高波

摘 要： APOS理論是以建構主義為基礎的數(shù)學學習理論，它的核心是引導學生在社會線索中學習數(shù)學知識，分析數(shù)學問題情境，從而建構數(shù)學思想.本文以《函數(shù)的概念》為例，具體探索在課堂教學活動中，教師如何利用生活中的實例啟發(fā)和引導學生抽象出函數(shù)的概念，從而使學生掌握知識和發(fā)展思維.

關鍵詞： APOS理論 職高數(shù)學概念課 《函數(shù)的概念》

一、引言

能夠識別一類刺激的共性，并對此作出相同的反映，這一過程被稱為概念學習.數(shù)學是反映現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關系的學科，而數(shù)學概念是數(shù)學學科知識體系的基礎，是數(shù)學知識本質(zhì)屬性的反映，是構建數(shù)學理論的基石.因此數(shù)學概念學習就成為數(shù)學學習的核心.數(shù)學概念是反映數(shù)學對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式.它排除了對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性.在現(xiàn)實教學中，由于數(shù)學概念的抽象性與概括性，往往令很多學生頭疼.實際上，中職學生原本數(shù)學基礎比較薄弱，對那些抽象的數(shù)學概念難以理解，學習時更是困難重重.如何上好職高數(shù)學概念課，讓學生理解掌握數(shù)學概念呢？本文就以一節(jié)概念課為例進行探討.

二、APOS理論

20世紀90年代以后，建構主義的教育理論思潮迅速流行.其主要觀點就是學生獲取知識不是被動的，而是通過學習主體自主建構.APOS理論是以建構主義為基礎的數(shù)學學習理論，由美國學者杜賓斯基（E.Dubinsky）提出的，主要針對數(shù)學概念的學習，從數(shù)學心理學的角度將學生的心智建構分為四個階段：action（操作）、process（過程）、object（對象）和schema（圖式）.它的核心是引導學生在社會線索中學習數(shù)學知識，分析數(shù)學問題情境，從而建構他們自己的數(shù)學思想.

（一）操作（Action）階段——引入概念.

操作階段是學生理解概念的基礎.通過操作感覺事物，感受概念的直觀背景和概念間的聯(lián)系，是感性認識階段.

（二）過程（Process）階段——概括概念.

教學中應充分發(fā)揮學生主體的能動性，通過前一階段的操作活動進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化過程，總結出概念的定義.

（三）對象（Object）階段——分析概念的內(nèi)涵與外延，揭示概念的關系.

通過對概念演化發(fā)展過程中資料的分析、抽象，認識概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象.

（四）圖式（Scheme）階段——深化學習.

學生不斷調(diào)整自身已有的認知結構，通過同化和順應建立新的平衡，形成新的知識圖式.

APOS理論充分反映了個體認知數(shù)學概念的思維過程，揭示了數(shù)學概念學習的本質(zhì).對職高數(shù)學的概念教學具有極大的啟發(fā)意義.

三、教學設計

（一）教學內(nèi)容解析.

函數(shù)是貫穿整個中職數(shù)學課堂的主線之一，它所蘊涵的數(shù)學思想和方法滲透到科技和生活的各個領域，是現(xiàn)代數(shù)學的基礎.函數(shù)的教與學使學生由初中形象思維向高中抽象邏輯思維轉化，培養(yǎng)學生基本運算能力和解決實際問題能力.因此，在學生高中數(shù)學知識體系的構建上，本節(jié)課起到了至關重要的基石作用.

函數(shù)概念的教學要求利用集合的觀點，對初中學過的函數(shù)知識進行再認識，拓展了函數(shù)概念的外延，豐富了其內(nèi)涵.針對學生的實際認知水平，本課的教學基于建構主義的APOS理論，采用問題驅動的方式，利用生活中的實例啟發(fā)和引導學生抽象出函數(shù)的概念，從而使學生掌握知識和發(fā)展思維.

（二）教學重難點.

本課的重點確定為：函數(shù)的概念，函數(shù)的兩要素，求函數(shù)的定義域.而對函數(shù)的概念及記號的理解，判斷兩個函數(shù)是否相同，這些內(nèi)容作為本課的難點.

重難點突破：利用加油站計價器的動畫導入函數(shù)的概念，讓學生體會探究并發(fā)現(xiàn)兩個變量之間的依賴關系，從集合的角度抽象出函數(shù)的概念.通過計價器的變化幫助學生理解函數(shù)的定義域，指導學生求出函數(shù)值.通過三個計價器的動畫對比剖析，引導學生深入理解定義域與對應法則是函數(shù)的兩個要素，判斷兩個函數(shù)是否相同要看這兩個要素是否相同.

（三）教學目標解析.

通過生活中實例幫助學生建立函數(shù)的概念，理解函數(shù)的定義及函數(shù)符號的含義；使學生能用集合與對應的語言描述函數(shù)，深入理解函數(shù)的兩個要素.通過從實例中抽象出函數(shù)概念的活動，培養(yǎng)學生的抽象概括能力及數(shù)學思維能力；理解函數(shù)定義域的含義，會求函數(shù)的定義域，并能將函數(shù)的定義域用集合的方式表示出來；通過函數(shù)值的求解，培養(yǎng)學生的計算能力；認識函數(shù)的兩要素，掌握判斷兩個函數(shù)是否相同的方法，培養(yǎng)學生對比分析問題的能力，學會抓住問題的關鍵.

教學過程中鼓勵學生積極、主動地參與課堂教學的整個過程，感受數(shù)學嚴謹?shù)倪壿嬐评磉^程，通過師生的課堂問答，幫助學生建立攻克難點的自信，發(fā)現(xiàn)探索新知的樂趣，獲得成功的體驗.

（四）教學過程設計.

依據(jù)APOS理論，本課的教學分成四個階段：

1.操作階段：創(chuàng)設情境，問題引導.

播放動畫：3月初，小王開車來到中國石化加油站加油.請同學們仔細觀察視頻中加油計價器上數(shù)字的跳動.

回答下面四個問題：

（1）這個加油的變化過程中，有哪些量在變化，哪些沒有變化？哪個量依附于哪個量在變化？

（2）請同學們計算，當加油量為15升，36升和48升時，計價器上顯示的金額分別是多少？

（3）加油量是否一直在增大？寫出加油量的變化范圍.金額是否一直在增加？寫出金額的變化范圍.

設計意圖：

問題（1）是讓學生尋找加油過程中的兩個變量，引導學生用已有的運動變化的觀點抽象出函數(shù)概念.

問題（2）是引導學生求函數(shù)值，培養(yǎng)學生的計算能力.endprint

問題（3）因為汽車油箱容積一定，所以加油到50升時就滿了，油箱的容積決定了函數(shù)的定義域，加滿油時金額也不會再上升，初步找出加油量與金額的變化范圍，并用集合表示出來.

（4）如果把加油量看成x，把金額看成y，你能建立起x與y之間的關系嗎？

由于前三個問題的鋪墊，水到渠成，學生順利得出加油量與金額之間的函數(shù)關系，對于自變量x的取值范圍，應加以強調(diào).

通過以上回憶、計算、推理等數(shù)學操作活動，學生對函數(shù)的概念有了感性認識.

2.過程階段：對照引例，形成概念.

在上述例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)，在汽車加油的變化過程中有兩個變量：加油量x與金額y，因為油箱只有50升，即自變量x有它自己的取值范圍：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一個加油量x，按照8元/升的價格，都有唯一的金額y與之對應，我們可以建立起加油量x與金額y之間的對應關系：y=8x{0≤x≤50}.由此總結出函數(shù)的概念：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，設變量x的取值范圍為數(shù)集D，如果對于D內(nèi)的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么把x叫做自變量，把y叫做x的函數(shù)，記作y=f（x）.

設計意圖：把引例中的數(shù)學問題進行壓縮、提升，將新的集合的觀點描述的函數(shù)的概念，加入學生已有認知結構中.

3.對象階段：概念剖析，鞏固強化.

y=f（x）是函數(shù)概念的形式化的符號，x表示自變量，如例中的加油量，y是x的函數(shù)，如例中的金額，f表示對應法則，如例中加油量與金額之間的對應法則是單價8元/升，那么，不同的對應法則可以用不同的符號表示，如g（x），h（x），F(xiàn)（x）等，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，如例中油箱的容積為50，D={x|0≤x≤50}.

定義域與對應法則稱為函數(shù)的兩個要素.

當x=x■時，函數(shù)y=f（x）對應的值y■叫做函數(shù)在點x■處的函數(shù)值，記作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函數(shù)在x=15處的函數(shù)值.函數(shù)值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函數(shù)的值域，如金額y的取值范圍C={y|0≤y≤400}.

基于學生對函數(shù)概念的初步認識，設計了3個例題.

例1.判斷下列代數(shù)式哪些是函數(shù)，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

設計意圖：前兩小題學生能很快做出回答，分別是熟悉的一次函數(shù)及一元二次函數(shù).學生對3、4題的判斷出現(xiàn)了意見分歧.有的學生仍停留在初中對函數(shù)概念的認識，認為3不是函數(shù)，因為沒有變量x，而4是函數(shù)，因為x和y都有.這時回顧函數(shù)的集合定義，強調(diào)定義中的“每一個”“唯一一個”的準確理解.從而使學生對函數(shù)概念的理解上升到理性階段.

例2.求下列函數(shù)的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

設計意圖：強調(diào)函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍.在實際問題中，定義域是由問題的實際意義所確定的，如油箱的容積為50，在用代數(shù)式表示的函數(shù)中，定義域是使代數(shù)式有意義的自變量x的取值范圍.

例3.設函數(shù)f（x）=■，試求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

設計意圖：第一題由老師求解，后面三小題可由學生板演.

通過有關函數(shù)值的計算，培養(yǎng)學生的計算能力.

4.圖式階段：對比實例，深入解析.

觀察三次加油的課件：

1.2014年3月初，小王車加油，油箱50升，單價8元/升.

2.2014年3月初，小張車加油，油箱35升，單價8元/升.

3.2014年1月初，小王車加油，油箱50升，單價7元/升.

問題1：觀察1、2兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（定義域不同）

問題2：觀察1、3兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（對應法則不同）

設計意圖：回歸到汽車加油問題中，改變加油量的最大值與單價，教師引導學生從中得出判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的標準：定義域與對應法則是否相同.緊隨其后設計例題.

例4.指出下列函數(shù)中，哪個與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函數(shù)的定義域與對應法則是函數(shù)的兩個要素，判斷兩個函數(shù)是否相同就是判斷兩個函數(shù)的定義域與對應法則是否相同，而與表示函數(shù)所選用的字母無關.

設計意圖：通過以上四個例題的分析求解，深化目標.學生最終形成函數(shù)概念的心智結構.

通過本課的學習，學生的認知結構中只能形成函數(shù)概念的初始階段的圖式，今后還需要長期的學習活動（如指對函數(shù)、三角函數(shù)等）進行完善.

緊扣本節(jié)課的重難點，設計幾道課堂練習題，幫助學生應用知識，強化訓練.

1.求下列函數(shù)的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后進行歸納小結，布置作業(yè).

四、設計體會

APOS理論對學生的函數(shù)概念的理解作了分層分析，真實反映了學生的心智建構過程，揭示了函數(shù)概念學習的本質(zhì).學生對本概念的理解不是線性的，而是呈循環(huán)螺旋上升的趨勢.基于APOS理論設計的本課的教學，實質(zhì)是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，學生在形成函數(shù)概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認識上升到理性認識的過程.在函數(shù)的概念教學中，教師引導學生不斷探索，相互交流，培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力；引導學生自主實踐，勇于發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]劉超，王志軍.論核心數(shù)學概念及其教學.高中數(shù)學教與學，2011（11）.

[2]葉立軍.數(shù)學課程與教學論.浙江大學出版社.

[3]翁凱慶.數(shù)學教育概論.四川大學出版社.

[4]顧泠沅，鮑建生.數(shù)學學習的心理基礎與過程.上海教育出版社.

[5]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論（第二版）.高等教育出版社.

[6]易樹湘.基于APOS理論的函數(shù)性質(zhì)教學研究.湘潭師范學院學報，2009（9）.endprint

問題（3）因為汽車油箱容積一定，所以加油到50升時就滿了，油箱的容積決定了函數(shù)的定義域，加滿油時金額也不會再上升，初步找出加油量與金額的變化范圍，并用集合表示出來.

（4）如果把加油量看成x，把金額看成y，你能建立起x與y之間的關系嗎？

由于前三個問題的鋪墊，水到渠成，學生順利得出加油量與金額之間的函數(shù)關系，對于自變量x的取值范圍，應加以強調(diào).

通過以上回憶、計算、推理等數(shù)學操作活動，學生對函數(shù)的概念有了感性認識.

2.過程階段：對照引例，形成概念.

在上述例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)，在汽車加油的變化過程中有兩個變量：加油量x與金額y，因為油箱只有50升，即自變量x有它自己的取值范圍：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一個加油量x，按照8元/升的價格，都有唯一的金額y與之對應，我們可以建立起加油量x與金額y之間的對應關系：y=8x{0≤x≤50}.由此總結出函數(shù)的概念：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，設變量x的取值范圍為數(shù)集D，如果對于D內(nèi)的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么把x叫做自變量，把y叫做x的函數(shù)，記作y=f（x）.

設計意圖：把引例中的數(shù)學問題進行壓縮、提升，將新的集合的觀點描述的函數(shù)的概念，加入學生已有認知結構中.

3.對象階段：概念剖析，鞏固強化.

y=f（x）是函數(shù)概念的形式化的符號，x表示自變量，如例中的加油量，y是x的函數(shù)，如例中的金額，f表示對應法則，如例中加油量與金額之間的對應法則是單價8元/升，那么，不同的對應法則可以用不同的符號表示，如g（x），h（x），F(xiàn)（x）等，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，如例中油箱的容積為50，D={x|0≤x≤50}.

定義域與對應法則稱為函數(shù)的兩個要素.

當x=x■時，函數(shù)y=f（x）對應的值y■叫做函數(shù)在點x■處的函數(shù)值，記作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函數(shù)在x=15處的函數(shù)值.函數(shù)值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函數(shù)的值域，如金額y的取值范圍C={y|0≤y≤400}.

基于學生對函數(shù)概念的初步認識，設計了3個例題.

例1.判斷下列代數(shù)式哪些是函數(shù)，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

設計意圖：前兩小題學生能很快做出回答，分別是熟悉的一次函數(shù)及一元二次函數(shù).學生對3、4題的判斷出現(xiàn)了意見分歧.有的學生仍停留在初中對函數(shù)概念的認識，認為3不是函數(shù)，因為沒有變量x，而4是函數(shù)，因為x和y都有.這時回顧函數(shù)的集合定義，強調(diào)定義中的“每一個”“唯一一個”的準確理解.從而使學生對函數(shù)概念的理解上升到理性階段.

例2.求下列函數(shù)的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

設計意圖：強調(diào)函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍.在實際問題中，定義域是由問題的實際意義所確定的，如油箱的容積為50，在用代數(shù)式表示的函數(shù)中，定義域是使代數(shù)式有意義的自變量x的取值范圍.

例3.設函數(shù)f（x）=■，試求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

設計意圖：第一題由老師求解，后面三小題可由學生板演.

通過有關函數(shù)值的計算，培養(yǎng)學生的計算能力.

4.圖式階段：對比實例，深入解析.

觀察三次加油的課件：

1.2014年3月初，小王車加油，油箱50升，單價8元/升.

2.2014年3月初，小張車加油，油箱35升，單價8元/升.

3.2014年1月初，小王車加油，油箱50升，單價7元/升.

問題1：觀察1、2兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（定義域不同）

問題2：觀察1、3兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（對應法則不同）

設計意圖：回歸到汽車加油問題中，改變加油量的最大值與單價，教師引導學生從中得出判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的標準：定義域與對應法則是否相同.緊隨其后設計例題.

例4.指出下列函數(shù)中，哪個與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函數(shù)的定義域與對應法則是函數(shù)的兩個要素，判斷兩個函數(shù)是否相同就是判斷兩個函數(shù)的定義域與對應法則是否相同，而與表示函數(shù)所選用的字母無關.

設計意圖：通過以上四個例題的分析求解，深化目標.學生最終形成函數(shù)概念的心智結構.

通過本課的學習，學生的認知結構中只能形成函數(shù)概念的初始階段的圖式，今后還需要長期的學習活動（如指對函數(shù)、三角函數(shù)等）進行完善.

緊扣本節(jié)課的重難點，設計幾道課堂練習題，幫助學生應用知識，強化訓練.

1.求下列函數(shù)的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后進行歸納小結，布置作業(yè).

四、設計體會

APOS理論對學生的函數(shù)概念的理解作了分層分析，真實反映了學生的心智建構過程，揭示了函數(shù)概念學習的本質(zhì).學生對本概念的理解不是線性的，而是呈循環(huán)螺旋上升的趨勢.基于APOS理論設計的本課的教學，實質(zhì)是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，學生在形成函數(shù)概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認識上升到理性認識的過程.在函數(shù)的概念教學中，教師引導學生不斷探索，相互交流，培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力；引導學生自主實踐，勇于發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.

參考文獻：

[1]劉超，王志軍.論核心數(shù)學概念及其教學.高中數(shù)學教與學，2011（11）.

[2]葉立軍.數(shù)學課程與教學論.浙江大學出版社.

[3]翁凱慶.數(shù)學教育概論.四川大學出版社.

[4]顧泠沅，鮑建生.數(shù)學學習的心理基礎與過程.上海教育出版社.

[5]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論（第二版）.高等教育出版社.

[6]易樹湘.基于APOS理論的函數(shù)性質(zhì)教學研究.湘潭師范學院學報，2009（9）.endprint

問題（3）因為汽車油箱容積一定，所以加油到50升時就滿了，油箱的容積決定了函數(shù)的定義域，加滿油時金額也不會再上升，初步找出加油量與金額的變化范圍，并用集合表示出來.

（4）如果把加油量看成x，把金額看成y，你能建立起x與y之間的關系嗎？

由于前三個問題的鋪墊，水到渠成，學生順利得出加油量與金額之間的函數(shù)關系，對于自變量x的取值范圍，應加以強調(diào).

通過以上回憶、計算、推理等數(shù)學操作活動，學生對函數(shù)的概念有了感性認識.

2.過程階段：對照引例，形成概念.

在上述例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)，在汽車加油的變化過程中有兩個變量：加油量x與金額y，因為油箱只有50升，即自變量x有它自己的取值范圍：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一個加油量x，按照8元/升的價格，都有唯一的金額y與之對應，我們可以建立起加油量x與金額y之間的對應關系：y=8x{0≤x≤50}.由此總結出函數(shù)的概念：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，設變量x的取值范圍為數(shù)集D，如果對于D內(nèi)的每一個x值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么把x叫做自變量，把y叫做x的函數(shù)，記作y=f（x）.

設計意圖：把引例中的數(shù)學問題進行壓縮、提升，將新的集合的觀點描述的函數(shù)的概念，加入學生已有認知結構中.

3.對象階段：概念剖析，鞏固強化.

y=f（x）是函數(shù)概念的形式化的符號，x表示自變量，如例中的加油量，y是x的函數(shù)，如例中的金額，f表示對應法則，如例中加油量與金額之間的對應法則是單價8元/升，那么，不同的對應法則可以用不同的符號表示，如g（x），h（x），F(xiàn)（x）等，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，如例中油箱的容積為50，D={x|0≤x≤50}.

定義域與對應法則稱為函數(shù)的兩個要素.

當x=x■時，函數(shù)y=f（x）對應的值y■叫做函數(shù)在點x■處的函數(shù)值，記作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函數(shù)在x=15處的函數(shù)值.函數(shù)值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函數(shù)的值域，如金額y的取值范圍C={y|0≤y≤400}.

基于學生對函數(shù)概念的初步認識，設計了3個例題.

例1.判斷下列代數(shù)式哪些是函數(shù)，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

設計意圖：前兩小題學生能很快做出回答，分別是熟悉的一次函數(shù)及一元二次函數(shù).學生對3、4題的判斷出現(xiàn)了意見分歧.有的學生仍停留在初中對函數(shù)概念的認識，認為3不是函數(shù)，因為沒有變量x，而4是函數(shù)，因為x和y都有.這時回顧函數(shù)的集合定義，強調(diào)定義中的“每一個”“唯一一個”的準確理解.從而使學生對函數(shù)概念的理解上升到理性階段.

例2.求下列函數(shù)的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

設計意圖：強調(diào)函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍.在實際問題中，定義域是由問題的實際意義所確定的，如油箱的容積為50，在用代數(shù)式表示的函數(shù)中，定義域是使代數(shù)式有意義的自變量x的取值范圍.

例3.設函數(shù)f（x）=■，試求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

設計意圖：第一題由老師求解，后面三小題可由學生板演.

通過有關函數(shù)值的計算，培養(yǎng)學生的計算能力.

4.圖式階段：對比實例，深入解析.

觀察三次加油的課件：

1.2014年3月初，小王車加油，油箱50升，單價8元/升.

2.2014年3月初，小張車加油，油箱35升，單價8元/升.

3.2014年1月初，小王車加油，油箱50升，單價7元/升.

問題1：觀察1、2兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（定義域不同）

問題2：觀察1、3兩個加油過程，計價器的變化相同嗎，為什么？（對應法則不同）

設計意圖：回歸到汽車加油問題中，改變加油量的最大值與單價，教師引導學生從中得出判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的標準：定義域與對應法則是否相同.緊隨其后設計例題.

例4.指出下列函數(shù)中，哪個與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函數(shù)的定義域與對應法則是函數(shù)的兩個要素，判斷兩個函數(shù)是否相同就是判斷兩個函數(shù)的定義域與對應法則是否相同，而與表示函數(shù)所選用的字母無關.

設計意圖：通過以上四個例題的分析求解，深化目標.學生最終形成函數(shù)概念的心智結構.

通過本課的學習，學生的認知結構中只能形成函數(shù)概念的初始階段的圖式，今后還需要長期的學習活動（如指對函數(shù)、三角函數(shù)等）進行完善.

緊扣本節(jié)課的重難點，設計幾道課堂練習題，幫助學生應用知識，強化訓練.

1.求下列函數(shù)的定義域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后進行歸納小結，布置作業(yè).

四、設計體會

APOS理論對學生的函數(shù)概念的理解作了分層分析，真實反映了學生的心智建構過程，揭示了函數(shù)概念學習的本質(zhì).學生對本概念的理解不是線性的，而是呈循環(huán)螺旋上升的趨勢.基于APOS理論設計的本課的教學，實質(zhì)是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，學生在形成函數(shù)概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認識上升到理性認識的過程.在函數(shù)的概念教學中，教師引導學生不斷探索，相互交流，培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力；引導學生自主實踐，勇于發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.

參考文獻：

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[6]易樹湘.基于APOS理論的函數(shù)性質(zhì)教學研究.湘潭師范學院學報，2009（9）.endprint