劉百芬，金小龍，祝振敏

(華東交通大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

引言

在機(jī)器視覺測量系統(tǒng)中，光源的光照均勻程度和照明強(qiáng)度會對采集圖像的分辨率和檢測目標(biāo)的對比度產(chǎn)生重要影響[1-3]。光照不均、光照過暗都會造成圖像中測量目標(biāo)和背景的對比度過弱，從而增大后續(xù)圖像處理的難度，影響測量精度。因此，設(shè)計一個照度合適的均勻照明光源對提高機(jī)器視覺系統(tǒng)的檢測精度和可靠性至關(guān)重要。

發(fā)光二極管(LED)作為新一代的綠色光源，具有發(fā)光效率高、能耗低、壽命長、結(jié)構(gòu)緊湊、安全性和穩(wěn)定性好等諸多優(yōu)點(diǎn)，近年來越來越廣泛地應(yīng)用在機(jī)器視覺測量這種需要均勻照明條件的領(lǐng)域[4-9]。但是，單顆LED所能提供的光能有限，很難滿足實際系統(tǒng)中大面積、高亮度的照明要求；并且，大部分LED產(chǎn)品的出光呈現(xiàn)朗伯分布，并不適合單獨(dú)作為系統(tǒng)光源。因此，在大多數(shù)應(yīng)用場合中往往需要進(jìn)行合適的光學(xué)設(shè)計，才能滿足機(jī)器視覺測量的需要。Moreno等通過合理配置各種LED陣列(環(huán)形、線形、方形、球形)，利用直射方式有效地得到了均勻照明[4]。丁毅等通過設(shè)計一個用于二次配光的自由曲面反射器，將LED發(fā)出的光強(qiáng)重新分配，在目標(biāo)平面上得到均勻照明區(qū)域[5]。然而，采用多個波段的LED作為彩色視覺系統(tǒng)的光源進(jìn)行直射照明往往會產(chǎn)生混光不均的問題；此外，若利用理想光學(xué)器件進(jìn)行間接照明，大量光線經(jīng)鏡面反射或折射后，可能產(chǎn)生眩光不適、曝光過度等現(xiàn)象，這將嚴(yán)重影響圖像質(zhì)量，不利于后續(xù)圖像處理工作的開展。近年來，也有學(xué)者研究基于漫反射原理的間接照明模式[10-14]。Tsuei等利用積分球形漫反射面調(diào)整出射光線的色溫和亮度，提高了室內(nèi)環(huán)境的輻照均勻性，同時有效避免了不良眩光的出現(xiàn)[10-11]。但是，該方案采用簡單的積分球形內(nèi)表面進(jìn)行光強(qiáng)分配，并沒有對其面型輪廓進(jìn)行設(shè)計，不適合直接用于機(jī)器視覺測量系統(tǒng)中。

為克服上述各類照明光源存在的諸多缺陷與制約，本文提出采用LED陣列與高漫反射率自由曲面構(gòu)成的間接照明方式。首先，根據(jù)LED光源的發(fā)光特性和目標(biāo)平面預(yù)期的光強(qiáng)分布建立該間接照明系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)值方法求解微分方程組得到自由曲面的面形輪廓。最后，將設(shè)計得到的光源系統(tǒng)實體模型導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件進(jìn)行模擬驗證。

1 漫反射面設(shè)計

本研究中LED陣列發(fā)出的光線經(jīng)自由曲面高漫反射率內(nèi)表面反射后，最終在目標(biāo)檢測平面上形成一個圓形的均勻照明區(qū)域。根據(jù)LED光源的發(fā)光特性和理想漫反射表面對光線的散射作用，首先構(gòu)建基于LED陣列與高漫反射率自由曲面的間接照明光源數(shù)學(xué)模型；再結(jié)合目標(biāo)照明區(qū)域的輻照分布要求，建立用于限定漫反射面形狀的自由曲面微分方程組；最后利用數(shù)值方法求解該方程組并擬合得到所需的自由曲面面型輪廓。

1.1 LED光源陣列數(shù)學(xué)模型

為了求解漫反射曲面的面形輪廓，首先必須確定光源陣列、漫反射曲面以及目標(biāo)照明平面的位置坐標(biāo)。如圖1所示，以LED陣列發(fā)光面中心O為原點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系。目標(biāo)照明平面T為一個半徑為R的圓形區(qū)域，與xOy水平面距離為H。

圖1 光源陣列、自由曲面、照明平面的相對位置圖Fig.1 Relationship among source array, freeform surface and illumination plane

理想的LED發(fā)光體可視為一個朗伯點(diǎn)光源，其輻照分布可表示為一個余弦函數(shù)[13-14]：

(1)

式中：E(r,θ)為輻射照度；r為LED與照明目標(biāo)之間的距離；θ為出射光線與光軸間的夾角；ILED為沿LED光軸方向上的出射光強(qiáng)。m是與LED半衰角θ1/2(由LED生產(chǎn)廠商提供)有關(guān)的數(shù)值，由下式給出：

(2)

根據(jù)實際視覺檢測中大面積、高亮度的照明需要，本文選用3種典型的平面陣列(線形陣列、環(huán)形陣列、矩形陣列)作為系統(tǒng)的發(fā)光源。由于LED是一種非相關(guān)光源，故陣列光源對某一區(qū)域的輻射照度為其單顆作用的疊加。

1) 線形陣列

線形陣列如圖2(a)所示。

在圖1所示的笛卡爾坐標(biāo)系下，空間中任意位置(x,y,z)處的輻射照度E(x,y,z)可表示為

(3)

式中：N為陣列中LED的總數(shù)目；d為相鄰兩LED間的距離。

2) 環(huán)形陣列

環(huán)形陣列如圖2(b)所示。

具有旋轉(zhuǎn)對稱的結(jié)構(gòu)配置，特別適合應(yīng)用在朗伯分布的LED系統(tǒng)的光學(xué)設(shè)計中。針對此陣列，總的輻照分布E(x,y,z)可表示為

(4)

式中:N為陣列中LED的總數(shù)目;R為該環(huán)形陣列的半徑。

(3) 矩形陣列

矩形陣列如圖2(c)所示。

此類陣列因便于裝配，被廣泛應(yīng)用于機(jī)器視覺領(lǐng)域。同理，總的輻照分布E(x,y,z)可表示為

2i)(d/2)]2+[y-(N+1-

(5)

式中：M、N用于表示陣列光源的規(guī)模；d為相鄰兩LED間的距離。在本文以下的建模與求解中，均以該陣列為系統(tǒng)發(fā)光源(M=N=3，d=2，m=4.82)進(jìn)行漫反射曲面的設(shè)計。

圖2 平面LED陣列Fig. 2 Flat LED array

1.2 高漫反射率反射曲面數(shù)學(xué)模型

基于旋轉(zhuǎn)對稱原理，本文考慮在二維平面內(nèi)建立漫反射自由曲面的數(shù)學(xué)模型。

圖3 漫反射自由曲面求解原理圖Fig.3 Schematic diagram of diffuse reflection freeform surface solution

圖3所示為自由曲面面形輪廓求解原理圖。設(shè)以θ為出射夾角的光線由LED光源發(fā)出，與高漫反射率自由曲面內(nèi)表面P交于p點(diǎn)，坐標(biāo)記為(x,z)；該光線經(jīng)自由曲面漫反射后，某條出射光線Out與目標(biāo)照明平面T交于t點(diǎn)，坐標(biāo)記為(xt,-H)。根據(jù)微分幾何知識，有：

(6)

其中φ為自由曲面在p點(diǎn)處的法線N與該漫反射光線Out之間的夾角。

本研究中用于重新分配光源能量的自由曲面是一個具有高漫反射率的表面，可近似看作朗伯表面，LED光源發(fā)出的光線經(jīng)該表面反射后會等同的向各個方向散射開來。針對朗伯表面，有[13-14]：

Iφ=I0cosφ

(7)

式中：I0為沿自由曲面法線方向上漫反射光線的出射光強(qiáng)；Iφ為沿某特定方向(出射夾角為φ)上漫反射光線的出射光強(qiáng)。

基于上述理論，目標(biāo)檢測平面上的輻照分布可表示為

(8)

式中：E為高漫反射率內(nèi)表面接收到的來自LED光源的輻射照度，針對本文研究的矩形陣列，已由式(5)給出；ρ為曲面反射比，用于描述漫反射光線在空間中各個方向上的均勻性；dt為自由曲面與目標(biāo)檢測平面之間的距離；dS用于表示自由曲面上的面積元。

為避免積分運(yùn)算，此處將用于描繪自由曲面輪廓的所有離散點(diǎn)看作朗伯次級點(diǎn)光源，目標(biāo)檢測平面上任意位置的輻照度可表示為上述所有次級光源發(fā)出的光強(qiáng)在該位置的疊加：

(9)

其中u為圖3中用于描繪自由曲面曲線弧的所有離散點(diǎn)即朗伯次級點(diǎn)光源的數(shù)目。

1.3 構(gòu)建與求解自由曲面方程組

以實現(xiàn)均勻照明為目標(biāo)，在檢測平面上選取與定義自由曲面的離散點(diǎn)相同數(shù)量的采樣點(diǎn)，利用前面所建立的間接照明光源數(shù)學(xué)模型，令各采樣點(diǎn)處的輻照分布表達(dá)式(9)均取值為1，這樣構(gòu)建一組以圖3所示的自由曲面曲線弧上各離散點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,z1)，(x2,z2)，…，(xu,zu)為未知變量的方程：

(10)

為簡化計算難度，首先設(shè)置自由曲線初始點(diǎn)的坐標(biāo)和步長，并使用Euler數(shù)值方法使方程式(10)中的微分項dx,dz為其一階差分格式，通過編程迭代計算、平滑擬合，得到用于限定自由曲線形狀的一系列離散點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。最后將該光滑曲線繞對稱中心z軸旋轉(zhuǎn)一周，得到所求高漫反射率自由曲面的面形輪廓如圖4所示。

圖4 自由曲面面形輪廓Fig.4 Outline of diffuse reflection freeform surface

2 仿真與驗證

將上節(jié)解出的漫反射自由曲面導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件TracePro中，模擬光源選用朗伯發(fā)光的半球形面光源，自由曲面漫反射率ρ取0.9，通過非序列光線追跡，得到目標(biāo)檢測平面的輻照分布如圖5所示。

圖5 檢測平面輻照均勻性仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of irradiance uniformity over detection plane

由圖5可知，在基于LED矩形陣列與高漫反射率自由曲面的間接照明系統(tǒng)中，目標(biāo)檢測平面的輻照均勻度達(dá)到了95.54%，實現(xiàn)了較良好的照明效果。

基于相同理論，通過建模、計算與仿真，表1給出了在3種LED平面陣列(線形陣列、環(huán)形陣列、矩形陣列)照射下，目標(biāo)檢測平面的輻照均勻度與系統(tǒng)效率在直射方式與利用漫反射自由曲面間接照明方式下的對比情況。

表1兩類照明模式仿真結(jié)果對比

Table1Simulationresultswithdifferentilluminationpatterns

LED陣列類型照明方式輻照均勻度/%系統(tǒng)效率/%線形陣列直射照明74．466．9漫反射照明90．660．1環(huán)形陣列直射照明73．369．5漫反射照明91．359．0矩形陣列直射照明73．769．4漫反射照明95．558．9

由表1可知：相比于直射照明模式，若采用高漫反射率自由曲面進(jìn)行二次配光，目標(biāo)檢測區(qū)域的輻照均勻性將顯著提高，而光學(xué)系統(tǒng)的效率下降并不明顯。這一仿真結(jié)果證實了本設(shè)計方案的合理性與有效性。

3 結(jié)論

本文提出了一種用于實現(xiàn)均勻照明的高漫反射率自由曲面的設(shè)計方法。根據(jù)LED光源與高漫反射率表面的朗伯特征，構(gòu)建了光源系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以實現(xiàn)檢測平面的均勻照明為目標(biāo)，建立了自由曲面微分方程組，利用數(shù)值方法編程求解，得到了漫反射自由曲面的面形輪廓。通過光學(xué)軟件進(jìn)行光線追跡仿真，模擬結(jié)果顯示利用漫反射自由曲面間接照明，檢測平面的輻照均勻度相比于直射照明模式有明顯提高，證實了本設(shè)計方案的正確性與有效性。

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