劉鴻，劉建華，唐民

（1.長沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410004；2.慈溪市供電局，慈溪 315300）

電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行一直以來都是電力工程技術(shù)人員和學(xué)者研究的問題。電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性是以安全性為前提的。文獻(xiàn)[1～2]介紹了考慮直流潮流和線路容量約束條件的經(jīng)濟(jì)調(diào)度ED（economic dispatch）模型，稱該模型為經(jīng)濟(jì)安全調(diào)度ESD（economic safe dispatch）模型。傳統(tǒng)的ESD基本目標(biāo)是在滿足有功功率平衡情況下發(fā)電費用最小，機(jī)組出力及線路安全約束也應(yīng)得到滿足。這是一個非線性問題，求解這類問題的方法很多，諸如非線性規(guī)劃法[3～4]，二次規(guī)劃法[5]，逐次線性法[6]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7～8]等等。以上方法都是基于ESD模型中的參數(shù)是確定的。而電力系統(tǒng)在實際運(yùn)行中各參量并不是嚴(yán)格意義上具有確定性的，是具有一定的不確定性（如線路參數(shù)、電網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等），傳統(tǒng)的ESD問題把不確定性因素當(dāng)作確定性因素來處理，得出的最優(yōu)解并非真正切合實際的最優(yōu)解。在ESD問題中，發(fā)電機(jī)的費用函數(shù)曲線是通過“熱運(yùn)行”實驗所得到的數(shù)據(jù)點繪制而成[9]，通過這些數(shù)據(jù)點擬合成二次函數(shù)，本身存在一定的誤差?；痣姍C(jī)組出力是通過由燃煤和各種化石燃料等給鍋爐中的水加熱，產(chǎn)生蒸汽，由蒸汽推動汽輪機(jī)轉(zhuǎn)動，進(jìn)一步帶動發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動產(chǎn)生電能，是由熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，再轉(zhuǎn)化為電能的過程。這中間的能量轉(zhuǎn)化并非理想狀態(tài)下的轉(zhuǎn)化，而是存在諸多不確定性。而環(huán)境溫度以及海水和湖泊水等作為用來作為冷卻蒸汽的溫度也存在不確定性，所以不能在任何時刻都用確定性的發(fā)電成本二次函數(shù)來進(jìn)行描述，而是應(yīng)該計及這些不確定性因素對機(jī)組煤耗產(chǎn)生的附加成本。故本文旨在修正這些不確定性因素所帶來的附加成本對模型本身所帶來的誤差，以期更接近實際最優(yōu)運(yùn)行值。

目前，許多優(yōu)化方法都運(yùn)用到了ESD問題中，但是大多數(shù)的方法都是通過建立ESD潮流模型，如何有效的去求解，已有的這些方法并不能處理模型中的不確定性因素。近年來，各國研究者對已有的研究并不滿足，迫切需要尋找一種方法來處理那些不確定性因素引起的誤差，希望得到更貼切實際的優(yōu)化值。而魯棒優(yōu)化方法[10]的提出正是解決這類問題的較好的方法，它能考慮最壞（worstcase）情況下的狀態(tài)，本文利用魯棒優(yōu)化方法對電力系統(tǒng)煤耗參數(shù)的不確定性進(jìn)行描述，模擬仿真表明該方法的有效性和在實踐中具有重要的理論指導(dǎo)意義。

1 “不確定損耗成本”的描述

目前，電力是通過各種能源（如燃燒煤和各種化石燃料，核能裂變，風(fēng)能等）所轉(zhuǎn)化的，本文考慮利用煤和各種化石燃料生產(chǎn)電能，它的基本生產(chǎn)過程是：燃料在鍋爐中燃燒加熱水變成蒸汽，經(jīng)過加熱器進(jìn)一步加熱后變成過熱的蒸汽，再通過主蒸汽管道進(jìn)入汽輪機(jī)。由于蒸汽不斷膨脹，高速流動的蒸汽推動汽輪機(jī)的葉片轉(zhuǎn)動從而帶動發(fā)電機(jī)從而產(chǎn)生電能。最后將做過功的蒸汽排入凝汽器并被冷卻凝結(jié)成水，經(jīng)過低壓和高壓加熱后將熱水打入鍋爐，通常都是用海水和湖泊水作為凝汽器冷卻。通過不斷循環(huán)產(chǎn)生源源不斷的電能。這個汽水系統(tǒng)總是受環(huán)境因素的影響，如空氣、海水溫度等。

為了進(jìn)一步提高其熱效率，一般都從汽輪機(jī)的某些中間級后抽出做過功的部分蒸汽，用以加熱給水。這個過程也受散熱等環(huán)境溫度的影響。在超高壓機(jī)組中還采用再熱循環(huán)，即把做過一段功的蒸汽從汽輪機(jī)的高壓缸的出口將做過功的蒸汽全部抽出，送到鍋爐的再熱汽中加熱后再引入氣輪機(jī)的中壓缸繼續(xù)膨脹做功，從中壓缸送出的蒸汽，再送入低壓缸繼續(xù)做功。流入和流出的蒸汽在每個階段都必須保持一種平衡，此外，由于設(shè)備之間的耦合不可能做到完全密封，在鍋爐循環(huán)做功期間，總會有一些水丟失，為了保持平衡，還需不斷的補(bǔ)水。在補(bǔ)水的過程中也會受到補(bǔ)給水的溫度和量的多少等不確定性因素影響。

綜上所述，燃料對鍋爐加熱，是熱能不斷轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，再轉(zhuǎn)化為電能的過程。而熱能由于環(huán)境、海水和湖泊水的溫度，補(bǔ)給水的溫度以及蒸汽的循環(huán)等不確定性因素的影響，將會對煤耗成本產(chǎn)生影響。若系統(tǒng)較鍋爐理想循環(huán)狀態(tài)下丟失熱能較多的話，從而將增加燃料成本，這個增加的燃料成本稱為“不確定損耗成本”。這個“不確定損耗成本”將會對經(jīng)典經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

本文的目標(biāo)是為了降低單位發(fā)電成本，即減少燃料成本占發(fā)電總量的比例。由于電力供需平衡的約束，所以發(fā)電總量是恒定的。因此，對于每臺發(fā)電機(jī)的“不確定損耗成本”而言，將其表示成與發(fā)電機(jī)出力有關(guān)的線性函數(shù)，即

式中：PGi為第i臺發(fā)電機(jī)的出力；ΔF（PGi）為第i臺發(fā)電機(jī)的“不確定損耗成本”；ξi、λi為不確定參量，ξi∈U，λi∈V，其集合U和V在后面描述。

2 線性魯棒優(yōu)化理論

2.1 線性魯棒優(yōu)化模型

20世紀(jì)70年代Soyster提出線性規(guī)劃魯棒優(yōu)化模型[11]，魯棒優(yōu)化是解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部環(huán)境不確定情況下的優(yōu)化方法。魯棒優(yōu)化解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)變動問題時，對于數(shù)學(xué)規(guī)劃問題而言，一種是約束條件參數(shù)的不確定性，一種是目標(biāo)函數(shù)參數(shù)的不確定性[12]，本文的問題是目標(biāo)函數(shù)參數(shù)的不確定性。

魯棒優(yōu)化已經(jīng)從Soyster的線性優(yōu)化魯棒方法，發(fā)展到目前魯棒優(yōu)化理論的經(jīng)典體系。有些學(xué)者在建立魯棒優(yōu)化理論方面進(jìn)行了重要工作，他們研究的是具有不同形式的數(shù)據(jù)不確定性的線性規(guī)劃問題、二次規(guī)劃問題和半定規(guī)劃問題等。本文涉及到線性魯棒優(yōu)化問題[10～12]。

一般魯棒優(yōu)化定義為

線性規(guī)劃定義為

記A={a1，a2，…，an}，b={b1，b2，…，bn}其中ai為約束矩陣A的第i行，則式（4）可寫為

假設(shè)a1∈U，a2∈U，an∈U，其中Ui（i=1，…，m）為不確定集合，目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)C的不確定性可以歸納為約束矩陣的不確定性。則式（5）魯棒對應(yīng)：

易知aix≤bi，?ai∈Ui，i=1，…，m，等價于求解問題。

式（7）問題的復(fù)雜性決定魯棒優(yōu)化問題的復(fù)雜性。

2.2 集合U的確定與計算原則

魯棒優(yōu)化問題的關(guān)鍵是不確定集合U的確定以及在某給定U下復(fù)雜min-max模型的化簡，實際計算的可操作性，本文考慮“盒式”不確定集合，即設(shè)參數(shù)U的形式為

Soyster針對一般線性規(guī)劃模型的約束矩陣列的不確定性，設(shè)計了一套魯棒優(yōu)化方法。首先，對于任意一個不確的數(shù)據(jù)元素，設(shè)計基于數(shù)據(jù)元素的標(biāo)稱值的一個可能的有界對稱區(qū)間，通過引入隨機(jī)變量消除標(biāo)稱值，使得數(shù)據(jù)元素變成完全不確定的，然后，在原來的線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上，對每個不確定數(shù)據(jù)元素引入決策變量，在標(biāo)準(zhǔn)形式的約束方程的左端添加不確定性數(shù)據(jù)的最大值與引入變量的乘積。這樣，原問題的魯棒對應(yīng)仍然是線性規(guī)劃問題，但消除了數(shù)據(jù)元素的不確定性[3]。這樣，就可以用一般的方法來解決本文的問題。

3 模型的建立

基于以上描述，假定電網(wǎng)中有NG臺發(fā)電機(jī)為PGi，i=1，2，…，NG是發(fā)電機(jī)的節(jié)點，在本文的優(yōu)化問題當(dāng)中PGi為決定變量，對于每臺發(fā)電機(jī)而言，發(fā)電機(jī)的燃料成本是二次函數(shù)，故結(jié)合所描述的“不確定損耗成本”建立以降低發(fā)電成本為目標(biāo)的函數(shù)，即

式中：ξi（i=1，2，…，NG）為不確定的變量，表示成向量為ξ=[ξ1，ξ2，…，ξNG]T；PGi為第i臺發(fā)電機(jī)出力。

在電力系統(tǒng)中還有一些約束，如發(fā)電機(jī)運(yùn)行約束、功率平衡約束、線路容量約束等，其限制約束方程∏為

以上的限制都是線性與非線性的集合，因此目標(biāo)函數(shù)是不確定性的最小優(yōu)化問題，即

結(jié)合式（8）、式（11）又可以進(jìn)一步等效為

式中，向量PG=[PG1，PG2，…，PGNG]T。

先關(guān)注里層優(yōu)化：

求導(dǎo)后得

又

根據(jù)強(qiáng)對偶定理有

本文主要探討不確定性因素對發(fā)電機(jī)出力的影響，在式（13），eTλ顯然與單元機(jī)組對整個成本的優(yōu)化無影響，故令其為0，綜合式（12）、式（13）、式（16）及式（17）可把目標(biāo)函數(shù)式（11）整理成

結(jié)合式（4）可得式（12）的約束方程

綜上所述，原目標(biāo)函數(shù)式（11）中含有一個不確定變量ξ，通過對不確定變量ξ設(shè)置一個如式（8）的“盒式”集合，再依文獻(xiàn)[3]的計算原則，通過數(shù)學(xué)變換，使得原問題變成了一個普通的單層優(yōu)化問題，可以用常規(guī)的非線性方法進(jìn)行解答。

4 數(shù)值仿真

1）仿真系統(tǒng)

為驗證本文所建模型和算法的有效性，本節(jié)對修改后的IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值測試，網(wǎng)絡(luò)的負(fù)荷、發(fā)電機(jī)的數(shù)據(jù)、二次成本函數(shù)等見文獻(xiàn)[4]，單位為￡/h。為了方便起見，有關(guān)發(fā)電機(jī)的數(shù)據(jù)重新列在表1中。

表1 發(fā)電機(jī)參數(shù)Tab.1 Generator parameters

2）最優(yōu)解PG的擾動情況

由于環(huán)境等不確定性影響相對整個鍋爐系統(tǒng)的熱能交換來說，不確定性的變化量不大，本文以系數(shù)波動在1%的范圍內(nèi)來考慮，文中參數(shù)ξ取bi值的1%，即

圖1～圖6顯示出各機(jī)組出力隨著n的變化而波動，其中，縱坐標(biāo)表示各機(jī)組輸出的實際發(fā)電量，橫坐標(biāo)表示在不同的n值下，發(fā)電機(jī)波動的百分?jǐn)?shù)（圖中n=1代表波動為0.05%bi）。

圖1 隨n的變化機(jī)組1的出力變化Fig.1 Outputofbus1w ith the change n

圖2 隨n的變化機(jī)組2的出力變化Fig.2 Outputofbus2w ith the change n

圖3 隨n的變化機(jī)組5的出力變化Fig.3 Outputof bus5w ith the change n

圖4 隨n的變化機(jī)組8的出力變化Fig.4 Outputof bus8with the change n

圖5 隨n的變化機(jī)組11的出力變化Fig.5 Outputof bus11w ith the change n

圖6 隨n的變化機(jī)組13的出力變化Fig.6 Outputof bus13w ith the change n

圖7 隨n的變化發(fā)電成本的變化Fig.7 Generating cost with the change n

通過觀察和比較各仿真圖，易知發(fā)電成本函數(shù)的不確定性對調(diào)度機(jī)組的最優(yōu)出力將有一定的影響，并且隨著不確定性值的增大（即n增大），各機(jī)組最優(yōu)出力將需要重新進(jìn)行調(diào)整使得成本函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。由圖1～圖7可以看出，不是所有的機(jī)組都隨n的增大而改變，有些機(jī)組隨n的增加先增大機(jī)組出力然后又減小，有些機(jī)組卻先不改變出力而后隨n的增加而增加機(jī)組出力，其中機(jī)組11和13在限制性的條件下保持最小機(jī)組出力而不改變，機(jī)組的出力隨n的改變并沒有確定性的規(guī)律，但是從圖7可以看出，隨著n增加到20的時候其發(fā)電成本卻一直在增長，由此可以看出，通過有效抑制減少鍋爐系統(tǒng)相對理想狀態(tài)下不確定量的變化幅度將會節(jié)省成本，提高利潤。這就促使發(fā)電廠商去對各電廠進(jìn)行技術(shù)改造以提高經(jīng)濟(jì)效益，可以從機(jī)組蒸汽溫度的冷凝，煤質(zhì)以及更新已經(jīng)老化的機(jī)組等去考慮。

表2給出了采用本文模型所得到的機(jī)組最優(yōu)分配值與最小成本。通過表2可以看出，獨立系統(tǒng)運(yùn)行員（ISO）可以根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行的實際情況（如環(huán)境影響、海水溫度影響等）合理確定系統(tǒng)擾動指標(biāo)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)度，在不同的擾動指標(biāo)下得出的經(jīng)濟(jì)調(diào)度值可以作為ESD問題的最優(yōu)解與次優(yōu)解，這種調(diào)度方式顯示了本文模型優(yōu)于傳統(tǒng)ESD模型最優(yōu)解的唯一性。對在不考慮擾動的情況下用本文的數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)化的調(diào)度計算，其最優(yōu)值與擾動為0.05%所得出的經(jīng)濟(jì)調(diào)度最優(yōu)值非常接近，而擾動值偏大的時候，就有偏差，這可從表1中不同擾動的大小看出。此外，從表1中可看出，擾動越大，發(fā)電成本將逐步增加，這就促使人們盡量抑制不確定因素對系統(tǒng)的影響，使擾動值降低可減少成本。系統(tǒng)的不確定性肯定是存在的，這就促使當(dāng)值調(diào)度員選擇合理的擾動指標(biāo)，使系統(tǒng)在最經(jīng)濟(jì)的情況下運(yùn)行。

表2 發(fā)電機(jī)組最優(yōu)分配值與最小成本Tab.2 Optimal allocation value and the minimum cost of generation

當(dāng)前各國大部分經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型都是使用大型線性規(guī)劃的有功（直流）最優(yōu)潮流模型，若能在經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型中考慮不確定性因素所帶來的“不確定損耗成本”的影響，這樣更能在調(diào)度的時候?qū)C(jī)組出力進(jìn)行合適的變化，可以提高經(jīng)濟(jì)效益。

5 結(jié)語

本文利用魯棒優(yōu)化的方法來解決機(jī)組在運(yùn)行過程中受到不確定性因素的影響而帶來的附加成本，在實際的經(jīng)濟(jì)調(diào)度和促使發(fā)電廠進(jìn)行技術(shù)改造有理論和指導(dǎo)作用，本文模型較傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型有一定的優(yōu)勢，考慮了不確定性因素的影響，可以更好地指導(dǎo)調(diào)度員進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)度，從而保證更大的利潤空間，有一定的應(yīng)用價值。另外，本文提出的方法還可以用來解決在最優(yōu)潮流或經(jīng)濟(jì)調(diào)度中在未知負(fù)荷分布的情況下利用已有的數(shù)據(jù)對負(fù)荷不確定性進(jìn)行計算。需要進(jìn)一步研究的是需要尋找一種更有效的方法來處理電力系統(tǒng)不確定性的影響，獲得更加精確的結(jié)果。本文的仿真計算表明該方法的可行性和有效性。

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