程麗娟，李建華，彭薇薇

(中國水電顧問集團成都勘測設計研究院有限公司，四川 成都 610072)

0 引 言

開挖擾動形成的洞周圍巖破損區(qū)根據(jù)擾動程度可以分為塑性區(qū)和開挖破裂區(qū)，如圖1所示。與處于彈性區(qū)的巖體相比，破損區(qū)巖體是洞周變形的主要貢獻者：塑性區(qū)巖體是洞室開挖應力調整后的主要承載圈，其短期力學性質尚未發(fā)生明顯弱化，但由于其所處應力水平較高，巖體處于長期高水平的應力作用下容易發(fā)生不可忽視的時效變形，巖體的力學性質也會隨著時效變形進一步弱化，使得破損區(qū)往深部擴展[1]；破裂區(qū)巖體已經(jīng)進入不連續(xù)狀態(tài)，其力學性質已然弱化，長期強度顯著降低，因此即便破裂區(qū)巖體處于部分應力已經(jīng)釋放的狀態(tài)，依然容易出現(xiàn)時效變形現(xiàn)象，它是洞周巖體施工期穩(wěn)定性和長期穩(wěn)定性的潛在威脅。引起洞室圍巖時效變形甚至失穩(wěn)的主因是破損區(qū)巖體流變特性中的蠕變性質[2-3]，對巖體流變特性進行研究是合理設計支護、保證地下洞室圍巖長期穩(wěn)定的前提。

針對巖體的流變特性，國內外學者先后進行過大量力學試驗，分析并提出眾多力學模型對其進行描述，其中工程應用最廣的是元件流變模型[4-6]。元件模型理論將三種基本變形特征用相應的元件來描述：描述彈性變形的彈簧(Hooke體)、描述粘性變形的粘壺(Newton體)和描述理想塑性流動的摩阻片(St. Venant體)。并用這三種基本元件的各種組合來描述材料的各種復雜變形特征。但是，理想的塑性流動在巖土工程中并不多見，尤其對于處在單向甚至雙向卸荷狀態(tài)下的洞周巖體而言，隨著塑性變形的積累巖體材料更容易出現(xiàn)應變強化和應變軟化[7-8]。因此用傳統(tǒng)的St. Venant體描述塑性變形已經(jīng)不能滿足巖土類材料的需求。此外，從三種基本元件的性質可以看出，元件模型無法模擬加速蠕變，也就是說傳統(tǒng)的元件流變模型不能模擬蠕變破壞(即穩(wěn)態(tài)蠕變往加速蠕變過渡)，為此有學者采用非線性粘性元件代替Newton體來模擬加速蠕變，根據(jù)加速蠕變曲線的特點，一般假定應變與時間成冪律關系，通過調整指數(shù)來模擬加速蠕變出現(xiàn)的時間[9-12]。而實際上，在不同應力狀態(tài)下應變與時間的關系不同，這一點在上述非線性粘性元件中未曾考慮。因此，蠕變破壞準則一直是元件流變模型未能較好解決的問題。

圖1 地下洞室開挖擾動區(qū)分區(qū)示意

本文將塑性位勢理論[13]引入元件流變模型，基于“不可逆變形難以區(qū)分出塑性部分和不可逆粘性部分”的認識，建立了一種適用于描述圍巖破損區(qū)演化的時效本構模型，該模型統(tǒng)一了蠕變破壞與瞬時變形破壞的破壞準則，從破壞準則的角度找到了穩(wěn)態(tài)蠕變向加速蠕變過渡的起始點，因此可以較好的描述從衰減蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變到加速蠕變的全蠕變階段，更真實的反映圍巖破損區(qū)巖體的時效變形特點。

1 圍巖破損區(qū)的時效模型推導

如上文所述，元件流變模型中，傳統(tǒng)的St.Venant體描述塑性變形不能滿足巖土工程需求，考慮到材料的粘塑性變形(或者稱為不可逆變形)難以區(qū)分出塑性部分和不可逆粘性部分，二者也互相影響，可以將二者統(tǒng)一用粘塑性變形來表示，因此本文提出一種非定常St.Venant體(圖2中圓圈中的元件)，并與傳統(tǒng)St.Venant體和Newton體組合成復合型粘塑性體(圖2中虛線框中的組合元件)，該模型中塑性變形由非定常St.Venant體的屈服條件控制，不可逆粘性變形則由傳統(tǒng)St.Venant體的長期強度條件控制。此外，材料的瞬時彈性性質可以由Hooke體表征，粘彈性性質由Kelvin體(由Hooke體和Newton體并聯(lián)而成)表征，因此一維剪應力條件下的流變模型如圖2所示。

圖2 剪應力作用下的一維模型

圖2中描述彈性變形的Hooke體具有如下本構方程：

(1)

式中τ——為剪應力；

G1——為Hooke體的剪切模量；

γe——為彈性剪應變。

描述粘彈性變形為Kelvin體具有如下本構關系：

(2)

式中η2——為Kelvin體的粘滯系數(shù)；

G2——為Kelvin體的剪切模量；

γve——為粘彈性剪應變；

粘塑性變形也屬于不可逆塑性變形范疇，假設粘塑性變形滿足塑性位勢理論定義的塑性流動方式，即：

(3)

α——為粘塑性因子；

Q——為塑性勢函數(shù)。

塑性變形與應力歷史相關，不能顯式定義全量型本構關系，那么粘塑性變形的增量型本構關系可以定義為：

(4)

式中 Δλ——為塑性因子增量；

η——為圖2中粘塑性體的粘滯系數(shù)；

τs——為屈服強度；

τ1——為長期強度；

Δt——為時間增量。

〈*〉為開關函數(shù)：〈*〉=*/2+|*|/2。當〈τ-τs〉>0時，材料發(fā)生塑性屈服，有塑性變形產(chǎn)生；當〈τ-τ1〉>0時，材料的應力狀態(tài)超過長期強度[1]，發(fā)生不可逆粘性變形。屈服強度τs是塑性變形歷史的函數(shù)，即

(5)

對于具有強化軟化性質的材料來說，屈服強度隨塑性變形的增加先增大再減小直到殘余強度(如圖3所示)，因此從式(4)可以看出：若當前應力狀態(tài)τ小于當前的屈服強度而大于長期強度，那么在隨后一段時間里會出現(xiàn)等速粘塑性蠕變，蠕變速率大小為式(4)的右端第二部分，即粘塑性變形持續(xù)等速增長，屈服強度τs也隨之先增大到峰值再減小(見圖3)，當τs減小到τ-τs>0時，由屈服引起的塑性變形再次出現(xiàn)，若應力狀態(tài)始終保持τ不變，而持續(xù)增長的粘塑性變形會使得屈服強度τs持續(xù)下降，〈τ-τs〉逐漸增大，就相當于在粘塑性體內部對塑性元件持續(xù)加載，這個過程的粘塑性變形速率為式(4)，描述加速粘塑性變形過程，即加速蠕變階段，發(fā)生蠕變破壞。因此式(4)對粘塑性本構關系的定義符合人們對長期強度的認識。

在三維條件下，一點的應力狀態(tài)是一個二階對稱張量，應力張量可以分解為球應力張量和偏應力張量，寫成指標形式為：

σij=σmδij+sij

(6)

式中σij——為應力張量；

σm=σkk/3——為球應力；

δij——為Kronecker delta符號(i=j時，δij=1；i≠j時，δij=0)；

sij——為偏應力張量。

相同，應變張量也可以分解為球應變(體積應變的1/3)張量與偏應變張量之和：

εij=eij+εvolδij/3

(7)

式中εij——為應變張量；

eij——為偏應變張量。

體積應變εvol=εkk。

考慮到塑性變形不能用顯式的全量關系表示，將應變張量寫成增量型式，根據(jù)圖2所示的各元件之間的關系，總的球應變和偏應變張量分別由以下幾部分組成：

(8)

式中 Δeij——為偏應變增量張量；

將上述一維本構關系映射到三維條件下，可以分別得到如下本構關系：

(9)

式中K——為體積模量；

F——為屈服函數(shù)；

λ〈F〉——為塑性因子增量；

q——為當前應力狀態(tài)下的廣義剪應力：

q1——為當前靜水壓力和Lode角對應的長期強度。

由于巖石類材料的強度與應力狀態(tài)相關，不是常數(shù)，因此假設長期強度也滿足長期強度參數(shù)(即長期強度對應的粘聚力c1和內摩擦角φ1)對應的屈服條件(F=0)[1]。僅采用廣義剪應力定義穩(wěn)態(tài)粘塑性蠕變的原因是：材料不能被無限壓縮，因此靜水壓力下巖石材料不可能發(fā)生穩(wěn)態(tài)蠕變。對于具備強化軟化性質的材料，其屈服函數(shù)F是應力張量和材料強度參數(shù)的函數(shù)，材料強度參數(shù)是塑性應變的函數(shù)，一維情況下為F=τ-τs。式(8)和(9)構成三維條件下的流變模型增量型本構方程。

圖3 屈服強度τs與粘塑性剪應變γvp的關系

2 模型的驗證及測試

Kelvin體模擬粘彈性蠕變(衰減型蠕變)的效果在眾多文獻中均有驗證，本文不再重復。本節(jié)對模型的等速和加速蠕變段模擬效果進行定性測試。將材料粘彈性元件中的彈性元件剛度設為極大值，使其不發(fā)生變形，僅考察模型的彈粘塑性變形模擬效果。

對模型進行圍壓三軸蠕變數(shù)值試驗，圍壓恒定為3MPa，施加不同的軸壓并保持壓力不變，隨著時間推進試件從等速蠕變狀態(tài)過渡到加速蠕變狀態(tài)，軸壓越大，穩(wěn)態(tài)蠕變的速率越大、出現(xiàn)加速蠕變的時間越短，如圖4所示。對試件進行圍壓三軸分級加載蠕變數(shù)值試驗，當軸壓小于長期強度時，軸向應變～時間關系為水平直線，如圖5中σ1=20MPa的水

圖4 圍壓三軸蠕變試驗的應變～時間曲線(圍壓3MPa)

平直線段，有瞬時塑性變形發(fā)生但沒有粘塑性變形發(fā)生；當軸壓大于長期強度之后，出現(xiàn)等速蠕變現(xiàn)象，蠕變速率隨軸壓的增大而增大，如圖5中軸壓等于23MPa的蠕變速率低于軸壓等于26MPa的蠕變速率；當加速蠕變條件滿足以后，出現(xiàn)加速蠕變現(xiàn)象，試件軸向應變迅速增大，試件破壞，如圖5中軸壓等于29MPa時，等速蠕變發(fā)生一段時間后出現(xiàn)了加速蠕變現(xiàn)象?？梢?，本文提出的時效本構模型可以有效模擬巖土類材料的完整蠕變三階段。

圖5 圍壓三軸分級加載蠕變試驗模擬(圍壓3MPa)

3 模型的工程應用討論

理論模型應用于工程實際的關鍵在于模型參數(shù)取值的方法。本文提出的時效本構模型除去瞬時塑性變形參數(shù)外共有7個參數(shù)，分別為：K、G1、G2、η、η2、cl、φl。其中K、G1、G2、η2為Hooke-Kelvin模型的參數(shù)，參數(shù)的取值可由材料的蠕變試驗獲得，具體算法可參考文獻[14]中所述。參數(shù)η為粘塑性粘滯系數(shù)，粘塑性變形在蠕變試驗中表現(xiàn)為等速蠕變，因此η是應力水平與應變率之比。參數(shù)cl、φl是與長期強度q1對應的長期強度參數(shù)：

(10)

其取值方法與峰值強度參數(shù)c、φ一致，區(qū)別在于對應的強度為長期強度。

4 結 語

本文將塑性位勢理論與元件流變理論結合，推

導出一個適用于描述圍巖破損區(qū)演化的時效本構模型，該模型在低應力狀態(tài)下反映粘彈性性質、高應力狀態(tài)下反映粘彈—粘塑性性質。與同類型的元件模型相比，本文推導的流變模型只增加了一個長期強度參數(shù)(可由力學試驗獲得)，卻可以延用塑性位勢理論中的屈服條件作為穩(wěn)態(tài)蠕變過渡到加速蠕變的判斷準則。因此該模型的意義不僅在于可以較好描述蠕變的三個階段尤其是確定加速蠕變的起點，更在于統(tǒng)一了巖石瞬時變形破壞與時效變形破壞的破壞準則，兩種類型的變形破壞采用同一準則更符合人們對材料破壞準則的定義。

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