作者簡介：郭溪發(fā)（1990-），男，漢族，福建龍海人，碩士研究生，福州大學經(jīng)濟與管理學院，研究方向：風險管理。

摘要：金融資產(chǎn)的波動率度量對于資產(chǎn)風險管理、投資組合以及衍生產(chǎn)品定價都十分重要，本文從極差的角度入手，考慮微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，運用蒙特卡羅模擬的方法得出經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的已實現(xiàn)極差三冪次變差的有效性。

關(guān)鍵詞：高頻數(shù)據(jù)；已實現(xiàn)極差三冪次變差；微觀結(jié)構(gòu)噪聲

一、引言

波動率的度量是金融風險研究的重要內(nèi)容之一，準確地對波動率進行估計，對金融資產(chǎn)的風險管理，投資組合配置，衍生產(chǎn)品定價等方面有著非常重要的意義。Anderson、Bollerslev（2001）提出了基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動（RV）作為二次變差的一致估計量，并從理論上證明在沒有跳躍和微觀結(jié)構(gòu)噪聲的情況下，已實現(xiàn)波動是積分波動的一致估計量。Christensen、Podolskij（2007）和Martin Martens、Dick van Dijk（2007）分別提出了基于價格極差的已實現(xiàn)極差波動（RRV）。已實現(xiàn)極差波動利用了整個價格過程的極差，在信息利用方面顯然比已實現(xiàn)波動更有效率，在理想的情況下（連續(xù)交易、無市場摩擦），已實現(xiàn)極差波動的有效性是已實現(xiàn)波動的5倍。

然而，在跳躍擴散假設條件下，RRV不再是二次變差的一致估計量。因此很多學者研究了在跳躍擴散假設條件下RRV的性質(zhì)，并提出了基于極差的跳躍穩(wěn)健型估計量。主要的理論成果是Christensen、Podolskij等提出的已實現(xiàn)極差雙冪次變差和多冪次變差理論。已實現(xiàn)極差多冪次變差雖然對有限活動的跳躍是穩(wěn)健的，卻沒有考慮到微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響。因此本文擬對跳躍穩(wěn)健型的波動估計量加以改進，消除微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，進一步提高波動估計的準確性。

二、理論基礎(chǔ)

（一）已實現(xiàn)極差波動

假設資產(chǎn)對數(shù)價格p（t）是半鞅過程，一般的跳躍-擴散過程可以寫成如下的形式：

pt=p0+∫t0μudu+∫t0σudWu+∑Nti=1Ji（3-1）

其中，μ=（μt）t≥0是局部有界的漂移函數(shù)，σ=（σt）t≥0是嚴格正的左極限右連續(xù)的隨機波動過程，W=（Wt）t≥0是標準的布朗運動，N=（Nt）t≥0是有限活動的計數(shù)過程，J={Ji}i=1，…，Nt是一系列非零的隨機變量。

當價格過程不含跳躍時，跳躍擴散過程就退化成如下的擴散過程：

pt=p0+∫t0μudu+∫t0σudWu（3-2）

在沒有考慮跳躍的情況下，Christensen、Podolskij（2007）提出了以價格極差為基礎(chǔ)的已實現(xiàn)極差波動。記等抽樣間隔的價格改變量為：

SpiΔ，Δ，m=max0≤s，t≤m{pi-1n+tN-pi-1n+sN}

則RRVn，mb=1λ2，m∑ni=1S2piΔ，Δ，m

其中，λr，m=E（SrW，m）為標準布朗運動極差的r階矩，

SW，m=maxs，t=0，1，…，m（Wt/m-Ws/m）表示標準布朗運動極差，

RRVn，mb表示在有跳躍的情況下是有偏差的。

（二）已實現(xiàn)極差多冪次變差

Christensen、Podolskij（2012）提出了已實現(xiàn)極差多冪次變差，定義如下：

RMVn，m（q1，…，qk）=nn-k+1nq+/2-1∑n-k+1i=1∏kj=1Sqjp（i+j-1）Δ，Δ，mλqj，m

其中，q+=∑kj=1qj，λqj，m=E（SqjW，m）

Christensen、Podolskij（2012）證明了在價格過程服從布朗半鞅的假設下，當抽樣頻率趨于無窮大時：

RMVn，m（q1，…，qk）p∫10σuq+du

同時滿足如下的中心極限定理：

n（RMVn，m（q1，…，qk）-∫10σuq+du）dsMN（0，Λm（q1，…，qk）∫10σu2q+du）

其中，Λm（q1，…，qk）=∏kj=1λ2qj，m-（2k-1）∏kj=1λ2qj，m+2∑k-1h=1∏hj=1λqj，m∏kj=k-h+1λqj，m∏k-hj=1λqj+qj+h，m∏kj=1λ2qj，m

關(guān)于跳躍穩(wěn)健的積分波動估計量的選擇，隨著冪次的增加，估計量對跳躍更加穩(wěn)健，然而在沒有跳躍時則會損失一定的效率為代價，因此從實際的觀點來看，本文選取已實現(xiàn)極差三冪次變差（RTV）作為跳躍穩(wěn)健的積分波動估計量。

三、微觀結(jié)構(gòu)噪聲

在高頻數(shù)據(jù)環(huán)境下，微觀結(jié)構(gòu)噪聲是所有引發(fā)實際價格偏離均衡價格的各種市場微觀結(jié)構(gòu)因素的總稱，包括買賣價差、不連續(xù)交易、交易者信息不對稱導致的價格偏離等等。由于微觀結(jié)構(gòu)噪聲的存在會使得估計出的波動率產(chǎn)生偏差，因此在采用高頻數(shù)據(jù)對波動率進行估計時，首先應該剔除微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響。糾偏除噪方法成為微觀結(jié)構(gòu)噪聲影響下的金融波動率研究的主流。

（一）微觀結(jié)構(gòu)噪聲的基本假設

一般的觀測價格過程Yt包含了有效價格過程Xt和微觀結(jié)構(gòu)噪聲εt，即

Yt=Xt+εt

在有微觀結(jié)構(gòu)噪聲的情況下，不僅二次變差的估計會受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，積分波動的估計同樣會受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，因此未進行微觀結(jié)構(gòu)噪聲處理的波動率估計量是有偏差的。

大多數(shù)文獻都按微觀結(jié)構(gòu)噪聲是獨立同分布的進行處理，即微觀結(jié)構(gòu)噪聲是一個白噪聲過程，并滿足以下假設：

E（εt）=0，Var（εt）=η2，εt⊥εs，s≠t

且ε與有效價格過程Xt相互獨立。

本文的研究同樣基于微觀結(jié)構(gòu)噪聲獨立同分布且獨立于有效價格過程的價格展開。

（二）微觀結(jié)構(gòu)噪聲方差估計量

金融市場的微觀結(jié)構(gòu)導致觀測到的資產(chǎn)價格并不是有效價格，它們之間的差稱為微觀結(jié)構(gòu)噪聲。通常我們需要構(gòu)造微觀結(jié)構(gòu)噪聲方差估計量來度量微觀結(jié)構(gòu)噪聲的大小，并進而分析微觀結(jié)構(gòu)噪聲的相關(guān)性質(zhì)。Bandi和Russell（2006）在微觀結(jié)構(gòu)噪聲收益服從MA（1）結(jié)構(gòu)的假設下，利用觀測到的高頻收益數(shù)據(jù)樣本矩來一致估計不可觀測的噪聲收益，進而得到微觀結(jié)構(gòu)噪聲的一致估計量。

Bandi和Russell（2006）根據(jù)噪聲收益的MA（1）結(jié)構(gòu)，采用高頻收益數(shù)據(jù)的樣本矩來推導出不可觀測的微觀結(jié)構(gòu)噪聲方差的一致估計量。假設h表示一個交易日，考慮n個交易日并將在時刻ih的觀測對數(shù)價格表示如下：

ih=pih+εih，i=1，2，…n.

其中，pih是對數(shù)有效價格，εih表示對數(shù)微觀結(jié)構(gòu)噪聲。

然后將每個交易日劃分成M個等間隔的子區(qū)間，定義觀測到的高頻收益率如下：

j，i=（i-1）h+jδ-（i-1）h+（j-1）δ，j=1，2，…，M.

其中δ=h/M，j，i表示第i天第j個區(qū)間內(nèi)的觀測收益率，即

j，i=rj，i+ηj，i

利用高頻觀測收益數(shù)據(jù)可以用來一致估計微觀結(jié)構(gòu)噪聲ε和微觀結(jié)構(gòu)噪聲收益率η的方差。Bandi和Russell指出微觀結(jié)構(gòu)噪聲收益率的方差，也就是E（η2）為：

∑Mj=12j，iMM→∞pE（η2）

根據(jù)噪聲收益的MA（1）結(jié)構(gòu)，E（η2）=2E（ε2），所以微觀結(jié)構(gòu)噪聲方差的估計量為：

∑Mj=12j，i2MM→∞pE（ε2）

四、考慮微觀結(jié)構(gòu)噪聲的已實現(xiàn)極差三冪次變差

本文選取已實現(xiàn)極差三冪次變差作為跳躍穩(wěn)健的積分波動估計量，然而該估計量同樣會受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響?，F(xiàn)有的研究中，大多數(shù)文獻在研究跳躍和噪聲時基本上只考慮其中一方面，同時考慮跳躍和噪聲的研究相對較少。本章擬在已實現(xiàn)極差三冪次變差這一跳躍穩(wěn)健的積分波動估計量基礎(chǔ)上對其加以改進，剔除微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，以期能夠更好地對波動率進行估計。

Christensen等（2009）提出了對已實現(xiàn)極差進行微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的方法，首先估計出微觀結(jié)構(gòu)噪聲的方差估計量，其次利用收益率極差減去微觀結(jié)構(gòu)噪聲的部分，進而達到剔除微觀結(jié)構(gòu)噪聲的目.的?；谶@樣的思路，本文對現(xiàn)有的跳躍穩(wěn)健積分波動估計量——已實現(xiàn)極差三冪次變差進行噪聲糾偏，從而構(gòu)造出對噪聲和跳躍穩(wěn)健的積分波動估計量，并通過蒙特卡羅模擬方法來分析該估計量的有效性。

根據(jù)已實現(xiàn)極差多冪次變差的定義，已實現(xiàn)極差三冪次變差表示成如下形式：

RTVn，m=nn-2∑n-2i=1Π3j=1Sp2/3（i+j-1）Δ，Δ，mλ2/3，m，q1=q2=q3=2/3

Christensen（2009）等的研究表明Bandi和Russell（2006）提出的噪聲方差估計量表現(xiàn)較優(yōu)，因此本文也選用該估計量，表示如下：

2N=RVN2NPω2

根據(jù)Christensen等（2009）對已實現(xiàn)極差噪聲糾偏的方法，本文在此基礎(chǔ)上對已實現(xiàn)極差三冪次變差進行噪聲糾偏，因此本文構(gòu)建的對跳躍和噪聲穩(wěn)健的積分波動估計量為：

RTVBC=nn-2∑n-2i=1Π3j=1Sp（i+j-1）Δ，Δ，m-2＼＼hatωSp（i+j）Δ，Δ，m-2＼＼hatωSp（i+j+1）Δ，Δ，m-2＼＼hatωλ2/3，m

從理論上講，經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的估計量能夠提高波動率估計的準確性。鑒于無法直接推導出該估計量的漸進有效性，本文擬從數(shù)據(jù)模擬的方法入手，利用蒙特卡羅模擬分析的方法來驗證該估計量的有效性。

五、蒙特卡羅模擬分析

（一）模擬設計

本文在模擬數(shù)據(jù)生成過程時，考慮了波動率均值回復性、杠杠效應等金融數(shù)據(jù)常見的特征，同時采用不同的信噪比來反映不同微觀結(jié)構(gòu)噪聲大小的影響，信噪比為噪聲方差和有效價格方差的比值。參考Huang and Tauchen（2005）和Sahalia and Yu（2009）的模擬過程，本文的數(shù)據(jù)生成過程表示如下：

dP=VtdW1t+κtdJtdVt=ζ（v-Vt）dt+sVtdW2t

其中：W1t和W2t是標準維納過程，ρ（W1，W2）=-0.6描述了杠桿效應，v=0.1，對應的年波動率大約為30%，ζ=5，表示波動率的均值回復速度，s=0.5，表示波動率的波動。Jt是強度參數(shù)為λ的泊松過程，跳躍大小κ～N（0，σ2j）。這部分只研究波動率微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的效果，所以假定在同樣的跳躍強度下，考慮不同的信噪比值：ω=0.001、0.005、0.01、0.05來研究波動率微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的效果。

（二）結(jié)果分析

1.統(tǒng)計特征比較

這部分主要通過觀察不同積分波動估計量的統(tǒng)計特征來評判估計量的優(yōu)劣。本文選取了四個積分波動估計量：雙冪次變差（BV）、已實現(xiàn)極差雙冪次變差（RBV）、已實現(xiàn)極差三冪次變差（RTV）和經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的已實現(xiàn)極差三冪次變差（RTVBC）。由于考慮了微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏，所以不再進行最優(yōu)抽樣頻率的選擇，鑒于極差構(gòu)造的特殊性以及為了更加充分地利用價格信息，本文采用5分鐘的抽樣頻率。各個估計量的統(tǒng)計特征見表3-1。

表3-1不同積分波動估計量統(tǒng)計特征

首先來看BV和RBV的情況：在不同的信噪比下，（1）RBV的均值都大于BV的均值，這與Martin Martens、Dick van Dijk（2007）的研究結(jié)果一致，即極差更容易受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響而產(chǎn)生向上偏差。（2）RBV的標準差均小于BV的標準差，由于存在微觀結(jié)構(gòu)噪聲，RBV對于BV的有效性達不到理想情況下的5倍，但從中我們?nèi)匀豢梢缘贸龌跇O差的波動估計量表現(xiàn)較優(yōu)。（3）在偏度、峰度和正態(tài)性檢驗方面，RBV的表現(xiàn)依然優(yōu)于BV。

接下來分析RBV、RTV和RTVBC的情況：在不同的信噪比下，（1）在均值和標準差方面，三個估計量的值依次減小，說明冪次越高，估計效果越好，在同樣的冪次下，經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的估計量表現(xiàn)較優(yōu)。（2）在偏度、峰度及正態(tài)性檢驗方面，盡管三個估計量都表現(xiàn)出不同程度的尖峰厚尾，但經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的估計量同樣表現(xiàn)更好。

從上面的分析可知，基于日內(nèi)極差的波動估計量優(yōu)于基于日內(nèi)收益的波動估計量，經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的估計量表現(xiàn)較好說明在波動率估計過程中不應該忽視微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，考慮進微觀結(jié)構(gòu)噪聲能夠提高波動估計量的有效性。同時，在不同的信噪比下，本文提出的估計量均表現(xiàn)較好，說明該估計量對噪聲和跳躍穩(wěn)健。

2.樣本內(nèi)估計比較

為了比較不同積分波動估計量的樣本內(nèi)估計效果，這里參照Andersen等（2003）和Sahalia、Mancini（2008）的做法，Andersen等認為日間對數(shù)積分波動率滿足AR（5）過程：

lt=12log（IVt）=φ0+∑5i=1φilt-id+et

其中，et為白噪聲過程。

本文在上述對數(shù)波動率模型的假定下，得到不同積分波動的樣本內(nèi)估計，并進而分析不同積分波動估計量的有效性。上文分析比較了不同積分波動估計量的統(tǒng)計特征，這里就均方根誤差（RMSE）這一常用法則來分析比較不同積分波動估計量的有效性。具體的結(jié)果如表3-2所示：

表3-2不同積分波動估計量樣本內(nèi)估計均方根誤差

從不同信噪比下RMSE的值可以看出基于日內(nèi)極差的估計量相較于基于日內(nèi)收益率的估計量能夠提供更加準確的積分波動估計。另外，在同樣的冪次下，經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的估計量表現(xiàn)略優(yōu)。總體上而言，經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的估計量能夠提供更加準確的積分波動估計。

綜合上述兩部分的分析，本文認為經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的已實現(xiàn)極差三冪次變差能夠更加準確地估計波動率，同時對噪聲和跳躍穩(wěn)健。

六、小結(jié)

本章根據(jù)已實現(xiàn)極差多冪次變差理論，選取已實現(xiàn)極差三冪次變差作為跳躍穩(wěn)健的積分波動的一致估計量。并對已實現(xiàn)極差三冪次進行微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏，從而得到對噪聲和跳躍穩(wěn)健的估計量。通過蒙特卡羅模擬方法，從統(tǒng)計特征和樣本內(nèi)估計兩方面來比較不同積分波動估計量的表現(xiàn)，得到經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的已實現(xiàn)極差三冪次變差更加有效，從而經(jīng)過微觀結(jié)構(gòu)噪聲糾偏的已實現(xiàn)極差三冪次變差能夠作為一種更為精確的度量金融市場波動率的方法。（作者單位：福州大學經(jīng)濟與管理學院）

參考文獻：

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[2]Christensen，K.and podolskij，M.Realized range-based estimation of integrated variance[J].Journal of Econometrics，2007，141（2）：323-349.

[3]Martin Martens and Dick Dijk.Measuring volatility with the realized range[J].Journal of Econometrics，F(xiàn)orthcoming，2007.

[4]Kim Christensen，Mark Podolskij and Mathias Vetter.Bias-correcting the realized range-based variance in the presence of market microstructure noise[J].Finance and Stochastics，2009，13（2），239-268.