印興耀，周琪超，宗兆云，劉漢卿

(中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島266580)

疊前AVO反演通過研究地震波振幅隨入射角的變化規(guī)律，可以從含有豐富動力學(xué)信息的疊前地震資料中獲得多種反映地下儲層物性信息的彈性參數(shù)，為儲層預(yù)測與烴類檢測提供定量化的依據(jù)[1]。然而，疊前反演是一個嚴(yán)重的病態(tài)問題[2]，并且易受噪聲等不確定性因素的影響。為了獲得穩(wěn)定可靠的反演解，必須對反演過程進(jìn)行合理的約束。

基于貝葉斯理論框架的疊前三參數(shù)反演研究是目前對反演效果進(jìn)行改善的主流方向，該方法將似然函數(shù)與先驗地質(zhì)信息結(jié)合，通過求解最大后驗概率來建立反演的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而反演彈性參數(shù)。其中，先驗信息的正則約束作用可以較好地解決三參數(shù)同時反演所存在的“病態(tài)”問題[3]，似然函數(shù)的構(gòu)建則可以體現(xiàn)反演目標(biāo)與地震子波及地震數(shù)據(jù)的關(guān)系。但對于先驗信息及似然函數(shù)的選擇，并沒有統(tǒng)一的假設(shè)及論述，對此許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。

Mallick等[4]將貝葉斯統(tǒng)計學(xué)的框架引入AVO數(shù)據(jù)的反演，并用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了AVO數(shù)據(jù)的波形反演;Buland等[5]通過概率統(tǒng)計分析認(rèn)為彈性參數(shù)特別是縱波速度基本符合高斯分布，并以此構(gòu)建出貝葉斯反演方法，得到較好地反演結(jié)果;Downton[6]在動校正的基礎(chǔ)上做了AVO稀疏脈沖波形的反演，得到了反射系數(shù)剖面，發(fā)現(xiàn)柯西先驗比高斯先驗分布分辨率更高;Hampson等[7]結(jié)合疊后波阻抗公式推導(dǎo)的思想，給出了疊前AVO三參數(shù)反演公式;陳建江等[8-9]基于貝葉斯理論，建立了測井?dāng)?shù)據(jù)的參數(shù)協(xié)方差矩陣約束反演，提高了反演問題的穩(wěn)定性;楊培杰等[10]驗證了改進(jìn)柯西分布的改良效果，提出了一種基于非線性二次規(guī)劃的疊前三參數(shù)反演方法，能夠較好地反演信噪比較低的數(shù)據(jù);張世鑫等[11]提出了以三分量柯西分布作為先驗函數(shù)分布，在利用柯西分布保護(hù)弱反射信息的同時考慮了三參數(shù)統(tǒng)計的相關(guān)特性，得到了較為準(zhǔn)確的反演參數(shù);王磊等[12]提出了在先驗信息不確定條件下貝葉斯結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)方法，提高了貝葉斯框架的可信度;劉洋等[13]提出了針對非高斯噪聲的地震疊前反演算法，構(gòu)造了能同時壓制高斯和非高斯噪聲的混合范數(shù)作為反演的目標(biāo)函數(shù)，較為有效地壓制了疊前地震資料中的噪聲。

我們在前人研究的基礎(chǔ)上，基于貝葉斯理論，以t分布作為先驗函數(shù)構(gòu)建疊前AVO反演方法，實(shí)現(xiàn)了三參數(shù)的約束反演，為儲層預(yù)測提供了更為可靠的反演參數(shù)。

1 t分布

為了提高對先驗函數(shù)選擇的準(zhǔn)確性，增加后驗函數(shù)的可信度，通過對多個地區(qū)若干口井的測井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)在絕大部分地區(qū)待反演的地層參數(shù)更符合t分布，而與高斯、柯西分布存在較大差別，因此，選擇t分布作為先驗函數(shù)更為合理(圖1)。

圖1 井中待反演參數(shù)分布

t分布的概率密度函數(shù)是常規(guī)的t分布自由度(k)選擇值通常為k>1，但在此構(gòu)建計算過程中，為了在特殊情況下提高分辨率，我們也可以選擇k<1。當(dāng)t分布自由度取1時，t分布成為柯西分布；當(dāng)自由度取+∞時，t分布成為高斯分布。

(1)

圖2給出了不同自由度的t分布與高斯分布及柯西分布的函數(shù)曲線對比。由圖2可以看出，在構(gòu)建的貝葉斯理論框架下，先驗函數(shù)選擇高斯分布和柯西分布只是t分布的兩個特例，與高斯分布、柯西分布相比，t分布有更大的適用性。

圖2 不同自由度的t分布與高斯分布及柯西分布的函數(shù)曲線

2 方法原理

2.1 反演流程

我們采用基于t分布作為先驗函數(shù)構(gòu)建的貝葉斯疊前AVO反演方法，通過處理過的地震數(shù)據(jù)和地震子波，直接反演得到彈性參數(shù)，具體流程如圖3所示。

圖3 基于貝葉斯框架的AVO反演流程

2.2 基于t分布為先驗函數(shù)的貝葉斯方程的建立

由貝葉斯公式得到參數(shù)m的后驗概率分布為

(2)

式中：m為要估計的參數(shù);x為觀測樣本;p(m|x)為后驗概率;p(m)為先驗概率;p(x|m)為似然函數(shù)。貝葉斯估計在地震反演中的用法就是由帶噪聲的觀測數(shù)據(jù)d估計模型參數(shù)m。假設(shè)地震資料的背景噪聲服從高斯分布，則似然函數(shù)為

(3)

(4)

式中：σm為模型參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。由貝葉斯公式[3,14]可得后驗概率分布為

(5)

其中，

對后驗概率分布取極值(對目標(biāo)函數(shù)取對數(shù)，省略常數(shù)項，再求導(dǎo))得

(8)

2.3 模型約束

在有井資料或其他地質(zhì)資料時，通常用一些簡單的數(shù)學(xué)變換關(guān)系式來對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行趨勢約束，使反演結(jié)果更精確。

本文中的模型約束矩陣形式寫為

(9)

式中：ξ為模型參數(shù)對應(yīng)的井資料數(shù)據(jù);P為積分算子矩陣。

將模型約束加入到目標(biāo)函數(shù)，則最終目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(10)

(11)

2.4 自由度的選擇

由(11)式可以看出，在反演目標(biāo)函數(shù)中，除了噪聲和模型的分布方差外，自由度k是反演過程中正則化約束大小的決定性因素。t分布自由度的選擇，是決定反演效果的重要因素。對一般地區(qū)的處理，可根據(jù)反演地區(qū)的井?dāng)?shù)據(jù)，通過參數(shù)提取進(jìn)行曲線擬合，以此確定自由度的數(shù)值。對于無井地區(qū)的自由度選擇，可先抽取一個地震道集，通過反演試算確定自由度。

3 模型試算

給定一個雷克子波和反射界面模型，進(jìn)行無噪與有噪的正演合成，結(jié)果如圖4所示。

下面驗證t分布與柯西分布、高斯分布作為先驗函數(shù)的反演效果。

1) 當(dāng)信噪比為4時，合成數(shù)據(jù)(圖5a)質(zhì)量較好，分別采用柯西分布、t分布以及高斯分布的算法進(jìn)行反演，得到圖5b，圖5c和圖5d。可以看出，三者均能識別反射層位，柯西分布和t分布的反演結(jié)果分辨率相對較高，故應(yīng)選擇柯西分布或自由度相對較小的t分布。

2) 當(dāng)信噪比為2時，合成數(shù)據(jù)(圖6a)質(zhì)量一般，分別采用柯西分布、t分布以及高斯分布構(gòu)建的算法進(jìn)行反演，得到圖6b，圖6c和圖6d?？梢钥闯觯咚狗植嫉姆囱萁Y(jié)果可以大體分辨反射層位，但波動性較大，精度較低;柯西分布的反演結(jié)果精度提高，卻產(chǎn)生了“假反射”，誤導(dǎo)反射層位的判斷;而t分布的反演結(jié)果可以較好地反應(yīng)反射層位，且分辨精度較高。

通過圖5和圖6可以看出，相對于t分布作為先驗函數(shù)構(gòu)建的算法，高斯分布(相當(dāng)于自由度為+∞的t分布)和柯西分布(相當(dāng)于自由度為1的t

圖4 給定的子波(a)與反射系數(shù)(b)正演合成的無噪(c)和有噪(d)數(shù)據(jù)

圖5 信噪比為4時合成數(shù)據(jù)(a)的柯西分布(b)、t分布(c)及高斯分布(d)反演結(jié)果

分布)作為先驗函數(shù)構(gòu)建的算法反演效果相對較差。通過圖5b和圖5c(或者圖6b和圖6c)的對比，可以發(fā)現(xiàn)自由度適當(dāng)增大可以提高反演的穩(wěn)定性;通過圖5c和圖5d(或者圖6c和圖6d)的對比，可以發(fā)現(xiàn)自由度適當(dāng)減少可以提高分辨率。

為了進(jìn)一步驗證t分布作為先驗分布的貝葉斯反演方法的可行性，我們對圖7所示的Marmousi模型數(shù)據(jù)(包括縱、橫波速度及密度數(shù)據(jù))進(jìn)行試算。

圖8是根據(jù)圖7中的數(shù)據(jù)進(jìn)行不同角度道集疊加的剖面。圖9是對圖8中的疊加剖面進(jìn)行基于t分布的疊前AVO反演得到的彈性參數(shù)剖面。通過反演出的縱、橫波速度和密度剖面(圖9)與原始二維地層模型數(shù)據(jù)(圖7)的對比可以看出，二者吻合度較高，且分層較為清晰，細(xì)節(jié)反演準(zhǔn)確，證明了t分布構(gòu)建的貝葉斯框架反演效果較好，有較高的分辨率和適用性。

圖6 信噪比為2時合成數(shù)據(jù)(a)的柯西分布(b)、t分布(c)及高斯分布(d)反演結(jié)果

圖7 二維Marmousi地層模型數(shù)據(jù)a 縱波速度; b 橫波速度; c 密度

圖8 Marmousi模型數(shù)據(jù)不同角度道集疊加剖面a 小角度(5°～15°); b 中角度(15°～25°); c 大角度(25°～35°)

圖9 Marmousi模型數(shù)據(jù)基于t分布的疊前AVO反演得到的彈性參數(shù)a 縱波速度; b 橫波速度; c 密度

4 實(shí)際資料處理

為了驗證本文方法處理實(shí)際資料的有效性和實(shí)用性，對某地區(qū)實(shí)際地震資料的疊前角道集進(jìn)行彈性參數(shù)反演。分別采用基于柯西分布、t分布和高斯分布作為先驗函數(shù)構(gòu)建的算法進(jìn)行反演，對反演得到的結(jié)果與測井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。

圖10是該地區(qū)縱波速度的反演結(jié)果，可以看出，基于3種分布的算法均能較好地反演出縱波速度，但在一些細(xì)節(jié)部位(見圖中藍(lán)圈標(biāo)示)，t分布還是具有較好的改善功能。

圖11是該地區(qū)橫波速度的反演結(jié)果，可以看出，t分布作為先驗函數(shù)構(gòu)建的反演算法(圖11b)比柯西分布、高斯分布作為先驗函數(shù)構(gòu)建的反演算法(圖11a，圖11c)反演效果明顯改善(見圖中藍(lán)圈標(biāo)示)，反演的數(shù)據(jù)更切合真實(shí)值。

圖12是該地區(qū)密度信息的反演結(jié)果，可以看出，密度反演相對于縱、橫波速度反演精確度明顯下降，但以t分布為先驗函數(shù)的反演算法(圖12b)比柯西分布、高斯分布作為先驗函數(shù)的反演算法(圖12a，圖12c)整體效果要好，反演出的密度基本可以較好地刻畫地層巖石的真實(shí)密度。

圖10 實(shí)際資料反演得到的縱波速度(黑色曲線)與測井縱波速度(紅色曲線)對比a 柯西分布; b t分布; c 高斯分布

圖11 實(shí)際資料反演得到的橫波速度(黑色曲線)與測井橫波速度(紅色曲線)對比a 柯西分布; b t分布; c 高斯分布

圖12 實(shí)際資料反演得到的密度(黑色曲線)與測井密度(紅色曲線)對比a 柯西分布; b t分布; c 高斯分布

通過圖10至圖12的對比分析表明，針對實(shí)際地震資料，t分布構(gòu)建的貝葉斯框架反演方法反演精度更高，適用性更好，可以得到更為可靠的彈性參數(shù)反演結(jié)果，從而更為準(zhǔn)確地預(yù)測儲層流體。

5 結(jié)束語

1) 模型數(shù)據(jù)和實(shí)際資料的疊前反演結(jié)果表明，t分布作為先驗概率分布更符合實(shí)際地層參數(shù)分布，反演效果更好。

2) 對于t分布的自由度選取，應(yīng)對測井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到初始自由度。

3) 對t分布自由度的選擇還應(yīng)考慮實(shí)際地震資料的采集、處理情況，若反演初始資料質(zhì)量相對較高，則應(yīng)選擇較小的自由度;若反演初始資料質(zhì)量相對較低，則應(yīng)選擇較大的自由度。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Downton J E.Seismic parameter estimation from AVO inversion[M].Calgary:University of Calgary,2005:1-371

[2] Tarantola A.Inverse problem theory and methods for model parameter estimation[M].Philadelphia：Society of Industrial and Applied Mathematics,2005:1-342

[3] Ulrych T J,Sacchi M D,Woodbury A.A Bayes tour of inversion:a tutorial[J].Geophysics,2001,66(1):55-69

[4] Mallick S.Model-based inversion of amplitude variations with offset data using a genetic alporithm[J].Geophysics,1995,60(4):939-954

[5] Buland A,Omre H.Bayesian linearized AVO inversion[J].Geophysics,2003,68(1):185-198

[6] Downton J E,Lines L.Constrained three parameter AVO inversion and uncertainty analysis[J].Expanded Abstracts of 71stAnnual Internet SEG Mtg,2001,251-254

[7] Hampson D P,Russell B H,Bankhead B P,et al.Simultaneous inversion of pre-stack seismic data[J].Expanded Abstracts of 75thAnnual Internet SEG Mtg,2005,1633-1637

[8] 陳建江，印興耀.基于貝葉斯理論的AVO三參數(shù)波形反演[J].地球物理學(xué)報，2007，50(4)：1251-1260

Chen J J,Yin X Y.Three-parameter AVO waveform inversion based on Bayesian theorem[J].Chinese Journal of Geophysics,2007,50 (4):1251-1260

[9] 陳建江.AVO 三參數(shù)反演方法研究[D].山東青島：中國石油大學(xué)，2007

Chen J J.Study of three-term AVO Inversion Method[D].Qingdao:China University of Petroleum,2007

[10] 楊培杰，印興耀.非線性二次規(guī)劃貝葉斯疊前反演[J].地球物理學(xué)報，2008，51(6)：1876-1882

Yang P J,Yin X Y.Non-linear quadratic programming Bayesian prestack inversion [J].Chinese Journal of Geophysics,2008,51(6):1876-1882

[11] 張世鑫，印興耀，張繁昌.基于三變量柯西分布先驗約束的疊前三參數(shù)反演方法[J].石油地球物理勘探，2011，46(5):737-747

Zhang S X,Yin X Y,Zhang F C.Prestack three term

inversion method based on Trivariate Cauchy distribution prior constraint[J].Oil Geophysical Prospecting,2011,46(5):767-747

[12] 王磊，劉明輝，王維平.先驗信息不確定條件下貝葉斯網(wǎng)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)方法[J].計算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46(16):39-41

Wang L,Liu M H,Wang W P.Structure learning method of Bayesian network with uncertain prior information [J].Computer Engineering and Applications,2010,46(16):39-41

[13] 劉洋,張家樹,胡光岷,等.疊前三參數(shù)非高斯反演方法研究[J].地球物理學(xué)報,2012,55(1):269-276

Liu Y,Zhang J S,Hu G M,et al.Study of three-term non-Gaussian pre-stack inversion method[J].Chinese Journal of Geophysics,2012,55(1):269-276

[14] Lindley V.Introduction to probability and statistics from a Bayesian viewpoint[M].London:Cambridge University Press,1965:1-292