張永戰(zhàn)， 張慶祥

(1.定邊中學(xué)， 陜西 榆林 719000；2.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 延安 716000)

0 引 言

有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)劃和變分問題的關(guān)系，Hanson[1]在1964年做出了開創(chuàng)性的研究，隨后一些學(xué)者開始相繼對變分問題進(jìn)行了研究[2-4]。C.Nabak和S.Nanda[3]在(F,ρ)凸條件下建立了變分控制問題的對偶理論。后來I.Ahmad和S.Sharma[4]在(F,α,ρ,θ)-V-凸性條件下研究了多目標(biāo)變分問題的混合對偶性。

本文將D.H.Yuan[5]提出的(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，推廣到(C,α,ρ,d)-V-凸，并研究多目標(biāo)變分問題的混合對偶性。同時Wolfe型對偶和Mond-Weir型對偶是這種混合對偶性的特殊情況。得到弱對偶性與強(qiáng)對偶性定理，進(jìn)一步推廣文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論。

1 概念與引理

考慮如下多目標(biāo)變分問題(VP)：

s.t.x(a)=α,x(b)=β,

其中I=[a,b]為實(shí)空間，令X表示(VP)的可行域，即

?i∈P。

下面我們給出幾類新的廣義凸函數(shù)的定義。

對任意的a1,a2∈Rn均成立。

在本文我們總假定C(·,·,·,·,·,·,·,·,·)(0)=0。

2 對偶定理

設(shè)J1是M的子集且J2=MJ1，K1是N的子集且K2=NK1，考慮(VP)的如下混合對偶問題：

(5)

(6)

(7)

在(DVP)中當(dāng)J1=?且K1=?時，即可得到Mond-Weir型對偶，當(dāng)J2=?且K2=?時即可得到Wolfe型對偶。

(8)

(9)

證明假設(shè)定理不成立，由(8)，(9)兩式及(3),(4),(7)式得，

(10)

(11)

于是有

(12)

另外，由(5)式及C(·,·,·,·,·,·,·,·,·)(0)=0，即有

這與d：I×X×X×Y×Y→R+,α：X×X×Y×Y→R+{0}且ρ>0導(dǎo)出矛盾。

(13)

(14)

因此

由假設(shè)(b)可得

(15)

(16)

再由(15)、(16)式得

(17)

另一方面，假設(shè)定理結(jié)論不成立，則(13)與(14)式成立，由假設(shè)(a)，得

從而

(18)

此式與(17)式矛盾。

[參考文獻(xiàn)]

[1] HANSON M A.Bounds for functionally convex optimal control problem[J].J.Math.Anal.Appl.,1964(8)：84-89.

[2] 陳世國,祁傳達(dá).多目標(biāo)變分問題的混合對偶性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2003,33(12)：97-102.

[3] NABAK C,NANDA S.On efficiency and duality for multiobjective variational control problems with (F,ρ)-convexity[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,209：415-434.

[4] AHMAD I,SHARMA S.Sufficiency and duality for multiobjective variational control problems with generalized (F,α,ρ,θ)-V-convexity[J].Nonlinear Analysis,2010,72：2564-2579.

[5] YUAN De-hui,LIU Xiao-ling,CHINCHULUUN A,et al.Nondifferentiable Minimax Fractional Programming Problems with (C,α,ρ,d)-Convexity[J].J.Optim.Theory Appl.,2006,129(1)：185-199.

[6] PREDA V.On efficiency and duality for multiobjective programs[J].J.Math.Anal.Appl.,1992,166：365-377.

[7] BHATI D,MEHRA A.Optimality conditions and duality for multiobjective variational problems with generalized B-invexity[J].J.Math.Anal.Appl.,1999,234：341-360.

[8] 陳世國,劉家學(xué).具V-不變凸性的一類多目標(biāo)控制問題的混合對偶性[J].數(shù)學(xué)雜志,2010,30(2):338-344.

[9] 陳世國,劉家學(xué).具廣義V-不變凸多目標(biāo)變分的混合對偶性[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(1):101-105.