劉　蕊

(必能信超聲(上海)有限公司，上海 201613)

0　引言

在很多工程應(yīng)用中，金屬材料的楊氏彈性模量對(duì)于結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)都是關(guān)鍵而敏感的參數(shù)。特別是對(duì)于各項(xiàng)同性材料而言，由于描述其彈性性質(zhì)的獨(dú)立常數(shù)很少，因此其楊氏模量能夠很好地反映該材料的力學(xué)特性。在功率超聲領(lǐng)域，由于超聲換能器、調(diào)幅器以及工具頭都主要使用金屬材料，所以楊氏彈性模量對(duì)設(shè)計(jì)的影響非常大，特別是對(duì)諧振頻率的估算，其準(zhǔn)確度會(huì)直接影響設(shè)計(jì)精度和加工的難易[1]。

常規(guī)的測(cè)試楊氏彈性模量的方法有很多，超聲技術(shù)作為無損檢測(cè)的代表技術(shù)，已經(jīng)相當(dāng)成熟[1，2]。由于材料中的聲速并不隨著試件外形的變化而變化，所以只要測(cè)得材料中的縱、橫波速度，就可以求得材料的彈性模量。但是，采集和分辨回波信號(hào)并不容易，往往需要信號(hào)發(fā)射、采集和處理系統(tǒng)來得到測(cè)試樣品的材料參數(shù)，對(duì)測(cè)試環(huán)境要求較高，投入成本也很大。本文提出一種利用超聲焊接換能器測(cè)量諧振頻率的方法，利用金屬圓棒的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以較準(zhǔn)確地測(cè)定材料的楊氏彈性模量。同時(shí)，用有限元法對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1　測(cè)量原理

1.1　彈性體虎克定律

以鋁棒為例，根據(jù)彈性體的虎克定律，其楊氏模量和泊松比可以直接由樣件尺寸、質(zhì)量和諧振頻率得到。由超聲波在圓棒中傳播的頻率方程可知[3]：

E=C·ρ·f2

(1)

式中：E為楊氏彈性模量；ρ為材料密度；f為指定振動(dòng)模式下所對(duì)應(yīng)的諧振頻率；C為修正系數(shù)，同測(cè)試樣品的形狀尺寸、泊松比以及振動(dòng)模式有關(guān)。對(duì)于縱向振動(dòng)模式來說，楊氏模量還可以表示為：

(2)

(3)

式中：n為振動(dòng)階數(shù)；fn為縱向諧振頻率；L為諧振長(zhǎng)度；μ為材料的泊松比;De為鋁棒直徑。

如果僅考慮一階振動(dòng)模態(tài)即n=1，那么只要得到鋁棒在某一長(zhǎng)度時(shí)的諧振頻率，就可以根據(jù)方程(2)求得楊氏彈性模量E。

1.2　超聲波諧振原理

為了準(zhǔn)確測(cè)得長(zhǎng)度為L(zhǎng)的鋁棒對(duì)應(yīng)的一階諧振頻率f，需要建立一套諧振系統(tǒng)使測(cè)試樣件能發(fā)生諧振，并測(cè)試諧振頻率。本文利用功率超聲中常用的超聲波焊接換能器，通過調(diào)整鋁棒長(zhǎng)度讓二者發(fā)生共振。理論上只要換能器的頻率f已知，那么發(fā)生共振時(shí)，鋁棒的諧振頻率也應(yīng)該是f，當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)度L即諧振長(zhǎng)度，然后應(yīng)用方程(2)得到鋁棒的楊氏彈性模量E。但在實(shí)際操作中，存在以下幾個(gè)問題會(huì)給測(cè)試結(jié)果帶來誤差：

1)連接問題。在測(cè)試鋁棒的諧振頻率時(shí)，為了使測(cè)試鋁棒和換能器能夠剛性連接，兩者之間需要用螺絲擰緊。連接螺絲由于材料和螺紋的影響，會(huì)給諧振頻率帶來很大誤差。

2)換能器的頻率誤差。當(dāng)換能器和鋁棒連接后所測(cè)得的諧振頻率實(shí)際上是二者的組合頻率，如果換能器本身的諧振頻率并不十分精確，那么由此測(cè)得的組合頻率值會(huì)同鋁棒的諧振頻率值存在很大誤差。

因此，采用焊接換能器測(cè)試鋁棒諧振頻率時(shí)需要消除以上影響。根據(jù)聲波在圓棒中的傳播特性和圓棒作縱向振動(dòng)時(shí)的頻率方程[4，5]，得到波速、頻率和長(zhǎng)度的關(guān)系如下：

v=lnfn

(4)

(5)

式中：v為超聲波在圓棒中的傳播波速；n為振動(dòng)階數(shù)；ln為波長(zhǎng)。

圖1　鋁棒同換能器連接示意圖

2　物理模型

按照該方法，利用40kHz的焊接換能器測(cè)試直徑為25.1mm的鋁棒。未加工前樣件的原始長(zhǎng)度為141.4mm，質(zhì)量為0.196 kg，計(jì)算得到材料密度為2801kg/m3。如果將鋁棒視為均勻材料，那么其縱向振動(dòng)的諧振頻率受泊松比的影響很小，因此值采用經(jīng)驗(yàn)值0.33。從原始尺寸開始逐漸減小鋁棒的長(zhǎng)度，并用換能器測(cè)出相應(yīng)的頻率值，得到頻率長(zhǎng)度曲線如圖2所示。由插值法得到諧振頻率40000Hz時(shí)對(duì)應(yīng)的全波長(zhǎng)和半波長(zhǎng)分別為123.8mm和60.9mm，二者差值62.9mm即為40000Hz對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)確的半波長(zhǎng)度。通過方程(2)，計(jì)算得到鋁棒的楊氏模量為72.44GPa。

圖2　鋁棒長(zhǎng)度與諧振頻率的關(guān)系曲線圖

3　有限元模型驗(yàn)證

3.1　有限元理論

為了驗(yàn)證測(cè)試的準(zhǔn)確性，利用有限元軟件ANSYS對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行仿真計(jì)算。有限元方法是以變分原理和剖分插值為基礎(chǔ)，對(duì)實(shí)際模型進(jìn)行離散化、構(gòu)造插值函數(shù)，通過物理上的近似，認(rèn)為實(shí)際點(diǎn)的行為由相鄰節(jié)點(diǎn)行為的插值關(guān)系來描述，于是把實(shí)際的物理問題離散化成求解節(jié)點(diǎn)未知量的代數(shù)方程組求解問題。ANSYS在處理結(jié)構(gòu)力學(xué)線性問題所依賴的有限元方程如下：

(6)

式中：[M]、[C]、[K]分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，在結(jié)構(gòu)參數(shù)(包括幾何參數(shù)和材料參數(shù))給定，及有限元網(wǎng)格生成后，[M]、[C]、[K]已經(jīng)完全唯一確定了；{F}是載荷力向量。如果對(duì)模型進(jìn)行模態(tài)分析，則{F}={0}，根據(jù)方程(6)，即為方程(7) 有非零解的本征值問題。

(7)

3.2　仿真結(jié)果

ANSYS模型尺寸直徑為25.1mm，長(zhǎng)度62.9mm，網(wǎng)格劃分如圖3所示。設(shè)定參數(shù)如下：材料密度2801kg/m3，泊松比0.33，楊氏彈性模量72.44GPa，得到的半波長(zhǎng)諧振頻率為39992Hz，振型如圖4，與理論值的誤差僅為8Hz。

圖3　ANSYS中的鋁棒模型及網(wǎng)格劃分圖

圖4　鋁棒的半波長(zhǎng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振型圖

4　結(jié)論

通過有限元法證明，用超聲焊接換能器激發(fā)鋁棒的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，根據(jù)長(zhǎng)度及振動(dòng)頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系求得鋁棒楊氏彈性模量的方法非常有效，為功率超聲設(shè)計(jì)提供了一種簡(jiǎn)單方便而且成本較低的測(cè)試方法。

[1]馮若.超聲手冊(cè).南京大學(xué)出版社，1999

[2]何存富，周辛庚，戴福隆.一種非接觸式測(cè)定材料彈性常數(shù)的新方法.力學(xué)學(xué)報(bào)，1997，29(6)

[3]ASTM標(biāo)準(zhǔn)E1786，C1259

[4]杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學(xué)基礎(chǔ).南京大學(xué)出版社，2001

[5]Rose,J L .固體中的超聲波.何存富，吳斌，王秀彥譯.科學(xué)出版社，2004

[6]花世群.利用洛埃鏡測(cè)鋼絲的楊氏彈性模量.計(jì)量技術(shù)，2002(5)

[7]阮小霞，花世群.用改進(jìn)的邁克耳孫干涉儀測(cè)量楊氏模量.計(jì)量技術(shù)，2006(8)