]可得式（15）。

因為下列矩陣運算

由式（11）可得定理1中的式（4）成立。同理式（5）也成立。由定理1可得定理2成立。

3 數(shù)值算例

考慮不確定非線性模糊系統(tǒng)（1）取參數(shù)如下

根據(jù)式（13）和式（14），可以很容易得到動態(tài)輸出控制器的待定矩陣

4 結語

本文在設計全局動態(tài)輸出反饋控制器的基礎上研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并在加入了外界干擾后，考慮了系統(tǒng)的H∞性能控制。通過運用矩陣的非奇異矩陣分解，將給定的充分條件轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式，使得系統(tǒng)在穩(wěn)定的同時滿足H∞性能控制。對于狀態(tài)不可測的模糊系統(tǒng)，更適合運用動態(tài)輸出反饋控制器，新得到的結論使得不確定模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性更具有魯棒性。最后的數(shù)值算例驗證了方法的可行性。不足之處在于矩陣的非奇異分解要求相對高一些，因此對被控輸入有了一定的限制，今后應在廣泛應用方面進行進一步的研究。

[1]蘇成利，王樹青.一類不確定模糊模型的輸出反饋魯棒預測控制[J].控制理論與應用，2006，23（5）：768-772.

[2]李 麗，鞏長忠.不確定模糊系統(tǒng)的輸出反饋控制[J].遼寧工學院學報，2005，25（1）：17-22.

[3]何率天，達飛鵬，柴春紅，等.模糊時滯系統(tǒng)的輸出反饋控制器設計[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2007，2l（4）：74-79.

[4]XU SHENGYUAN，LAM JAMES.Robust H∞control for uncertain discrete-time-delay fuzzy systems via output feedback controllers[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2005，13（1）：82-93.

[5]錢 偉，沈國江，孫優(yōu)賢.基于LMI的分布時滯系統(tǒng)輸出動態(tài)反饋鎮(zhèn)定[J].控制理論與應用，2009，26（4）：446-450.

[6]陳武華，唐友建，王俊歌，等.不確定脈沖系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋H∞控制[J].控制理論與應用，2009，26（2）：145-150.

[7]佟紹成，王 濤，王艷平，等.模糊系統(tǒng)的設計及穩(wěn)定性分析[M].北京：科學出版社，2004：269-302.

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（責任編輯：楊媛媛）

Robust H∞control for uncertain fuzzy systems via dynamic output feedback controller

ZHAO Yun
（Facility Division，CAUC，Tianjin 300300，China）

The problem of robust H∞control for a class of T-S uncertain fuzzy systems has been studied，as well as the sufficient conditions，which maintain the robust H∞control of the whole fuzzy systems based on the full order fuzzy dynamic output feedback controller.On this basis，the matrix is divided into two nonsingular matrices，and the sufficient condition is transformed into linear matrix inequalities（LMIs），in order to solve the question by software Matlab.What's more，the matrices of dynamic output feedback controller，which are to be determined，can be obtained by the relationship of matrices in sufficient conditions.The full order fuzzy dynamic output feedback controller is used to study the problem of stability for fuzzy uncertain systems，and the robust fuzzy H∞control problem is also discussed.Furthermore the final numerical example is included to show the effectiveness of the proposed method.

uncertain system；dynamic output feedback controller；linear matrix inequalities；H∞performance indicators

TP13

：A

：1674-5590（2014）01-0051-06

2012-09-22；

：2012-11-22

趙 云（1985—），女，河北邢臺人，實習研究員，碩士，研究方向為模糊控制.