張霖霖， 朱如鵬， 靳廣虎， 李發(fā)家， 沈稼耕

(南京航空航天大學(xué)江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210016)

引 言

齒輪系統(tǒng)具有效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各工業(yè)領(lǐng)域中。輪齒嚙合剛度的時(shí)變性、輪齒傳遞誤差、嚙入嚙出沖擊以及傳動(dòng)系統(tǒng)輸入力矩和負(fù)載力矩等的變化均會產(chǎn)生動(dòng)態(tài)嚙合力。這樣的動(dòng)態(tài)嚙合力的激勵(lì)會使齒輪產(chǎn)生振動(dòng)，從而引起齒輪及其系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲，并影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此國內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了大量研究[1～6]。但以往的研究方法大多數(shù)是從加工方法、修形、提高精度和阻尼減振等方面來研究減小振動(dòng)從而降低噪聲[2]。本文從產(chǎn)生噪聲的振動(dòng)入手，考慮了齒輪的時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差和阻尼的影響，建立了齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了其振動(dòng)響應(yīng)，用Kato修正公式對傳動(dòng)產(chǎn)生的噪聲進(jìn)行了定量計(jì)算，并使用該方法計(jì)算齒輪噪聲，為齒輪系統(tǒng)的降噪設(shè)計(jì)及優(yōu)化設(shè)計(jì)打下了基礎(chǔ)。

1 齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

齒輪嚙合剛度隨時(shí)間而變、傳遞誤差隨嚙合位置而發(fā)生變化，故齒輪傳動(dòng)會產(chǎn)生自激振動(dòng)，振動(dòng)響應(yīng)具有時(shí)變特性[3]。考慮到這些因素的影響，建立單對齒輪傳動(dòng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)物理模型，如圖1所示。

圖1 單對齒輪傳動(dòng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)物理模型

取單對齒輪副的重合度為1～2，則單對齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型為

定義嚙合線上的兩齒輪相對位移為

x=Rpθp-Rgθg-e(t)

則單對齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型為

(1)

式(1)也可表示為

(2)

若模型中考慮原動(dòng)機(jī)或者負(fù)載引起的載荷波動(dòng)，則

(3)

(4)

根據(jù)式(4)，可將式(2)變?yōu)?/p>

(5)

引入無量綱時(shí)間τ=ωnt、位移標(biāo)稱尺度bc，則無量綱位移、速度、加速度分別表達(dá)為

則式(5)可以簡為

(6)

2 齒輪時(shí)變嚙合剛度

由于直齒輪嚙合剛度的特性，在許多文獻(xiàn)中，將齒輪的嚙合剛度假設(shè)為矩形波模式[4]。對于斜齒輪，理想精度情況下，一對嚙合齒輪副的時(shí)變嚙合剛度與齒輪副總接觸線長度成正比。當(dāng)單位接觸線長度的嚙合剛度為常數(shù)時(shí)，該斜齒齒輪嚙合副的嚙合剛度如下

k(t)=2k0L(t)

(7)

式中L(t)為斜齒輪副瞬時(shí)總接觸線長度。

對于斜齒輪傳動(dòng)，某一接觸線長度的變化過程可理解為是一個(gè)從0逐漸增加至一個(gè)定值，然后又逐漸減小至0而退出嚙合的過程(設(shè)某一接觸線剛進(jìn)入嚙合平面時(shí)，t=0，齒寬為b，基圓螺旋角為βb)。圖2為嚙合面上處于嚙合中的某一輪齒接觸線變化(其中εα為端面重合度，εβ為縱向重合度。)

圖2 嚙合中的某一輪齒接觸線變化圖

接觸線的長度可以由下面的公式計(jì)算出。

(8)

圖3 接觸線長度示意圖

這是一個(gè)周期為(M+1)×Tm的周期函數(shù)，其中M為小于εr的最大整數(shù)。將l1(t)表示成傅里葉級數(shù)，可以得到下面的等式。

(9)

所以有

li(t)=l1[t+(i-1)Tm]

(10)

從而可以求得總接觸線長度

bksin2kπωmt)

(11)

式中

(12)

3 齒輪嚙合的輻射噪聲計(jì)算

齒輪噪聲研究最初是由G Niemann于1965年提出的，他給出了一個(gè)齒輪副噪聲的簡單計(jì)算公式。后來日本的Kato在德國G Niemann研究的基礎(chǔ)上提出了公式[5,6]。

Kato公式計(jì)算結(jié)果僅在少數(shù)情況下與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，原因在于該公式僅考慮了不同加工精度對噪聲的影響，而無法預(yù)估不同齒廓加工方法的影響。實(shí)際上理論分析與實(shí)驗(yàn)研究均表明，不僅誤差的大小，而且誤差形狀也對噪聲強(qiáng)度有較大影響。因此20世紀(jì)90年代初T Masuda等考慮了不同齒廓加工方法對噪聲強(qiáng)度的影響，指出由于齒輪系統(tǒng)的噪聲主要與傳遞功率和振動(dòng)大小有關(guān)，而振動(dòng)大小又可用振動(dòng)幅值來描述，因此T Masuda通過大量實(shí)驗(yàn)和理論研究得出了傳遞功率和振動(dòng)幅值的積WX與噪聲之間具有很好地相關(guān)性，從而給出了Kato公式的修正公式。

20lgx+20 (dB)

(13)

式中L為距離齒輪箱1 m的噪聲強(qiáng)度，β為齒輪的螺旋角；u為傳動(dòng)比，εa為法向重合度；W為傳遞功率(單位是hp)；fv為速度系數(shù)，該系數(shù)類似于齒輪強(qiáng)度計(jì)算中的動(dòng)載系數(shù)，由節(jié)圓線速度和齒輪精度等級推算。x為齒輪副沿嚙合方向的相對振動(dòng)位移。修正公式考慮了誤差等對噪聲的影響。該公式可以預(yù)估各種方法加工的齒輪箱在不同工作條件下的噪聲強(qiáng)度。其精度較高，且計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值一致。

4 幾何參數(shù)對齒輪噪聲的影響

根據(jù)上述模型和Kato修正公式，計(jì)算一對嚙合齒輪的輻射噪聲。齒輪的參數(shù)如下：齒數(shù)Z1=20，模數(shù)m=2，壓力角α=20°，螺旋角β=0°，傳動(dòng)比μ=1.65，重合度εa=1.68，傳動(dòng)功率W=20 hp，齒輪轉(zhuǎn)速n=1 500 r/min，齒輪精度為7級。

為了評估不同的幾何參數(shù)對齒輪的振動(dòng)噪聲的影響，計(jì)算不同幾何參數(shù)的齒輪條件下的振動(dòng)位移，在齒輪的振動(dòng)位移的基礎(chǔ)上使用Kato修正公式計(jì)算齒輪嚙合的噪聲。在不改變其他參數(shù)的情況下，只考慮單一變量如模數(shù)(齒數(shù)、齒寬、螺旋角、重合度)對齒輪嚙合的振動(dòng)噪聲，振動(dòng)噪聲的變化規(guī)律如圖4～8所示。

由圖4可以看出，在一定功率和轉(zhuǎn)速條件下，存在某一模數(shù)使得單對齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)和噪聲最小。在某一模數(shù)范圍內(nèi)，齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)和噪聲會隨著模數(shù)的增大而減??；輕載條件下，模數(shù)變大將使得齒輪振動(dòng)噪聲增大。

由圖5可以看出，在一定功率和速度的條件下，齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)噪聲隨著齒數(shù)的增加而減小，這與齒數(shù)對齒輪傳動(dòng)振動(dòng)噪聲影響的定性分析結(jié)果不同[6]。其原因主要為齒數(shù)的改變只對等效質(zhì)量和齒輪半徑有影響，而模型沒有能夠考慮到聲功率輻射引起的損耗的影響。

由圖6可以看出，在一定功率和速度的條件下，齒輪寬度變大，振動(dòng)位移量和噪聲值有所下降，但不是很明顯。這與齒寬對齒輪傳動(dòng)振動(dòng)噪聲影響的定性分析結(jié)果相同。但相對于其他的方法來說，這個(gè)方法不夠經(jīng)濟(jì)。

由圖7可以看出， 一定功率和轉(zhuǎn)速條件下，隨著螺旋角變大，振動(dòng)位移變化不明顯，而噪聲會有明顯的下降。

由圖8可以看出， 一定功率和轉(zhuǎn)速條件下，隨著螺旋角變大，振動(dòng)位移變化不明顯，噪聲會隨著螺旋角的減小明顯下降。在重合度為1或2時(shí)，振動(dòng)有明顯的突變。

增加重合度可以減小齒輪傳動(dòng)的噪聲。首先增大重合度可以減小嚙合齒的負(fù)載，從而可以減小嚙入和嚙出的負(fù)載沖擊，降低齒輪噪聲；其次，隨著接觸齒對的增加，單對齒輪的誤差被均化，從而減小了齒輪的動(dòng)態(tài)激勵(lì)。此外，幾乎所有的對齒輪噪聲有影響的幾何參數(shù)，實(shí)際上都是由于它們對重合度的影響而起作用。

圖5 僅考慮齒數(shù)單一因素影響的單對齒輪振動(dòng)位移和噪聲變化趨勢圖

圖6 僅考慮齒寬單一因素影響的單對齒輪振動(dòng)位移和噪聲變化趨勢圖

圖7 僅考慮螺旋角單一因素影響的單對齒輪振動(dòng)位移和噪聲變化趨勢圖

圖8 僅考慮重合度單一因素影響的單對齒輪振動(dòng)位移和噪聲變化趨勢圖

5 結(jié) 論

本文考慮了齒輪傳動(dòng)的時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差的影響，采用修正 Kato 公式對嚙合傳動(dòng)產(chǎn)生的噪聲進(jìn)行了定量計(jì)算，然后分析了幾何參數(shù)對齒輪嚙合的振動(dòng)噪聲的影響。由于Kato公式中直接涉及到的齒輪幾何參數(shù)為傳動(dòng)比，螺旋角和重合度、模數(shù)、齒寬、齒數(shù)等沒有涉及，只能通過相對振動(dòng)位移來體現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上可以輻射噪聲為目標(biāo)進(jìn)行低噪聲優(yōu)化設(shè)計(jì)，因而為齒輪降噪設(shè)計(jì)打下了基礎(chǔ)。

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