王軍保 ，劉新榮 ，楊欣，黃明

(1. 西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安，710055；2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶，400045；3. 福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 福州，350108)

鹽巖是一種特殊的軟巖，具有結(jié)構(gòu)致密、孔隙度低、滲透性低、力學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定、蠕變性良好和損傷自恢復(fù)能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，被公認(rèn)為是能源(石油、天然氣)地下儲(chǔ)存和放射性廢棄物地下處置的理想介質(zhì)[1]。蠕變特性作為鹽巖最為重要的力學(xué)性質(zhì)之一，是影響鹽巖地下儲(chǔ)存庫(kù)長(zhǎng)期穩(wěn)定性、安全性以及可用性的關(guān)鍵因素：因此，對(duì)鹽巖蠕變特性進(jìn)行研究尤為重要。由于鹽巖在能源地下儲(chǔ)存方面的重要地位，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)鹽巖蠕變本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了較多研究，提出了多種蠕變模型[1-9]。但總體上，這些模型可以分為以下三大類[10]：經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、唯象模型和元件組合模型。從整個(gè)巖石力學(xué)流變領(lǐng)域來(lái)看，元件組合模型由于本構(gòu)方程形式簡(jiǎn)單，模型及其參數(shù)物理意義明確，且能夠把巖石復(fù)雜的力學(xué)性質(zhì)直觀地表現(xiàn)出來(lái)，因而應(yīng)用較為廣泛。但傳統(tǒng)的元件組合模型是一種線性模型，無(wú)法描述巖石蠕變的非線性特征。為了克服這一不足，一種有效的方法就是采用非線性流變?cè)娉Ｒ?guī)線性流變?cè)?jù)此建立巖石蠕變模型。熊良宵等[11]提出了一個(gè)可以描述巖石非線性黏彈性流變特征的黏滯體，將該非線性黏滯體替換Burgers 模型中的線性黏滯體，得到了非定常 Burgers 模型。黃明等[12]提出了一種修正Kelvin 模型，并將該模型與黏滯體、彈性體進(jìn)行串聯(lián)建立了可描述巖石非線性蠕變特性的修正Burgers 模型?？涤绖偟萚13]為了描述巖石蠕變?nèi)^(guò)程，用非定常黏滯體替換Burgers 模型中的定常黏滯體，給出了一種非定常Burgers 模型。Steipi 等[14]將西原模型中的黏塑性參數(shù)描述為黏塑性應(yīng)變的函數(shù)，提出了改進(jìn)的西原模型。蔣昱州等[15]提出了一個(gè)變系數(shù)的黏滯體，建立了新的巖石非線性黏彈塑性全過(guò)程蠕變模型。楊文東等[16]構(gòu)建了由彈性體、村山體、非線性黏塑性體串聯(lián)而成的非線性黏彈塑性流變模型，該模型可以描述巖石流變的加速階段。曹平等[17]定義應(yīng)力與試件長(zhǎng)期強(qiáng)度的比值為加速蠕變速率冪級(jí)數(shù)n，模型發(fā)生加速蠕變時(shí)的總?cè)渥兞繛槿渥兲卣鏖L(zhǎng)度 εc，進(jìn)而建立了能夠描述巖石加速蠕變的力學(xué)模型。以往對(duì)于巖石非線性蠕變模型的研究大多是針對(duì)巖石加速蠕變階段展開(kāi)的，而巖石特別是鹽巖，在前2 個(gè)蠕變階段也存在非線性特征，且在圍壓作用下，鹽巖加速蠕變并不容易出現(xiàn)[1]?；诖?，本文作者結(jié)合非線性流變力學(xué)理論，對(duì)常規(guī)黏滯體元件進(jìn)行改進(jìn)，提出一種變系數(shù)非線性黏滯體，然后通過(guò)將該非線性黏滯體替換常規(guī)Burgers 模型中的線性黏滯體，建立一種非線性Burgers 模型即NBurgers 模型，并利用鹽巖三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果對(duì)NBurgers 模型參數(shù)進(jìn)行反演識(shí)別，以驗(yàn)證模型的適用性。

1 非線性黏滯體的提出及其特性分析

傳統(tǒng)的元件組合模型通常無(wú)法反映巖石蠕變的非線性特征，這是因?yàn)檫@類模型將黏性元件假定為理想的牛頓流體，認(rèn)為其黏性系數(shù)是固定不變的常數(shù)的緣故[15]。近年來(lái)，隨著人們對(duì)巖石非線性蠕變特征的逐步研究和認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)這一假定不夠準(zhǔn)確，巖石材料的黏滯系數(shù)在蠕變過(guò)程中是不斷發(fā)生變化的。陳文玲等[18]通過(guò)對(duì)巖石蠕變過(guò)程的分析，指出當(dāng)施加的荷載為中高應(yīng)力水平但未達(dá)到巖石破壞應(yīng)力時(shí)，巖石蠕變僅出現(xiàn)前2 個(gè)階段，即衰減蠕變階段和穩(wěn)態(tài)蠕變階段，此時(shí)，黏滯系數(shù)隨著時(shí)間增加而逐漸增大，并最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值后不再變化。

受此啟發(fā)，為了更好地描述鹽巖的非線性蠕變特征，本文提出一個(gè)變系數(shù)的非線性黏滯體，其本構(gòu)關(guān)系如下：

式中：σ 為應(yīng)力；dε/dt為應(yīng)變速率；t 為時(shí)間；m 為非線性系數(shù)；η0為黏滯系數(shù)的最大值。

從式(1)可以看出該黏滯體的黏滯系數(shù)隨時(shí)間增加不斷發(fā)生變化，且其變化規(guī)律符合下式：

下面對(duì)式(2)函數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行分析。

當(dāng)t=0 時(shí)，

即 η (t)初始值不為0。

將式(2)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)并整理，可得

說(shuō)明η (t)單調(diào)遞增。

將式(2)變形可得

由式(5)可知：當(dāng)t→∞時(shí)，η (t)→η0，這說(shuō)明η (t)存在上限值且上限值為η0。

由以上分析可以看出：當(dāng)時(shí)間t 從0→∞時(shí)，黏滯系數(shù)η (t)從η0/(1+m)→η0。因此，式(2)所示函數(shù)特點(diǎn)與文獻(xiàn)[18]所描述的巖石黏滯系數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律較符合。

式(1)變形可得

將式(6)對(duì)時(shí)間積分，并結(jié)合初始條件(t=0，ε=0)，可得該非線性黏滯體的蠕變方程為

1.1 非線性系數(shù)對(duì)蠕變應(yīng)變的影響

圖1 所示為σ和η0均相同的情況下，非線性系數(shù)m 的變化對(duì)蠕變曲線的影響規(guī)律示意圖。由圖1可以看出：當(dāng)m=0時(shí)，此時(shí)實(shí)質(zhì)為常規(guī)黏滯體，蠕變曲線為斜率不變的直線，僅存在穩(wěn)態(tài)蠕變階段；當(dāng)m≠0時(shí)，蠕變曲線不再是直線，而是一簇形狀相似的曲線簇，且均存在衰減蠕變和近似穩(wěn)態(tài)蠕變2 個(gè)階段。隨著m 增大，衰減蠕變階段越來(lái)越明顯，持續(xù)時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng)，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)蠕變的時(shí)間越來(lái)越晚，且相同時(shí)刻的變形量也越來(lái)越大。這說(shuō)明非線性黏滯體具有衰減蠕變特性，與常規(guī)黏滯體不同。

圖1 不同非線性系數(shù)下的蠕變曲線Fig.1 Creep curves with different nonlinear coefficients

1.2 非線性系數(shù)對(duì)蠕變速率的影響

式(6)所示為非線性黏滯體蠕變速率的表達(dá)式。由式(6)可知：m=0時(shí)，此時(shí)實(shí)質(zhì)為常規(guī)黏滯體，蠕變速率保持σ/η0不變；m≠0時(shí)蠕變速率隨時(shí)間增加而單調(diào)遞減，且當(dāng)t=0時(shí)，dε/dt=σ(1+m)/η0；當(dāng)t→∞時(shí)，dε/dt=σ/η0。這說(shuō)明非線性黏滯體的初始蠕變速率為常規(guī)黏滯體蠕變速率的(1 + m)倍，且只有當(dāng)t→∞時(shí)，2 種黏滯體的蠕變速率才相等，其余時(shí)刻非線性黏滯體的蠕變速率均大于常規(guī)黏滯體的蠕變速率。

圖2 所示為不同非線性系數(shù)下的蠕變速率曲線示意圖。由圖2 可見(jiàn)：當(dāng)m=0時(shí)，蠕變速率最小且保持恒定，蠕變速率曲線為1 條水平線；當(dāng)m≠0時(shí)，蠕變速率在初始時(shí)刻最大，隨著時(shí)間延長(zhǎng)而逐漸衰減，且m 越大衰減過(guò)程越顯著。理論上，只有當(dāng)t→∞時(shí)，非線性黏滯體和常規(guī)黏滯體的蠕變速率才會(huì)相等；而實(shí)際上，由于非線性系數(shù)m 是1 個(gè)有限值，當(dāng)時(shí)間增加到一定程度后，m/(t+1)已經(jīng)接近于0，此時(shí)兩者的蠕變速率已經(jīng)非常接近。圖2 所示曲線可以清楚地說(shuō)明這一點(diǎn)。

圖2 不同非線性系數(shù)下的蠕變速率曲線Fig.2 Creep rate curves with different nonlinear coefficients

由以上分析可以看出：非線性黏滯體不僅包含了常規(guī)黏滯體的基本特性，而且還具有常規(guī)黏滯體所不具有的特殊性質(zhì)。因此，在描述鹽巖蠕變特性時(shí)將會(huì)具有更好的適應(yīng)性。

2 鹽巖蠕變?cè)囼?yàn)及非線性蠕變模型

2.1 鹽巖蠕變?cè)囼?yàn)

試驗(yàn)所用鹽巖試樣取自江蘇淮安某鹽礦，主要成分為NaCl，質(zhì)地較純，呈白色、灰白色，部分略帶灰黑色不溶物雜質(zhì)。按照巖石力學(xué)試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的要求，將巖樣加工成直徑為50 mm、高度為100 mm 的圓柱形標(biāo)準(zhǔn)試件。試驗(yàn)儀器采用長(zhǎng)春朝陽(yáng)儀器廠生產(chǎn)的RLW-2000 巖石流變?cè)囼?yàn)機(jī)。該設(shè)備主要由機(jī)架、軸向穩(wěn)壓系統(tǒng)、側(cè)向穩(wěn)壓系統(tǒng)、數(shù)字控制系統(tǒng)及微機(jī)系統(tǒng)等5 部分組成，最大軸向荷載為2 000 kN，最大圍壓為60 MPa。

為了研究該礦鹽巖的蠕變特性，對(duì)4 個(gè)試件進(jìn)行不同圍壓下的分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)。圖3 所示為圍壓10 MPa 試件的分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)曲線，軸向應(yīng)力分別為20，25 和30 MPa。由圖3 可以看到：鹽巖在各級(jí)荷載作用下的變形均由加載過(guò)程產(chǎn)生的瞬時(shí)應(yīng)變、衰減蠕變應(yīng)變以及蠕變速率較為穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)蠕變應(yīng)變3部分組成。由于試驗(yàn)所施加的最高應(yīng)力未達(dá)到使巖樣發(fā)生加速蠕變的臨界應(yīng)力，且受試驗(yàn)條件限制，加載時(shí)間不夠長(zhǎng)，鹽巖未進(jìn)入到加速蠕變階段；在圍壓不變的情況下，隨著軸向應(yīng)力增大，鹽巖瞬時(shí)應(yīng)變、蠕變應(yīng)變、穩(wěn)態(tài)蠕變速率等均隨之增大，且軸向應(yīng)力越大，衰減蠕變階段蠕變曲線的曲率半徑越大，經(jīng)歷的時(shí)間越長(zhǎng)，達(dá)到穩(wěn)態(tài)蠕變的時(shí)間越晚。

圖3 鹽巖分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)曲線Fig.3 Creep curve of salt rock under step loading

2.2 非線性蠕變模型的建立

通過(guò)前面對(duì)鹽巖蠕變曲線特征的分析可以看出，試驗(yàn)曲線與Bugrers 模型蠕變曲線較為相似，但常規(guī)Bugrers 模型無(wú)法反映鹽巖蠕變的非線性特征。為了能夠較好地描述鹽巖的非線性黏彈性蠕變特性，本文將前面提出的非線性黏滯體替換常規(guī)Bugrers 模型中的線性黏滯體，從而構(gòu)成變系數(shù)的非線性Burgers 模型，本文將其命名為NBurgers 模型。NBurgers 模型由彈性體(H)、非線性黏滯體(NN)和非線性黏彈性體(NN/H)共3 部分串聯(lián)組成?？紤]到參數(shù)數(shù)量過(guò)多會(huì)給模型參數(shù)求解增加難度，本文取NN 體的非線性系數(shù)m1和NN/H 體的非線性系數(shù)m2為同一值，且均以m 來(lái)表示。模型示意圖見(jiàn)圖4。

圖4 NBurgers 模型示意圖Fig.4 Schematic view of NBurgers model

在該模型中，假定彈性體的變形為 εe，非線性黏滯體的變形為 εnv，非線性黏彈性體的變形為 εnve，則模型總變形可表示為

假定在t=0時(shí)，施加瞬間應(yīng)力σ=σ0，則有

(1) 彈性體(H)的本構(gòu)關(guān)系為

式中：E1為彈性模量。

(2) 非線性黏滯體(NN)中，結(jié)合式(7)可得其蠕變方程為

(3) 非線性黏彈性體(NN/H)中，結(jié)合常規(guī)Kelvin模型，可得其本構(gòu)方程為

式中：E2為黏彈性模量。

將式(11)變形為

對(duì)式(12)解微分方程，可得

式中：C 為積分常數(shù)。

對(duì)于非線性黏彈性體(NN/H)來(lái)說(shuō)，當(dāng)t=0時(shí)，εnve=0。對(duì)式(13)代入初始條件，則可解得

將C 代入式(13)可得非線性黏彈性體的蠕變方程為

由于模型中3 部分串聯(lián)，根據(jù)式(8)，NBurgers 模型在一維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變方程可寫(xiě)為

在三維應(yīng)力狀態(tài)下，鹽巖內(nèi)部應(yīng)力張量 σij可以分解為應(yīng)力球張量 σm和應(yīng)力偏張量 Sij，應(yīng)變張量 εij分解為應(yīng)變球張量 εm和應(yīng)變偏張量 eij。根據(jù)廣義虎克定律，則有

其中

式中：K 為體積模量；G 為剪切模量；ν 為泊松比。

假定鹽巖為各向同性材料，其蠕變變形僅由應(yīng)力偏張量引起，且在蠕變過(guò)程中鹽巖泊松比不隨時(shí)間變化[16]，則在三維應(yīng)力狀態(tài)下，考慮σ2=σ3，NBurgers模型的軸向蠕變方程為

在三維應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)σ2=σ3時(shí)，Burgers 模型的軸向蠕變方程為[11]

對(duì)比式(19)和式(20)可以看出：當(dāng)非線性系數(shù)m=0時(shí)，NBurgers 模型退化為常規(guī)Burgers 模型。因此，常規(guī)Burgers 模型是本文非線性模型在m=0時(shí)的一種特例。

3 鹽巖非線性蠕變模型參數(shù)識(shí)別

為了對(duì)NBurgers 模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，首先將圖3所示鹽巖分級(jí)加載蠕變曲線進(jìn)行處理，得到了不同軸壓時(shí)的單級(jí)蠕變曲線(圖5 中散點(diǎn)曲線)。

最小二乘法是確定巖石蠕變參數(shù)應(yīng)用較為廣泛的一種方法。本文根據(jù)鹽巖蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果，基于非線性最小二乘法基本原理，利用1stOpt 軟件，采用自定義函數(shù)的方法，對(duì)式(19)所示NBurgers 模型參數(shù)進(jìn)行反演識(shí)別。具體方法及過(guò)程如下。

(1) 以待反演的蠕變參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，即

圖5 擬合曲線和試驗(yàn)曲線對(duì)比圖Fig.5 Comparison between fitting curves and test curves

式中：K 和G1可根據(jù)式(18)轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定彈性模量E1，鹽巖泊松比取ν=0.3。

(2) 取設(shè)計(jì)變量如式(21)所示，建立目標(biāo)函數(shù)

式中：N 為試驗(yàn)數(shù)據(jù)組數(shù)；wi(X,ti)為t 時(shí)刻計(jì)算變形值；wi為t 時(shí)刻試驗(yàn)實(shí)測(cè)變形值。

(3) 設(shè)定目標(biāo)函數(shù)Q 的控制精度并進(jìn)行參數(shù)迭代求解。若Q 滿足精度要求，則停止迭代，輸出計(jì)算結(jié)果；若不滿足，則繼續(xù)迭代，直到滿足精度要求為止。

參數(shù)反演結(jié)果見(jiàn)表1。圖5 給出了NBurgers 模型擬合曲線與試驗(yàn)曲線的對(duì)比情況。圖5 同時(shí)給出了采用常規(guī)Burgers 模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合情況。

從表1 和圖5 可以看到：NBurgers 模型擬合效果良好，相對(duì)誤差較小，擬合值非常逼近于試驗(yàn)值，且其與試驗(yàn)值的吻合程度要明顯比常規(guī)Burgers 模型的高，說(shuō)明NBurgers 模型能夠更好地描述鹽巖的黏彈性蠕變特性，具有一定的適用性。

表1 NBurgers 模型參數(shù)反演結(jié)果Table 1 Creep parameters of NBurgers model

4 結(jié)論

(1) 基于非線性流變力學(xué)理論，對(duì)常規(guī)黏滯體元件進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種變系數(shù)的非線性黏滯體，并對(duì)其特性進(jìn)行了分析。分析表明，由于非線性系數(shù)的引入，改進(jìn)后的非線性黏滯體在描述巖石蠕變特性時(shí)具有更好的適應(yīng)性。

(2) 將非線性黏滯體替換常規(guī)Burgers 模型中的線性黏滯體，建立了非線性Burgers 模型，即NBurgers模型。該模型在一定條件下可退化為常規(guī)Burgers模型。

(3)對(duì)鹽巖試件開(kāi)展了三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)，并利用試驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了反演識(shí)別。擬合曲線和試驗(yàn)曲線對(duì)比顯示，NBurgers 模型擬合曲線和試驗(yàn)曲線的吻合程度要明顯高于常規(guī)Burgers 模型，說(shuō)明該模型能夠更好地描述鹽巖的黏彈性蠕變特性。

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