朱鶴年 肖志剛

（清華大學(xué)物理系，北京 100084）

周光召先生在1999年10月說：“為什么本世紀(jì)最重要的物理學(xué)發(fā)現(xiàn)又恰恰在德國的土地上發(fā)生？”他歸納為3點：首先德國人非常重視實驗和實驗數(shù)據(jù)的分析；第二個特點就是德國有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)；第三個是德國有非常強(qiáng)的哲學(xué)傳統(tǒng)．次年《物理》雜志刊登該講話時的題目是《希望在中國產(chǎn)生諾貝爾獎獲得者》．

2011年1月science主編Alberts B．在短文“《科學(xué)》雜志新設(shè)的一種教學(xué)獎”中，批評了以往大學(xué)本科的科學(xué)教育，談及親歷體會時說：“既沒有掌握對科學(xué)本質(zhì)的真正理解，也沒有獲得關(guān)于產(chǎn)生和評估科學(xué)證據(jù)及其解釋的任何經(jīng)驗，而這兩點才是現(xiàn)代意義下‘科學(xué)教育’最核心的要素．許多學(xué)校至今仍然一成不變地保留著這種缺憾．”

以上兩段精辟論述，是我們在教材、講課中多次引用的．拙作冠以“新概念”的定語，想表達(dá)兩重含義：（1）重視物理實驗分析與經(jīng)驗證據(jù)評估，以新視角撰寫了相關(guān)內(nèi)容，重組了物理實驗中數(shù)據(jù)處理與經(jīng)驗證據(jù)評估新架構(gòu)；（2）介紹積木式組合實驗的做法，大多數(shù)實驗包括基礎(chǔ)性內(nèi)容以及多個帶探索性的層次，用基本儀表器具作積木式組合來完成．下文介紹我們在重組實驗數(shù)據(jù)處理與經(jīng)驗證據(jù)評估新架構(gòu)的探索要點或特點．

1 闡述測量誤差的兩種隨機(jī)性

1）指出除隨機(jī)誤差具有隨機(jī)變量的特性之外（嚴(yán)格隨機(jī)性），未定系統(tǒng)誤差也常常具有一定的隨機(jī)性（近似隨機(jī)性）．

2）這兩種隨機(jī)性是A、B兩類不確定度分量方和根合成規(guī)則賴以基本成立的基礎(chǔ)，也是一系列理論統(tǒng)計學(xué)的方法、概念能應(yīng)用、借用于經(jīng)驗證據(jù)評估體系的基礎(chǔ)．

3）未定系統(tǒng)誤差的近似隨機(jī)性，決定了宏觀測量實驗數(shù)據(jù)分析中所用的應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)概念、方法的近似性，導(dǎo)致了現(xiàn)代誤差理論、不確定度評定、經(jīng)驗證據(jù)評估體系架構(gòu)的非公理化特征．理論統(tǒng)計學(xué)與應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)之間的暗隙少有問津，明示暗隙可架橋．

2 未定系統(tǒng)誤差影響像“西瓜”，隨機(jī)誤差影響像“芝麻”

在不包含微觀、宇觀的一般測量中，除極少數(shù)用比較測量儀器的比較測量外，影響結(jié)果準(zhǔn)確度的主要是系統(tǒng)性誤差分量．與此大致對應(yīng)，不確定度評定中的主要分量是用非統(tǒng)計方法估計的B類分量．

3 實驗與一般測量中的8個主從關(guān)系

1）未定系差影響像“西瓜”，隨機(jī)誤差影響像“芝麻”．

2）“純”測量誤差大多不是嚴(yán)格的正態(tài)分布．宜弱化與正態(tài)分布有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，例如對t分布可像標(biāo)準(zhǔn)GB 3360那樣作簡介．

3）非單次直接測量時，與合成不確定度Up或uC關(guān)聯(lián)的大多不是直接測量量的測量誤差分布，而是平均、回歸、組合測量等給出的最佳估值的可能分布．考慮被測對象體現(xiàn)值可能波動的原分布，測得值分布是原分布與測量誤差分布的卷積，最佳估值的可能分布主要由測得值分布及計算評估方法而定．因此直接影響Up或uC的不是測量誤差本身，基礎(chǔ)教學(xué)中要弱化誤差分布的內(nèi)容，突出誤差的隨機(jī)性、大多有抵償性等特征．

4）多數(shù)測量對象的約定真值或參考值未知，不能計算誤差，因此要評定不確定度．

5）科學(xué)研究、工程技術(shù)、商貿(mào)醫(yī)衛(wèi)、環(huán)境安全、生產(chǎn)管理、質(zhì)量監(jiān)保等領(lǐng)域的測量大多是一般測量，不同于基本物理量研究及計量基礎(chǔ)研究這些象牙塔上的測量工作，這是一般數(shù)據(jù)處理規(guī)范方法的主要基點．

6）一般測量相當(dāng)多的為單次，不能直接計算A類不確定度，要重視B類分量的評定．

7）大多數(shù)測量結(jié)果的報告要求給出足夠可靠，即具有高置信概率（水平）的合成不確定度Up，只有少數(shù)基本物理量研究與計量學(xué)基礎(chǔ)性研究或技術(shù)中要求給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC及其有效自由度νeff．這里±uC對應(yīng)的置信概率約為2／3而非0．683．

8）測量離不開儀表器具選擇或測量裝置搭建，也需對測量條件、環(huán)境參量、其他影響量或輸入量以及其變化過程進(jìn)行局部控制．測量設(shè)備準(zhǔn)確度參量大多僅知道高置信概率的限值，如最大允許誤差（MPE）或誤差限，各輸入或控制參量的準(zhǔn)確度大多也用高置信概率的極限值或不確定度UBj表示，一般不能獲知其分布特征．由UBj估算合成uC用的B類分量uBj時，常約定用使uBj略有放大的均勻分布包含因子

這8個主從關(guān)系，是物理實驗與一般測量中數(shù)據(jù)處理體系架構(gòu)的重要“實在”基礎(chǔ)．

4 重組數(shù)據(jù)處理體系的架構(gòu)

統(tǒng)計學(xué)是現(xiàn)代誤差理論、不確定度評定、經(jīng)驗證據(jù)評估體系架構(gòu)的基礎(chǔ)，但是易被忽視，更需重視的基礎(chǔ)是實驗物理、計量與儀器儀表領(lǐng)域的實在，包括實際規(guī)律、實際需求、實際對象、實在條件環(huán)境、實在儀器方法以及完善中的實在標(biāo)準(zhǔn)、法規(guī)與規(guī)范．在物理實驗教學(xué)中，學(xué)生除了要會使用基本的數(shù)據(jù)處理方法外（對一些提高性方法只需會套用），還要理解如下要點：

1）決定數(shù)據(jù)分析與處理的方法體系的是：實驗物理與測量的客觀實在與統(tǒng)計學(xué)．

2）誤差的普遍性原理．由于儀器設(shè)備不準(zhǔn)確、方法原理不完善、環(huán)境條件不穩(wěn)定、人員操作不熟練等因素，任何測量結(jié)果都可能有誤差．雖然一般不能計算誤差，但能（1）分析誤差產(chǎn)生的主要或不可忽略因素；（2）基本消除或減小某些誤差分量的影響；（3）對未能消除的主、次要誤差分量，估計其標(biāo)準(zhǔn)差或極限值等特征值，進(jìn)而評定不確定度．

3）誤差是小量，有隨機(jī)性，包括隨機(jī)誤差的嚴(yán)格隨機(jī)性和未定系差的近似隨機(jī)性．

4）方和根合成方法．相近置信概率的誤差分量特征值綜合時，或不確定度分量綜合時，約定用方和根合成的方法．它是1980年BIPM咨詢多國計量院所后的重要約定．

5）系統(tǒng)誤差分量影響像“西瓜”．不包括宇觀、微觀領(lǐng)域的大量一般測量的實踐表明：除了極少數(shù)用比較測量儀器的比較測量之外，系統(tǒng)誤差分量對測量結(jié)果的影響，常顯著地大于隨機(jī)誤差分量的影響．因此大學(xué)實驗要重視對系差的分析處理，盡量減小系差對結(jié)果的影響：（1）修正已定系差；（2）評定B類不確定度分量（大致對應(yīng)于未定系差分量）；（3）多環(huán)節(jié)減小系差影響，包括方案選擇、參數(shù)設(shè)計、計量器具校準(zhǔn)、環(huán)境條件控制、計算方法改進(jìn)，使未定系差分量隨機(jī)化等．

6）最小二乘法（LSM）原理：使等精密度量yi的殘差平方和為極小值．用LSM為充分利用測量有效信息，減小誤差影響．殘差vi是yi與其平均值、擬合預(yù)報值等“最佳”估值之差．

7）方和根合成的微小分量判據(jù)．方和根合成時如某分量小于最大分量或結(jié)果估值的1／5～1／6，就可看作可忽略微小分量．

8）不確定度或誤差限值決定修約間隔進(jìn)而決定有效位數(shù)．修約間隔的選擇，為保證結(jié)果的不確定度基本不因舍入而增大，也為少做無用功或避免被誤解．有效位數(shù)只能在一定程度上反映量值的不確定度．

9）高置信概率參量表示的普遍性．一般結(jié)果表示中要求量值的不確定度有高置信概率，即有高可靠性．一般儀表準(zhǔn)確度指標(biāo)與條件控制等參量指標(biāo)也用極限值表示．

10）隨機(jī)誤差大多有抵償性，由此導(dǎo)出以重復(fù)測量的算術(shù)平均值作為最佳估值，算術(shù)平均值原理曾是老誤差理論的重要命題之一．在相同條件下對同一穩(wěn)定被測量的多次重復(fù)測量中，隨機(jī)誤差分布常滿足一定的統(tǒng)計規(guī)律：隨機(jī)誤差分布絕大多數(shù)有“有界性”；大多數(shù)有抵償性；相當(dāng)多的有單峰性．這里用了模糊表述，因為正態(tài)分布無界，余弦分布期望值非零，均勻分布無單峰性．

10個命題中第一個是基礎(chǔ)性、哲學(xué)性的；誤差普遍性、誤差是小量有隨機(jī)性、系差重要性，大多有抵償性、高置信概率表示的普遍性．這5個命題是源于實際事實；方和根合成是參考統(tǒng)計學(xué)理論的國際約定；微小分量判據(jù)能由方和根合成、誤差是小量導(dǎo)出；LSM原理是統(tǒng)計學(xué)的重要命題；有效數(shù)字修約方法可由修約間隔的標(biāo)準(zhǔn)與微小分量判據(jù)導(dǎo)出．

5 質(zhì)疑誤差正態(tài)分布的普遍性

由中心極限定理推導(dǎo)時用的誤差分量“足夠多、均勻小”的前提缺乏哲學(xué)依據(jù)與實際依據(jù)，相當(dāng)多的測量儀器的測量誤差分布實例也不服從（嚴(yán)格的）正態(tài)分布．JCGM 頒布的“VIM3－rded．”所定義的測量誤差通常不包括均值或回歸估值等的誤差［1］．

6 統(tǒng)計離群值的判據(jù)研究

質(zhì)疑幾種統(tǒng)計離群值（高度異常值，俗稱粗差）的傳統(tǒng)判據(jù)，如

3s法．3≤n＜11時3s法檢出率恒為零．n＞19時正態(tài)樣本的剔除率可能高于1%而背離國標(biāo)GBT＿4883．n＝11～13時正態(tài)樣本檢出率也小于0．10%，顯著小于“原理”預(yù)期0．27%．

肖維勒（Chauvenet）判據(jù)也有邏輯性錯誤：因為正態(tài)總體下n＝3，4時剔除率恒為零；n＞4又可能使正態(tài)樣本的剔除率高于10%．

標(biāo)準(zhǔn)推薦用Grubbs判據(jù)，它在異常值也屬于正態(tài)總體的假設(shè)下是嚴(yán)密的，但是高度異常值常常不能看作與數(shù)據(jù)主體源自同一總體．判斷異常值一般為更好估計總體均值μ與總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，對源自正態(tài)總體的樣本用蒙特卡洛法（MCM）計算表明，Grubbs判據(jù)將使μ與σ估值質(zhì)量變差．另外，一些教材給出的G0．99只是單側(cè)臨界值，G0．95不能用于剔除判斷．

我們導(dǎo)出了統(tǒng)計允許限因子的高準(zhǔn)確度計算式，構(gòu)建了正態(tài)分布前提下用統(tǒng)計允許限的新判據(jù)，提出了直線擬合時的初步判斷據(jù)、二次回歸中的粗略判據(jù)，判斷的特征量及臨界值用填數(shù)式EXCEL工作表算出．

7 闡明測多點散布數(shù)據(jù)回歸為減消未定系差影響，質(zhì)疑G－M假定的普適性，提出擬合參量不確定度的新算式

直線擬合等回歸組合測量中，自變量要選多點散布值，這是實驗設(shè)計三原則：“局部控制，重復(fù)，隨機(jī)化”的體現(xiàn)．直線擬合時，如果因變量只有獨立同分布隨機(jī)誤差，測等距散布的n點求LSM的斜率b1，與集中直線兩端各測n／2點用平均值之差所得斜率相比，斜率標(biāo)準(zhǔn)差sb1期望值之比為．反證法表明多點散布測量主要為了減小有隨機(jī)性的未定系差．

LSM之于統(tǒng)計學(xué)就好比微積分之于高等數(shù)學(xué)．LSM離不開因變量yi的誤差是獨立、同分布隨機(jī)變量的假定，即高斯－馬爾科夫（G－M）假定．多數(shù)專著在闡述直線擬合時都用 Working－Hote－ling置信帶公式，作為平均值的置信區(qū)間，也有陳希孺、Weisberg S．等少數(shù)學(xué)者未引此式．W－H式會導(dǎo)致斜率等參量的標(biāo)準(zhǔn)差隨自由度增加而趨于零的邏輯性瑕疵．既然擬合的主要目的非為減小隨機(jī)誤差影響，而未定系差分量影響通常像“西瓜”，它雖有一定的隨機(jī)性，但不滿足獨立、同分布假定，常常也不能看作是隨機(jī)變量．考慮到回歸的因變量標(biāo)準(zhǔn)差sy中已經(jīng)包含了yi隨著自變量xi不同而有一定隨機(jī)性的未定系差影響，我們對W－H公式作了調(diào)和性拓展，再綜合考慮yi具有的B類擴(kuò)展不確定度Uyi對擬合參量的影響，初步提出了較全面計算擬合參量標(biāo)準(zhǔn)差或不確定度的擴(kuò)展近似算式．

8 對有效位數(shù)的概念拓展

ISO與國家標(biāo)準(zhǔn)GB 8170規(guī)定：修約間隔只能等于1、0．2或0．5乘以10的整數(shù)冪．將此等式與從嚴(yán)控制的微小分量判據(jù)的不等式聯(lián)列，就能導(dǎo)出獨立測量結(jié)果有效數(shù)字表示的一般規(guī)則．對回歸或其他組合測量的結(jié)果，由于參量間不獨立有相關(guān)性，其標(biāo)準(zhǔn)差的有效位數(shù)常多于1～2位．有效位數(shù)處理要抓兩頭放中間，即關(guān)注原始數(shù)據(jù)讀取和最后結(jié)果表示，中間運算過程不作修約．

9 不確定度架構(gòu)的比較研究與THM方法

現(xiàn)有3類架構(gòu)：（1）不確定度架構(gòu)，以《測量不確定度評定指南》（GUM）為代表，用標(biāo)準(zhǔn)差形式的分量合成［2］；（2）“經(jīng)典”誤差理論架構(gòu)，以中國計量院（NIM）向BIPM的建議信為代表，一般測量中用極限值分量合成［3］；（3）不確定度分量的MCM合成法［4］．我們研究分析了3類架構(gòu)，揭示了GUM方法的隱含假定及其與NIM建議方法的相通本質(zhì)，也揭示了幾種架構(gòu)的規(guī)范文件或其案例中的若干邏輯上不自洽的瑕疵或局限．

創(chuàng)建了第4章所述的不確定度分量合成的綜合技術(shù)法（THM）．用廣義正交矩陣變量解決了n個輸入量有n（n＋3）／2個一、二次項偏導(dǎo)數(shù)的多元回歸求解難題．綜合3類架構(gòu)的優(yōu)點，創(chuàng)建了THM的通用EXCEL工作表，可適用于1～24分量的絕大多數(shù)合成計算問題，使一般測量人員和大學(xué)生從復(fù)雜概念體系和數(shù)學(xué)計算過程中解脫出來．

基于上文所述架構(gòu)，我們提出了幾種新的數(shù)據(jù)分析評定具體方法，如直線擬合的經(jīng)驗調(diào)和法、用數(shù)字面板表相對比較測量時定值倍率系差減消法、鐘形線型分析中的未定系差隨機(jī)化法等．綜合運用改進(jìn)后的體系設(shè)計實驗步驟、優(yōu)化分析方法，在多個基礎(chǔ)實驗的定量研究結(jié)果中，使儀器的分辨率與準(zhǔn)確度被榨干到最后一滴，讓學(xué)生體會到“重視實驗與評估、物理和數(shù)學(xué)結(jié)合”的重要性，也打破了對科研實驗、高端儀器的神秘感．

在教材［5］中，我們較系統(tǒng)地綜述了測量實驗設(shè)計的要點與思路．依據(jù)國內(nèi)外計量學(xué)、儀器儀表學(xué)方面的新進(jìn)展、新規(guī)范，學(xué)習(xí)借鑒統(tǒng)計學(xué)的成果，我們還做了一些正本清源的努力，對相關(guān)教材中較普遍的一些欠邏輯性或與實際相悖的概念、命題或方法作了評析或修正，力求教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)性與規(guī)范性．如：（1）糾正了專著、教材中B類分量自由度約定取1的錯誤．（2）闡明逐差法只是簡化擬合法自變量等間距的特例，其適用范圍窄，與LSM相使比自由度減半而增大了擬合結(jié)果參量的分散性及其不確定度，指出大學(xué)物理實驗中不宜再使用這一國外文獻(xiàn)中罕見的方法．（3）引述國內(nèi)外統(tǒng)計學(xué)專著指出相關(guān)系數(shù)不能獨立地用于擬合（回歸）質(zhì)量的判斷．（4）指出了在一些高次（或多元）模型的建模中，不能僅以殘差平方和大小判斷模型優(yōu)劣或增項的必要性，需對各回歸系數(shù)bi由作sbi／bi顯著性檢驗．

基于課程的基礎(chǔ)性與實踐為主的特征，對基礎(chǔ)物理實驗中的不確定度評定，我們還主張多數(shù)實驗通過不同環(huán)節(jié)體現(xiàn)重視誤差分析的理念，但不要求評定不確定度；部分實驗只算A類或B類分量；僅安排少數(shù)幾個實驗做全面評定的練習(xí)．全面評定時只要求會用或會套用相關(guān)的方法步驟，同時強(qiáng)調(diào)要重視這些方法的應(yīng)用范圍、主要假定或前提，對其導(dǎo)出思路或過程只要求初步理解或大致了解，首次緒論課上我們只講怎樣做，在數(shù)周后的大課上再歸納講解非公理化方法體系的導(dǎo)出思路．

［1］ ISO／IEC GUIDE 99：2007（E／F）．International vocabulary of metrology—Basic and general concepts and associated terms（VIM），3rded．．簡稱為 VIM．

［2］ JCGM 100：2008．Evaluation of measurement data—Guide to the expression of uncertainty in measurement．簡 稱GUM．

［3］ 朱鶴年．新概念物理實驗測量引論：數(shù)據(jù)分析與不確定度評定基礎(chǔ)［M］．北京：高等教育出版社，2007：94－96．

［4］ JCGM 101：2007．Evaluation of measurement data—Supplement 1to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement”—Propagation of distributions using a Monte Carlo method．

［5］ 朱鶴年．基礎(chǔ)物理實驗教程——物理測量的數(shù)據(jù)處理與實驗設(shè)計［M］．北京：高等教育出版社，2003：163－223．