申成岳，黃斌

（1.長安大學公路學院，西安710064；2.中交二航局第六工程分公司，武漢430014）

無鉸拋物線拱非線性穩(wěn)定分析

申成岳1，黃斌2

（1.長安大學公路學院，西安710064；2.中交二航局第六工程分公司，武漢430014）

基于有限元程序ANSYS 10.0，在考慮幾何非線性和材料非線性的情況下，對無鉸拋物線拱進行了彈塑性全過程的屈曲分析。將拱結構初始缺陷和矢跨比作為主要影響因素，分析其對無鉸拋物線拱失穩(wěn)極限承載力的影響。計算結果表明:無鉸拋物線拱初始缺陷越大，失穩(wěn)極限承載力越?。浑S著矢跨比的增大，無鉸拋物線拱失穩(wěn)極限承載力先增大后減小，存在一個理論上的最優(yōu)矢跨比。

無鉸拋物線拱；幾何非線性；材料非線性；屈曲分析；失穩(wěn)極限承載力

引言

當結構所受荷載達到某一特定的極限值時，該結構體系會突然發(fā)生大的變形，這種現象稱為屈曲，或稱喪失穩(wěn)定［1］。因此，當拱結構所支承的荷載達到一定的臨界值時，整個拱結構就會失去平衡的穩(wěn)定性，或者在拱的平面內發(fā)生純彎屈曲，或者傾出于平面之外發(fā)生彎扭側傾。對于拱結構，如果拱軸線和壓力線是吻合的，則在結構失穩(wěn)前拱結構是處于受壓狀態(tài)的，但是由于施工預拱度的設置、施工偏差導致的初變形、非對稱加載等因素，拱結構在運營階段通常處于壓彎狀態(tài)，使得其失穩(wěn)形態(tài)大部分屬于極值點失穩(wěn)。求解這類穩(wěn)定問題的極限荷載，應考慮拱的變形影響和材料彈塑性影響，按幾何非線性和材料非線性理論求得拱的失穩(wěn)極限荷載［2］。

童根樹等［3］建立了可適用于彈塑性階段分析的工字型截面圓弧曲梁非線性分析基本理論。竇超等［4］采用經典平衡理論推導雙軸對稱純壓、純彎圓弧拱的平面外彎扭屈曲方程，給出了兩鉸圓弧拱的平面外屈曲荷載解析解。易壯鵬等［5］對彈性支撐圓弧拱考慮幾何缺陷的面內屈曲特性進行了研究。結果表明∶幾何缺陷對屈曲路徑有一定的影響，而彈性支承剛度對跳躍屈曲的路徑和臨界值均有顯著影響。喬彩虹等［6］對圓管截面兩鉸圓弧純壓拱的平面外穩(wěn)定性及設計方法進行了研究，提出了以面外屈曲荷載對應的正則化長細比為參數進行面外穩(wěn)定性設計。雖然拱結構的非線性屈曲分析理論已經相對完善，但是某些影響因素對拱結構失穩(wěn)極限荷載的降低程度仍缺少研究。

本文在已有研究成果的基礎上，利用有限元程序ANSYS10.0對拱結構進行考慮幾何非線性和材料非線性的非線性屈曲分析，考察初始缺陷和矢跨比對無鉸拋物線拱失穩(wěn)極限承載力的影響。

1 有限元模型

如圖1所示的無鉸拋物線拱，計算跨徑L=40 m，計算矢高f=8 m，拱軸線方程為y=-x2/50+8。主拱橫截面為箱形，截面寬600 mm，高400 mm，頂底板厚16 mm，腹板厚10 mm，拱跨結構承受自重及集中荷載作用。主拱材料采用Q235鋼，彈性模量E=2.1× 105MPa，泊松比ν=0.3?？紤]材料非線性時，采用雙線性隨動強化模型，該模型采用Mises屈服準則和隨動強化準則，以兩條直線段描述材料的應力-應變關系。Q235鋼的屈服強度fy=235 MPa，屈服點以后的切線模量E'=7.9×102MPa。利用ANSYS 10.0對該拱分別進行是否考慮材料非線性和幾何非線性的特征值屈曲分析、非線性屈曲分析，文中所述屈曲均指無鉸拋物線拱結構的整體屈曲而不考慮局部屈曲。

ANSYS單元庫中提供了豐富的單元類型，可根據分析目的的不同進行適當的選擇。拱結構屬于細長、中等細長的結構類型，且拱結構的截面類型屬于非標準梁截面，通常需要自定義梁截面，所以選用梁單元Beam l88或Beam l89單元模擬比較合適。但是Beam l88單元為兩節(jié)點單元，初始幾何為直線，而Beam 189單元為三節(jié)點單元考慮了梁的初始曲率，所以拱結構選用Beam 189單元模擬更為合適。

2 特征值屈曲分析

屈曲分析的目的是確定結構從穩(wěn)定的平衡狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)的臨界荷載。理想結構數學處理上是求解特征值問題，故又稱為特征值屈曲分析。特征值屈曲分析用來預測一個理想線性結構的理論屈曲強度，優(yōu)點是無須進行復雜的非線性分析，即可獲得結構的臨界荷載和屈曲形狀，并可為非線性屈曲分析提供可供參考的荷載值［7］。

屈曲分析的特征值方程為∶

（［KE］+λi［KG］）｛φi｝=0（1）式中∶λi為第i階特征值；｛φi｝為與λi對應的特征向量，是響應該階段屈曲荷載時結構的變形形狀，即屈曲模態(tài)或失穩(wěn)模態(tài)。

特征值屈曲分析時，需要求解的是恒載作用下活載的屈曲荷載，即在求解時不對恒載應力剛度進行縮放，而只對活載應力剛度進行縮放。計算時需要通過不斷修改外荷載的數值，直到屈曲荷載系數為1，且一階和二階模態(tài)應分別調整外荷載，分別使得屈曲荷載系數為1。

ANSYS里提供了專門的特征值屈曲分析類型，但是需要注意以下3點∶

（1）僅考慮線性行為，即使定義了非線性單元ANSYS程序也將按線性單元處理。

（2）必須定義材料的彈性模量，材料性質可為線性、各向同性或各向異性，其數值可以為常值，也可與溫度相關。

（3）特征值屈曲分析前應有靜力解，且必須激活預應力效應。因為預應力效應激活后生成和保存的幾何剛度矩陣是進行特征值屈曲分析所必須的。激活預應力效應可以通過將pstres設為on實現。

通過以下命令即可進行特征值屈曲分析∶

/solu

antype，buckle ！定義分析類型

bucopt，lanb，5 ！定義求解控制選項

mxpand，5 ！定義模態(tài)擴展數目

solve

經特征值屈曲分析計算，模型拱的一階屈曲模態(tài)為面外失穩(wěn)，外荷載的屈曲荷載為753 350 N；二階屈曲模態(tài)為面內反對稱失穩(wěn)，外荷載的屈曲荷載為1 313 650 N。

3 非線性屈曲分析

非線性屈曲分析采用逐漸增加荷載的非線性靜態(tài)分析，搜索結構開始變得不穩(wěn)定時的荷載水平。使用非線性屈曲分析，可以分析包括初始缺陷、塑性行為、接觸、大變形響應及其它非線性行為。非線性屈曲分析的收斂準則有荷載控制、位移控制和弧長法三種，跟蹤非線性平衡路線的應用較多，效果較好的方法是弧長法，本文選擇位移弧長法作為非線性收斂準則。需要注意的是，非線性屈曲分析時如果不引入缺陷，則結構對稱荷載對稱，不能得到正確的極限荷載。

圖2為一般的非線性荷載位移曲線，顯示了理想載荷路徑、有缺陷結構載荷路徑和實際動態(tài)響應之間的關系。

3.1 不同初始缺陷的影響

考慮初始幾何缺陷時，采用無鉸拋物線拱特征值一階屈曲模態(tài)形狀的不同百分比作為擾動位移，峰值大小分別取L/4000、L/1000和L/500，研究不同初始缺陷程度下無鉸拋物線拱失穩(wěn)極限荷載的變化。

不同大小初始缺陷下的荷載位移曲線如圖3所示。當施加缺陷的峰值為L/4000時，即軸線偏位為0.01 m，通過非線性屈曲分析得到其極限荷載Pcp=683 560 N；同理，當初始缺陷峰值為L/1000時，通過非線性屈曲分析得到其極限荷載Pcp=599 529 N；當初始缺陷的峰值為L/500時，即軸線偏位為0.08 m，通過非線性屈曲分析得到其極限荷載Pcp=523 146 N。顯然隨著初始缺陷的增大，無鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限荷載明顯降低。

不同情況下無鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力見表1。從表1可以看出，當施加的初始缺陷峰值為L/4000時，非線性屈曲分析得到的失穩(wěn)極限承載力相對于特征值屈曲分析減小9.3%，而當施加的初始缺陷峰值達到L/500時，其失穩(wěn)極限承載力相對于特征值屈曲分析減小30.6%。所以對于大跨無鉸拋物線拱，應該嚴格控制初始缺陷，否則失穩(wěn)極限承載力會有明顯的下降。

3.2 不同矢跨比的影響

研究不同矢跨比對無鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力的影響時，固定計算跨徑L不變，通過改變矢高來改變矢跨比，初始缺陷峰值為L/4000。這里選擇四組矢高分別為14 m、12 m、10 m、8 m和6 m，即矢跨比分別為0.35、0.3、0.25、0.2和0.15進行非線性屈曲分析。

不同矢跨比下的荷載位移曲線如圖4所示，從圖4可以得出以下結論∶

（1）隨著矢跨比的增加，無鉸拋物線拱的極限承載力先增大后減小，當矢跨比f/L=0.25時，失穩(wěn)極限承載力達到最大值，Pcp=704 986 N。

（2）當進行非線性屈曲分析時，無鉸拋物線拱結構存在一個理論上的最優(yōu)矢跨比。

以上只是研究了算例的5個不同矢跨比對極限承載力變化的影響，0.25只是這5個矢跨比中的最優(yōu)值。如果要得到無鉸拋物線拱結構準確的最優(yōu)矢跨比，應當根據具體結構形式和尺寸建模，以矢跨比為變量采用二分法來尋找最優(yōu)矢跨比。

不同矢跨比下無鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力如圖5所示，當矢跨比為0.15時，非線性屈曲分析得到的失穩(wěn)極限承載力相對于特征值屈曲分析減小13.8%，而當矢跨比為0.35時，非線性屈曲分析得到的失穩(wěn)極限承載力相對于特征值屈曲分析減小1.8%。從圖5可以看出，在計算跨徑不變且初始缺陷峰值為L/4000時，隨著矢跨比的增大，材料非線性和幾何非線性因素對失穩(wěn)極限承載力的影響越來越小，非線性屈曲得到的失穩(wěn)極限承載力先增大后減小。

4 結論

本文基于無鉸拋物線拱的特征值屈曲分析和非線性屈曲分析，研究了初始缺陷和矢跨比對無鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力的影響。研究結果表明∶

（1）對于無鉸拋物線拱，考慮材料非線性和幾何非線性后，其失穩(wěn)極限承載力明顯降低。如果只對無鉸拋物線拱橋進行特征值屈曲分析，那么得到的失穩(wěn)極限承載力將偏大，即拱結構偏不安全，所以應對其進行同時考慮材料非線性和幾何非線性的非線性屈曲分析，以得到拱結構準確的失穩(wěn)極限承載力。

（2）對于無鉸拋物線拱，非線性屈曲分析時引入的初始缺陷越大，其失穩(wěn)極限承載力越小。

（3）在初始缺陷相同的情況下，無鉸拋物線拱的矢跨比越大，材料非線性和幾何非線性因素對失穩(wěn)極限承載力的影響越來越小。

（4）隨著矢跨比的增大，無鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限荷載呈先增大后減小趨勢。所以，無鉸拋物線拱橋在設計時應通過非線性屈曲分析找到最優(yōu)矢跨比，以增大其失穩(wěn)極限荷載。

以上研究成果對于工程實際的指導意義在于∶工程設計階段應通過合理的數值分析尋找拱結構的最優(yōu)矢跨比，進行結構的優(yōu)化設計；工程施工階段應嚴格執(zhí)行相關施工技術規(guī)范，控制軸線偏位、拱肋標高等可能引入初始缺陷的因素，以提高結構的失穩(wěn)極限承載力。

［1］陳驥.鋼結構穩(wěn)定理論與設計［M］.北京:科學出版社'2001.

［2］李國豪.橋梁結構穩(wěn)定與振動［M］.北京:中國鐵道出版社'2003.

［3］童根樹'許強.工字型截面圓弧曲梁的非線性理論［J］.土木工程學報'2004'37(4）:1-7.

［4］竇超'郭彥林.圓弧拱平面外彈性彎扭屈曲臨界荷載分析［J］.工程力學'2012'29(3）:83-89.

［5］易壯鵬'王連華'涂光亞'等.彈性支撐圓弧拱考慮幾何缺陷的面內屈曲特性［J］.長沙理工大學學報:自然科學版'2011'8(3）:44-49.

［6］喬彩虹'郭彥林'曹玉生.圓管截面兩鉸圓弧純壓拱的平面外穩(wěn)定性及設計方法［J］.工業(yè)建筑'2009'39 (12）:90-94.

［7］李雪'李宏男'黃連壯.高壓輸電線路覆冰倒塔非線性屈曲分析［J］.振動與沖擊'2009'28(5）:111-114.

Nonlinear Stability Analysis of Hingeless Parabolic Arch

SHEN Chengyue，HUANG Bin
（1.School of Highway，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2.Six Department of the Second Harbor Engineering Company，Wuhan 430014，China）

Based on the finite element program ANSYS 10.0，considering the factors of geometrical nonlinearity and material nonlinearity，the whole elastic-plastic buckling process of hingeless parabolic arch were analyzed.The influence of the initial defects and rise-span ratio of arch structure，which aremajor factors on ultimate bearing capacity were analyzed. The calculation results showed that the greater the initial defectswere，the smaller the ultimate bearing capacitywill be；With the increase of rise-span ratio，the limit bearing capacity of hingeless parabolic arch buckling first increased then decreased，with an optimal rise-span ratio in theroy.

hingeless parabolic arch；geometrical nonlinearity；material nonlinearity；buckling analysis；ultimate bearing capacity of instability

U441

A

1673-1549（2014）01-0077-04

10.11863/j.suse.2014.01.20

2013-12-15

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助（CHD2009JC166）

申成岳（1985-），男，河南延津人，碩士生，主要從事橋梁結構分析理論方面的研究，（E-mail）shenchy063@163.com