劉洋洋，楊朝星，陸宇平

（南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京 210016）

空中加油出現(xiàn)于上世紀初，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，該技術日臻成熟，目前主要有兩種典型形式：軟式（插頭-錐管式）空中加油和硬式（伸縮管式）空中加油[1]。目前國外學者對硬式加油系統(tǒng)建模已有研究[2-3]，所建模型也較為精確，但其對加油機與伸縮管內部的約束作用沒有做具體分析。國內有學者對伸縮管在大氣擾動下進行了單獨建模[4]；也有學者基于簡化的加油系統(tǒng)模型，運用反饋線性化[5]、非對消解耦[6]、特征結構配置[7]等方法研究了伸縮管縱向與橫側向運動的解耦問題。

本文結合國內外學者的相關研究，用牛頓-歐拉法建立了硬式空中加油未對接系統(tǒng)的動力學方程。所建模型將加油機考慮在內，比文獻[4]的研究成果更加完整；另外，由于考慮了系統(tǒng)的約束作用，當加油機運動狀態(tài)改變時，模型能夠反映伸縮管運動狀態(tài)的變化，比文獻[5-7]中的簡化模型更接近實際加油系統(tǒng)的運動特性；基于以上優(yōu)點，本文的研究成果能夠為空中加油未對接系統(tǒng)的控制方案設計提供一個更好的模型和比較完整的驗證依據(jù)，更具實際工程應用價值。

1 系統(tǒng)結構及坐標系定義

1.1 系統(tǒng)結構

硬式空中加油系統(tǒng)由加油機、伸縮管、受油機組成，本次建立未對接系統(tǒng)的模型，不考慮受油機，把加油機看成1號剛體，伸縮管看成2號剛體。伸縮管通過萬向節(jié)與加油機機腹相連，其圍繞加油機進行俯仰和滾轉運動。

伸縮管的具體結構見圖1，由伸縮主管、外伸管、方向舵、升降舵等組成，其結構左右對稱，伸縮管與加油機固連的一端稱為管頭，另一端稱為管尾。

圖1 伸縮管結構Fig.1 Boom’s structure

1.2 坐標系定義

伸縮管管體坐標系O2X2Y2Z2：取伸縮管與加油機的鉸接點O2作為原點，坐標系與管體固連，O2X2與管體軸線平行并指向管頭，O2Y2垂直于伸縮管的對稱平面并指向管體右方，O2Z2在伸縮管對稱面內與O2X2垂直并指向管體下方。

設!e、1

地面坐標系O0X0Y0Z0按慣性系定義，加油機機體坐標系O1X1Y1Z1按常規(guī)飛機所建立的歐美坐標系[8]定義。 設 i→、j→、k軋分別為機體系O1X1軸、O1Y1軸、O1Z1軸的單位向量。

加油機機體坐標系與伸縮管管體坐標系的關系見圖2，其中，C為伸縮管的質心，γ1為伸縮管繞其俯仰軸轉過的角度，即管體系O2X2軸與機體系O1X1軸的夾角，管頭向上為正；γ2為伸縮管繞其滾轉軸轉過的角度，即管體系O2Y2軸與機體系O1Y1軸的夾角，右滾轉為正。

圖2 坐標系關系示意圖Fig.2 The general view of coordinate system

1.3 相關角度定義

伸縮管管體坐標系相對于加油機機體坐標系的3個角定義為 俯仰角θ21：管體系O2X2軸與O1X1Y1平面所成的角，管頭向上為正。

偏航角ψ21：管體系O2X2軸在O1X1Y1平面的投影與O1X1軸的夾角，管尾左偏為正。

滾轉角φ21：管體系O2Z2軸與O2X2軸、O1Z1軸所組成的平面的夾角，右滾轉為正。

加油機的俯仰角 θ1、偏航角 ψ1、滾轉角 φ1、迎角 α1、側滑角β1按照常規(guī)飛機對應角度定義[8]。伸縮管的俯仰角θ2、偏航角 ψ2、滾轉角 φ2、迎角 α2、側滑角 β2類似于常規(guī)飛機對應角度的定義。

根據(jù)以上定義，可得出各坐標系間的轉換關系，機體系到地面系的轉換矩陣與常規(guī)飛機到地面的轉換矩陣相同；管體系到地面系的轉換矩陣類似于機體系到地面系的轉換矩陣。伸縮管圍繞加油機做俯仰和滾轉運動，可得機體系到管體系的轉換矩陣，另外，也可以用θ21、ψ21、φ21表示機體系到管體系的轉換矩陣。

2 牛頓-歐拉法動力學方程推導

2.1 建模假設

伸縮管本身是一個具有三自由度的剛體，但由于俯仰和滾轉是伸縮管運動的主要模態(tài)，且伸縮運動對模型結構影響不大，建模時可以先不考慮伸縮管的伸縮運動。本次建模不考慮大氣紊流和干擾風梯度對系統(tǒng)的影響。

2.2 系統(tǒng)動力學方程推導

2.2.1 伸縮管的力方程組

伸縮管所受的力包括重力、空氣動力、加油機對其的約束力，求出這3個力在管體系中的分量，運用牛頓第二定理可求出伸縮管的力方程組。

2.2.2 伸縮管的力矩方程組

伸縮管受到的外力對質心的力矩有空氣動力矩、約束力產(chǎn)生的力矩、約束力偶矩。

約束力偶矩M→12方向垂直于俯仰軸和滾轉軸所組成的平面，其大小設為 Mk，則

設伸縮管質心在管體系下的坐標為（-rc0 0），則約束力產(chǎn)生的力矩為

根據(jù)動量矩定理可得伸縮管的力矩方程組為

2.2.3 伸縮管的運動方程組

依據(jù)飛機相對地面運動方程組的推導過程，可得伸縮管相對飛機的運動方程組為

2.2.4 加油機的力方程組

加油機所受的力包括重力、空氣動力、發(fā)動機推力，伸縮管對其的約束力，求出這4個力在機體系中的分量，運用牛頓第二定理可求出加油機的力方程組。

2.2.5 加油機的力矩方程組

加油機受到的外力對質心的力矩有空氣動力矩、約束力產(chǎn)生的力矩、力偶矩。

力偶矩M→21在機體系下為

設伸縮管鉸接點在機體坐標系中的坐標為 （x10 z1），則約束力矩為

根據(jù)動量矩定理可得加油機的力矩方程組為

其中，Lˉ1、M1、N1和 f1x、 f1y、 f1z，分別為空氣動力矩和約束力在機體系 3個軸的分量，p1、q1、r1為加油機的角速度 Ω1在機體系 3 個軸的分量，ci（i=1，2，...，9）是與加油機轉動慣量和慣性積相關的系數(shù)[8]。

2.3 約束方程與解約束

2.3.1 系統(tǒng)約束方程

設伸縮管與加油機的相對速度為v→21，由加油機的質心速度v→1和伸縮管質心速度v→2的關系可得

對式（8）求導整理可得

相對速度可由下式表示

運用牛頓第二定理求出式（9）等號左邊的項，將各項求導表達式轉換在機體系下，可得出約束方程。

2.3.2 系統(tǒng)約束求解

下文推導過程中出現(xiàn)的 Bi（i=0，...9）、B˙j（j=0，...5）是 θ21、ψ21的函數(shù)表達式，D0是 p1、q1、r1、q2、r2、θ21、ψ21的函數(shù)表達式，介于篇幅，不再詳細列出。

由機體系到管體系的轉換關系可得

對式（12）求導可得

將式（4）代入并化簡可得

對（14）求導可得

將式（3）、（7）代入式（15）化簡可得

將式（3）、（7）、（16）代入約束方程中，運用克萊姆法則可求解出約束力，將求解出的約束力代入式（16），可求解出約束力矩。至此，系統(tǒng)解約束完成。

對式（10）求導可得

3 模型仿真分析

加油機的質量與伸縮管的質量比約為250:1，飛行高度約為6 000 m，飛行馬赫數(shù)約為0.4。用加油機迎角、平尾偏度、油門偏度、伸縮管升降舵偏度進行配平。配平狀態(tài)下加油機的俯仰角為1.833 5°，伸縮管的俯仰角為30°。

3.1 加油機對伸縮管的影響

3.1.1 加油機對伸縮管縱向運動的影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點，起始時刻正偏加油機升降舵1°，維持一秒后恢復至平衡處。θ1與s1的響應曲線如圖3所示。

圖3 加油機升降舵引起的系統(tǒng)俯仰角響應Fig.3 Response curve of pitch angle caused by the tanker’s elevator

3.1.2 加油機對伸縮管橫側向運動影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點，起始時刻正偏加油機方向舵1°，維持一秒后恢復至平衡處。φ1與γ2的響應曲線如圖4所示。

圖4 加油機方向舵引起的系統(tǒng)滾轉角響應Fig.4 Response curve of roll angle caused by the tanker’s rudder

由圖可見，正如前文所述，加油機的受擾運動對伸縮管的運動產(chǎn)生了很大的影響。在飛行過程中，加油機的舵面即使有較小變化，其影響傳遞至伸縮管都可能成倍放大。

3.2 伸縮管對加油機的影響

3.2.1 伸縮管對加油機縱向運動的影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點，起始時刻正偏伸縮管升降舵5°并保持。θ1與γ1的響應曲線如圖5所示。

3.2.2 伸縮管對加油機橫側向運動影響

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點，起始時刻正偏伸縮管方向舵5°并保持。φ1與γ2的響應曲線如圖6所示。

由圖可見，伸縮管舵面偏轉，其相應角運動有較大的變化，加油機相應的角運動變化遠不及伸縮管顯著，說明伸縮管確實對加油機的運動產(chǎn)生了影響，但由于二者質量懸殊，該影響并不明顯。

3.3 伸縮管的運動耦合

系統(tǒng)初始狀態(tài)處于平衡點，起始時刻正偏伸縮管的升降舵2°并保持，在第15 s時正偏其方向舵5°并保持。γ1與γ2的響應曲線如圖7所示。

圖5 伸縮管升降舵引起的系統(tǒng)俯仰角響應Fig.5 Response curve of pitch angle caused by th boom’s elevator

圖6 伸縮管方向舵引起的系統(tǒng)滾轉角響應Fig.6 Response curve of roll angle caused by the boom’s rudder

圖7 伸縮管舵面偏轉時其角運動響應Fig.7 Response curve of boom’s anglemovement caused by its rudder and elevator

由圖可見，由于伸縮管方向舵的偏轉，其俯仰角響應在穩(wěn)定后又出現(xiàn)較強的振蕩現(xiàn)象，說明伸縮管的橫向與縱向運動間存在耦合；另外，伸縮管角運動響應振蕩收斂，說明伸縮管具有穩(wěn)定性，但阻尼比較低，動態(tài)特性較差。

4 結 論

本文將硬式空中加油未對接系統(tǒng)視作由加油機和伸縮管通過萬向節(jié)連接而成的兩剛體系統(tǒng)，分析了兩剛體的運動特點，由其質心速度關系得出系統(tǒng)約束方程，根據(jù)萬向節(jié)的結構及安裝特點，對約束方程進行求解，建立了系統(tǒng)動力學方程。基于所建模型的特點，在下一步設計系統(tǒng)控制律時應考慮加油機所受擾動及伸縮管運動解耦等問題。

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